LM270 UPMC 2009–2010 TE4a
Universit´ e Pierre et Marie Curie 2009–2010 LM270, Devoir 4a du 18 mai 2010 (groupes 4,5,7,8,9)
Ce devoir comporte 5 exercices et est not´e sur 100.
Exercice 1 (20 pts). On munitR3du produit scalaire usuel. Pour chaque matrice deM3(R) ci-dessous, d´eterminez une base orthonorm´ee de vecteurs propres, ou bien montrez qu’il n’en existe pas :
A=
0 1 2 0 0 3 0 0 0
B=
0 1 2 1 1 1 2 1 0
.
Exercice 2 (20 pts). SoientR0= (O,−→u ,−→v) un rep`ere du plan affineP et (x, y) les coordonn´ees dans R0. Soienta∈R,Ale point de coordonn´ees (0, a), etDa la droite affine de directionR(−→u +−→v) passant parA. On note (X, Y) les coordonn´ees dans le rep`ere Ra = (A,−→u +−→v ,2−→u + 3−→v).
1. Exprimer (x, y) en fonction de (X, Y), et (X, Y) en fonction de (x, y).
2. Soitf la sym´etrie par rapport `a Da parall`element `a la droite A+R(2−→u + 3−→v). Soit M ∈ P de coordonn´ees (x, y) dansR0et (X, Y) dansRa, d´eterminer les coordonn´ees (X0, Y0) puis (x0, y0) de f(M).
3. Soitt−→u+−→v la translation de vecteur−→u+−→v, et soitg=t−→u+−→v ◦f. D´eterminerapour queg(O) soit le pointI de coordonn´ees (5,7) dansR0.
4. V´erifier votre r´esultat en calculantg(I).
Exercice 3 (16 pts). 1. Soientx, y, z∈Rtels quex2+y2+z2≤1. Montrer que (x+ 2y+ 5z)2≤30 ; dans quel cas a-t-on (x+ 2y+ 5z)2= 30 ?
2. Soient x, y, z∈ Rtels que x2+ 2y2+ 5z2 ≤1. Montrer que (x+y+z)2 ≤17/10 ; dans quel cas a-t-on (x+y+z)2= 17/10 ?
Exercice 4 (20pts). Soient R= (O,−→ i ,−→
j ,−→
k) un rep`ere orthonorm´e de l’espace affine euclidien E et (x, y, z) les coordonn´ees dansR. Soitf :E → E l’application affine d´efinie par
f
x y z
=
z+ 2 x y−1
.
1. D´eterminer la partie lin´eaire−→ f def. 2. Montrer que−→
f est une isom´etrie vectorielle deR3 et d´eterminer sa nature.
3. D´eterminer l’ensemble des points I ∈ E tels que −−−→
If(I)∈ Ker(−→
f −id), et calculer dans ce cas le vecteur−−−→
If(I). Quelle est la nature de f? Exercice 5 (24 pts). SoitR= (O,−→
i ,−→
j) un rep`ere orthonorm´e du plan affine euclidienP. SiM ∈ P, on ´ecriraM(x, y) pour indiquer que (x, y) sont les coordonn´ees deM dansR. On dit qu’une partieC de P estconvexesi elle v´erifie : pour tous pointsA, B ∈ C, lesegment
[A, B] ={tA+ (1−t)B |t∈[0,1]}
est contenu dansC. SiA6=B, on notera ]A, B[ lesegment ouvert
]A, B[ ={tA+ (1−t)B |t∈]0,1[}= [A, B]−−− {A, B}.
Lorsque C est convexe, on dit qu’un point P ∈ C est un point extr´emals’il v´erifie : pour tous A6=B dansC,P 6∈]A, B[ .
1. SoitC={M(x, y)∈ P | −1≤x≤1, −1≤y≤1}. Montrer queC est convexe.
2. Faire un dessin repr´esentantC. D´eterminer les points extr´emaux deC.
3. SoitC={M(x, y)∈ P |y2≤2x}. Montrer queCest convexe. Faire un dessin repr´esentantC.
4. SoientA(a, b) etB(p, q) deux points distincts de C. Montrer que pour tout P(x, y)∈]A, B[ , on a y2<2x.
5. D´eterminer l’ensembleE des points extr´emaux de C. Quelle est la nature g´eom´etrique deE?
