LM270 UPMC 2009–2010 TE4b
Universit´ e Pierre et Marie Curie 2009–2010 LM270, Devoir 4b du 19 mai 2010 (groupes 2,3,10)
Ce devoir comporte 5 exercices et est not´e sur 100.
Exercice 1 (20 pts). On munit R3 du produit scalaire usuel. Pour chaque matrice de M3(R) ci-dessous, d´eterminez une base orthonorm´ee de vecteurs propres, ou bien montrez qu’il n’en existe pas :
A=
3 1 2
1 10 −5
2 −5 9
B=
1 2 3 0 1 2 0 0 1
Exercice 2 (20 pts). Soient R0 = (O,−→ i ,−→
j) un rep`ere orthonorm´e du plan affine euclidien P et (x, y) les coordonn´ees dans R0. SoientAle point de coordonn´ees (1,0), R1 le rep`ere (A,−→
i +−→ j ,−→
i −−→
j), et (X, Y) les coordonn´ees dansR1.
1. Exprimer (x, y) en fonction de (X, Y), et (X, Y) en fonction de (x, y).
2. Soit σ la sym´etrie orthogonale par rapport `a la droite affine D1 d’´equation x−y = 1. Soit M ∈ P de coordonn´ees (x, y) dans R0 et (X, Y) dans R1, d´eterminer les coordonn´ees (X0, Y0) puis (x0, y0) de M0=σ(M).
3. Soitt−→w la translation de vecteur−→w = 3−→ i +−→
j et soitf =t−→w◦σ. D´eterminer l’ensemble des pointsI∈ P tels que −−−→
If(I)∈R(−→ i +−→
j).
4. Montrer quefest une sym´etrie orthogonale gliss´ee, dont on d´eterminera l’axeDet le vecteur de translation
−
→u.
Exercice 3 (16 pts). SoitQla forme quadratique surR3d´efinie parQ(x, y, z) =x2+ 2y2+ 3z2−2xy−2xz. 1. Montrer queQest d´efinie positive.
2. CalculerQ(1,1,1).
3. Soientx, y, z∈Rtels queQ(x, y, z)≤1. Montrer que (−x+y+ 2z)2≤2 ; dans quel cas a-t-on l’´egalit´e ? Exercice 4 (20pts). Soient R= (O,−→
i ,−→ j ,−→
k) un rep`ere orthonorm´e de l’espace affine euclidienE et (x, y, z) les coordonn´ees dansR. Soitf :E → E l’application affine d´efinie par
f
x y z
=
−2/3 −2/3 1/3 1/3 −2/3 −2/3
−2/3 1/3 −2/3
x y z
+
1 1 1
1. D´eterminer la partie lin´eaire−→ f def. 2. Montrer que−→
f est une isom´etrie vectorielle deR3 et d´eterminer sa nature.
3. D´eterminer l’ensemble des points fixes deφet def. Exercice 5(24 pts). SoitR= (O,−→
i ,−→
j) un rep`ere orthonorm´e du plan affine euclidienP. SiM ∈ P, on ´ecrira M(x, y) pour indiquer que (x, y) sont les coordonn´ees deM dansR. On dit qu’une partieC deP estconvexe si elle v´erifie : pour tous pointsA, B∈ C, lesegment
[A, B] ={tA+ (1−t)B |t∈[0,1]}
est contenu dansC. SiA6=B, on notera ]A, B[ lesegment ouvert
]A, B[ ={tA+ (1−t)B |t∈]0,1[}= [A, B]−−− {A, B}.
LorsqueC est convexe, on dit qu’un pointP ∈ C est unpoint extr´emals’il v´erifie : pour tousA6=B dansC, P 6∈]A, B[ .
1. SoitT ={M(x, y)∈ P |x≥0, y≥0, x+y≤1}. Montrer queT est convexe.
2. Faire un dessin repr´esentantT. D´eterminer les points extr´emaux deT. 3. SoitC={M(x, y)| x2
4 +y2≤1}. Montrer queC est convexe. Faire un dessin repr´esentantC.
4. Soient A(a, b) etB(p, q) deux points distincts deC. Montrer que pour tout pointP(x, y)∈]A, B[ , on a (x2/4) +y2<1.
5. D´eterminer l’ensembleE des points extr´emaux deC. Quelle est la nature g´eom´etrique deE?
