A611 – Partage sous contrainte
Soit E l'ensemble des entiers naturels de 1 à n. On partage E en deux sous-ensembles disjoints E
1et E
2tels que la somme de deux éléments quelconques distincts de chaque sous-ensemble ne donne jamais un carré parfait. Quelle est la valeur maximale de n ?
Même question avec une partition de E en trois sous-ensembles disjoints.
Généralisation avec k sous-ensembles disjoints.
Solution proposée par Julien de Prabère
La condition posée revient à interdire des cohabitations dans le même sous-ensemble. Ainsi l’impossibilité d’obtenir 4 comme somme de deux éléments interdit la cohabitation de 1 et 3.
Dans le cas de deux sous-ensembles, deux interdits de cohabitation avec un même tiers, par exemple 1 et 6, qui ne peuvent ni l’un ni l’autre cohabiter avec 3, devront être réunis dans le même sous-ensemble. Alors l’existence d’une « chaîne d’interdits » telle que 1-3-6-10 imposera, si n peut atteindre les valeurs correspondantes, la cohabitation des termes dont les rangs auront les mêmes parités. D’où nécessairement E
1{1, 6…} et E
2{3, …10}. Les chaînes 1-8 et 3-13-12-4-5- 11-14-2-7-9 imposent de compléter les sous-ensembles initiaux comme suit : E
1{1, 2, 4, 6, 9, 11, 13} et E
2{3, 5, 7, 8, 10, 12, 14}. Par contre, la possibilité de prolonger la chaîne 1-3-6-10 par 15 et à nouveau 1, pour boucler un cycle impair met en évidence l’impossibilité de dépasser n=14 qui exclurait la cohabitation de chacun des entiers de ce cycle avec lui même.
La valeur maximale de n pour deux sous-ensembles est donc de 14.
Au-delà, cette question pourtant apparemment anodine (établir progressivement un simple tableau des rangs des sous-ensembles contenant chaque entier n) est plus difficile à traiter.
L’inventaire des solutions paraît très vite hors de portée même assisté d’un ordinateur…
Avec quelques précautions (et l’utilisation d’un langage compilé tel que le java ou le C), tous les cas possibles peuvent néanmoins être examinés lorsque k=3. Il apparaît alors qu’au plus 85 entiers peuvent être répartis en 3 sous-ensembles dans les conditions données. Les sous- ensembles suivants correspondent aux premiers inventoriés parmi de nombreuses variantes (indépendamment des permutations possibles).
E1={1, 2, 4, 9, 10, 13, 17, 20, 22, 25, 28, 30, 33, 37, 38, 41, 46, 49, 50, 57, 58, 65, 66, 69, 73, 74, 76, 81, 82, 85}
E2={3, 7, 8, 11, 15, 16, 19, 23, 24, 27, 31, 35, 36, 39, 43, 44, 47, 51, 52, 55, 59, 60, 63, 67, 68, 71, 72, 75, 79, 80, 83}
E3={5, 6, 12, 14, 18, 21, 26, 29, 32, 34, 40, 42, 45, 48, 53, 54, 56, 61, 62, 64, 70, 77, 78, 84}
Même si peuvent être mis à jour des cycles de trois éléments (donc à répartir dans les 3 sous- ensembles) :
2-34-47, 3-22-78, 4-21-60, 5-20-44, 6-19-30, 12-52-69, 14-35-86, 15-34-66, 16-33-48 et 30-51-70,ou encore des cycles de quatre éléments (avec au moins une cohabitation de termes de rangs pairs et/ou impairs) :
1-3-33-48, 1-3-46-35, 1-8-41-80, 1-8-73-48, 2-7-42-79, 2-7-74-47, 3-6-43-78, 3-6-75-46, 4-5-44-77, 4-5-76-45,nous n’avons pas réussi à mettre simplement en évidence l’impossibilité d’atteindre n=86.
Avec 4 sous-ensembles, le nombre de variantes semble exclure une recherche exhaustive des cas possibles et, sans pouvoir affirmer que cette valeur est maximale, nous ne pouvons qu’exhiber quatre sous-ensembles attestant que n peut atteindre la valeur 207.
E1 ={1, 5, 9, 13, 14, 17, 18, 21, 25, 26, 29, 30, 33, 37, 38, 41, 42, 45, 49, 53, 54, 57, 61, 65, 66, 69, 73, 74, 77, 81, 85, 89, 93, 94, 97, 98, 101, 105, 109, 110, 113, 117, 118, 121, 125, 129, 133, 134, 137, 141, 145, 149, 150, 153, 157, 161, 165, 166, 169, 170, 173, 177, 181, 185, 186, 189, 193, 194, 197, 198, 201, 205}
E2 ={2, 3, 8, 10, 11, 12, 16, 19, 27, 31, 32, 35, 36, 40, 43, 44, 51, 55, 58, 59, 67, 72, 75, 76, 80, 82, 83, 91, 96, 99, 103, 106, 107, 115, 123, 130, 131, 139, 140, 144, 147, 148, 151, 154, 155, 162, 163, 168, 171, 172, 175, 178, 179, 187, 191, 192, 195, 196, 200, 202, 203}
E3 ={4, 6, 15, 22, 23, 24, 28, 39, 46, 47, 48, 50, 56, 62, 63, 64, 68, 70, 79, 84, 86, 87, 92, 95, 100, 102, 108, 114, 124, 127, 135, 136, 143, 152, 159, 160, 166, 167, 176, 180, 182, 183, 184, 199, 204, 207}
E4 ={7, 20, 26, 34, 52, 60, 71, 78, 88, 90, 104, 111, 112, 116, 119, 120, 122, 126, 128, 132, 138, 142, 146, 156, 158, 164, 174, 188, 190, 206}
Indiquons, en outre, les cycles remarquables de trois interdits (N=250).
1-24-120, 2-23-98, 2-34-47, 2-62-194, 2-167-194, 3-22-78, 3-78-118, 4-21-60, 4-60-165, 4-140-221, 5-20-44, 6-19-30, 6-58-138, 6- 75-94, 8-41-248, 8-56-113, 8-113-248, 8-136-188, 9-40-216, 10-39-186, 10-54-90, 11-38-158, 11-110-214, 12-37-132, 12-52-69, 12- 132-157, 13-36-108, 14-35-86, 14-107-182, 15-34-66, 16-33-48, 16-84-240, 17-104-152, 18-82-207, 20-80-176, 20-101-124, 20-205- 236, 22-78-147, 24-57-232, 24-76-120, 25-56-200, 26-55-170, 26-74-95, 26-170-230, 27-54-142, 28-53-116, 29-52-92, 30-51-70, 30- 166-195, 32-137-224, 35-134-190, 38-106-218, 38-131-158, 40-104-185, 42-102-154, 43-78-246, 44-77-212, 44-100-125, 45-76-180, 46-75-150, 47-74-122, 48-73-96, 52-204-237, 57-168-232, 60-165-196, 62-134-227, 64-132-192, 66-130-159, 67-102-222, 68-101- 188, 69-100-156, 70-99-126, 86-203-238, 90-166-234, 92-164-197, 94-131-230, 95-130-194, 96-129-160, 122-202-239, 125-164- 236, 126-163-198, 160-201-240
ou de quatre interdits (N=250).
1-3-22-99, 1-3-33-48, 1-3-46-35, 1-3-61-195, 1-3-97-24, 1-3-97-99, 1-3-166-195, 1-3-193-63, 1-3-193-168, 1-8-28-168, 1-8- 41-80, 1-8-73-48, 1-8-113-143, 1-8-136-120, 1-8-161-35, 1-8-217-224, 1-15-49-120, 1-15-106-63, 1-15-129-195, 1-15-181- 143, 1-15-241-48, 1-15-241-120, 1-24-57-168, 1-24-76-120, 1-24-97-99, 1-24-145-80, 1-24-232-168, 1-35-65-224, 1-35- 190-99, 1-48-121-168, 1-48-241-120, 1-63-193-168, 1-80-176-224, 2-7-29-167, 2-7-42-79, 2-7-74-47, 2-7-114-142, 2-7-137- 119, 2-7-162-34, 2-7-218-223, 2-14-50-119, 2-14-107-62, 2-14-130-194, 2-14-182-142, 2-14-242-47, 2-14-242-119, 2-23- 58-167, 2-23-77-119, 2-23-146-79, 2-23-233-167, 2-34-66-223, 2-34-191-98, 2-47-122-167, 2-47-242-119, 2-62-194-167, 2- 79-177-223, 3-6-30-166, 3-6-43-78, 3-6-75-46, 3-6-115-141, 3-6-138-118, 3-6-163-33, 3-6-219-222, 3-13-51-118, 3-13-108- 61, 3-13-131-193, 3-13-183-141, 3-13-243-46, 3-13-243-118, 3-22-59-166, 3-22-78-118, 3-22-99-97, 3-22-147-78, 3-22- 234-166, 3-33-67-222, 3-33-192-97, 3-46-123-166, 3-46-243-118, 3-61-195-166, 3-78-178-222, 4-5-31-165, 4-5-44-77, 4-5- 76-45, 4-5-116-140, 4-5-139-117, 4-5-164-32, 4-5-220-221, 4-12-52-117, 4-12-109-60, 4-12-132-192, 4-12-184-140, 4-12- 244-45, 4-12-244-117, 4-21-60-165, 4-21-79-117, 4-21-100-96, 4-21-148-77, 4-21-235-165, 4-32-68-221, 4-32-193-96, 4- 45-124-165, 4-45-244-117, 4-60-196-165, 4-77-179-221, 5-11-53-116, 5-11-110-59, 5-11-133-191, 5-11-185-139, 5-11-245- 44, 5-11-245-116, 5-20-61-164, 5-20-80-116, 5-20-101-95, 5-20-149-76, 5-20-236-164, 5-31-69-220, 5-31-194-95, 5-44- 125-164, 5-44-245-116, 5-59-197-164, 5-76-180-220, 6-10-39-250, 6-10-54-115, 6-10-111-58, 6-10-111-250, 6-10-134-190, 6-10-186-138, 6-10-246-43, 6-10-246-115, 6-19-62-163, 6-19-81-115, 6-19-102-94, 6-19-150-75, 6-19-150-250, 6-19-237- 163, 6-30-70-219, 6-30-195-94, 6-43-126-163, 6-43-246-115, 6-58-111-250, 6-58-198-163, 6-75-150-250, 6-75-181-219, 7- 9-40-249, 7-9-55-114, 7-9-112-57, 7-9-112-249, 7-9-135-189, 7-9-187-137, 7-9-247-42, 7-9-247-114, 7-18-63-162, 7-18-82- 114, 7-18-103-93, 7-18-151-74, 7-18-151-249, 7-18-238-162, 7-29-71-218, 7-29-196-93, 7-42-127-162, 7-42-247-114, 7-57- 112-249, 7-57-199-162, 7-74-151-249, 7-74-182-218, 8-17-64-161, 8-17-83-113, 8-17-104-92, 8-17-152-73, 8-17-152-248, 8-17-239-161, 8-28-72-217, 8-28-197-92, 8-41-128-161, 8-41-248-113, 8-56-113-248, 8-56-200-161, 8-73-152-248, 8-73- 183-217, 9-16-65-160, 9-16-84-112, 9-16-105-91, 9-16-153-72, 9-16-153-247, 9-16-240-160, 9-27-73-216, 9-27-198-91, 9- 40-129-160, 9-40-249-112, 9-55-114-247, 9-55-201-160, 9-72-153-247, 9-72-184-216, 10-15-66-159, 10-15-85-111, 10-15- 106-90, 10-15-154-71, 10-15-154-246, 10-15-241-159, 10-26-74-215, 10-26-199-90, 10-39-130-159, 10-39-250-111, 10-54- 115-246, 10-54-202-159, 10-71-154-246, 10-71-185-215, 11-14-67-158, 11-14-86-110, 11-14-107-89, 11-14-155-70, 11-14- 155-245, 11-14-242-158, 11-25-75-214, 11-25-200-89, 11-38-131-158, 11-53-116-245, 11-53-203-158, 11-70-155-245, 11- 70-186-214, 12-13-68-157, 12-13-87-109, 12-13-108-88, 12-13-156-69, 12-13-156-244, 12-13-243-157, 12-24-76-213, 12- 24-201-88, 12-37-132-157, 12-52-117-244, 12-52-204-157, 12-69-156-244, 12-69-187-213, 13-23-77-212, 13-23-202-87, 13-36-133-156, 13-51-118-243, 13-51-205-156, 13-68-157-243, 13-68-188-212, 14-22-78-211, 14-22-203-86, 14-35-134- 155, 14-50-119-242, 14-50-206-155, 14-67-158-242, 14-67-189-211, 15-21-79-210, 15-21-204-85, 15-34-135-154, 15-49- 120-241, 15-49-207-154, 15-66-159-241, 15-66-190-210, 16-20-80-209, 16-20-205-84, 16-33-136-153, 16-48-121-240, 16- 48-208-153, 16-65-160-240, 16-65-191-209, 17-19-81-208, 17-19-206-83, 17-32-137-152, 17-47-122-239, 17-47-209-152, 17-64-161-239, 17-64-192-208, 18-31-138-151, 18-46-123-238, 18-46-210-151, 18-63-162-238, 18-63-193-207, 19-30-139- 150, 19-45-124-237, 19-45-211-150, 19-62-163-237, 19-62-194-206, 20-29-140-149, 20-44-125-236, 20-44-212-149, 20-61- 164-236, 20-61-195-205, 21-28-141-148, 21-43-126-235, 21-43-213-148, 21-60-165-235, 21-60-196-204, 22-27-142-147, 22-42-127-234, 22-42-214-147, 22-59-166-234, 22-59-197-203, 23-26-143-146, 23-41-128-233, 23-41-215-146, 23-58-167- 233, 23-58-198-202, 24-25-144-145, 24-40-129-232, 24-40-216-145, 24-57-168-232, 24-57-199-201, 25-39-130-231, 25-39- 217-144, 25-56-169-231, 26-38-131-230, 26-38-218-143, 26-55-170-230, 26-55-201-199, 27-37-132-229, 27-37-219-142, 27-54-171-229, 27-54-202-198, 28-36-133-228, 28-36-220-141, 28-53-172-228, 28-53-203-197, 29-35-134-227, 29-35-221- 140, 29-52-173-227, 29-52-204-196, 30-34-135-226, 30-34-222-139, 30-51-174-226, 30-51-205-195, 31-33-136-225, 31-33- 223-138, 31-50-175-225, 31-50-206-194, 32-49-176-224, 32-49-207-193, 33-48-177-223, 33-48-208-192, 34-47-178-222, 34-47-209-191, 35-46-179-221, 35-46-210-190, 36-45-180-220, 36-45-211-189, 37-44-181-219, 37-44-212-188, 38-43-182- 218, 38-43-213-187, 39-42-183-217, 39-42-214-186, 40-41-184-216, 40-41-215-185
