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TD 1 : Sous-ensembles du plan.

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Academic year: 2022

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2017-2018 MAT303–UGA

TD 1 : Sous-ensembles du plan.

Exercice 1 : Pour chacune des fonctions de R dans R suivantes, d´ecrire les ensembles f−1([0,1[) et f−1([−1,2]).

f1 :x∈R 7−→ x2, f2 :x∈R 7−→ x, f3 :x∈R 7−→ sin(x).

Exercice 2 : Soit f :R27−→R, l’application d´efinie par f(x, y) =x+y.

1. D´ecrire les ensembles suivants g´eom´etriquement et les repr´esenter sur un dessin.

f−1({1}), f−1([0,1]), f−1([0,1[), f−1(R+).

2. On appelleligne de niveau λdef l’ensemble

Lλ(f) ={(x, y)∈R2, f(x, y) =λ}.

Quelle est la nature g´eom´etrique des ligne de niveaux de f? D´ecrire les ensembles ci-dessus comme des r´eunions de lignes de niveaux.

Exercice 3 :D´ecrire les lignes de niveauxλdes fonctions suivantes, en fonction de la valeur deλ∈R.

f1(x, y) =x2+y2, f2(x, y) =y−x2, f3(x, y) = x2 9 +y2

4.

Exercice 4 : D´ecrire les ensembles suivants comme des unions et intersections d’images r´eciproques de sous-ensembles deR par des fonctionsR2−→Rque l’on pr´ecisera.

E1 =

(x, y)∈R2, y >x2 , E2 =

(x, y)∈R2,−16x+ 2y61 et y>x2−1 , E3 =

(x, y)∈R2, x2+y2<1 ou x2+y2 >4 .

Exercice 5 : Soient A etB deux points du plan R2, de coordonn´ees (xA, yA) et (xB, yB).

1. Donner une ´equation cart´esienne de la droite (AB).

2. Donner une ´equation param´etrique de la droite (AB).

3. Que repr´esente g´eom´etriquement l’ensemble {(1−t)·A+t·B, t∈[0,1]}?

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Exercice 6 : On se place dans le planR2.

1. Etant donn´es deux points M et N de coordonn´ees respectives (xM, yM) et (xN, yN), rappeler l’expression de la distance deM `a N.

2. On dit qu’un sous-ensemble E de R2 est born´e s’il existe un r´eel R tel que pour tout point m ∈ E, on ait d(0, m) 6R. Faire un dessin repr´esentant graphiquement cette situation.

3. Dans la d´efinition ci-dessus, le choix de la distance `a l’origine a-t-il une importance ? 4. Parmi les ensembles suivants, lesquels sont born´es/non-born´es ? (Repr´esenter ces en-

sembles sur un graphique)

E1 =R+×R+, E2 =

(x, y)∈R2, x2+y2 64 ,

E3 = Le disque de centre (1,0) et de rayon 1, E4 =

(x, y)∈R2+, y6e−x .

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