1 Elments de thorie des sous-ensembles ous 5

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Frdric Sur

sous la direction de Jrme Lacaille

Ecole Normale Suprieure de Cachan Magistre de Mathmatiques

Mmoire de premire anne Anne 1997/1998

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Table des matires

Introduction 3

1 Elments de thorie des sous-ensembles ous 5

1.1 Gnralits . . . 5

1.2 Notions caractristiques . . . 5

1.3 Oprations sur les sous-ensembles ous . . . 6

1.4 Les -coupes . . . 9

1.5 Normes et co-normes triangulaires . . . 9

1.6 Relations oues . . . 10

1.7 Quantits oues sur ^R . . . 12

2 Le raisonnement en logique oue 15

2.1 Les implications oues . . . 15

2.2 Les propositions oues . . . 16

2.3 Conjonction de propositions oues . . . 16

2.4 Deux cas particuliers : les mthodes de Mamdani et de Larsen 17 2.5 Un exemple : le pendule invers . . . 17

3 La

^dfuzzic^ation

23

3.1 La mthode du maximum . . . 23

3.2 La mthode du centre de gravit . . . 24

4 Une application : estimation de l'objectif d'un missile 25

4.1 Prsentation . . . 25

4.2 Les donnes . . . 26

4.3 Fuzzication . . . 27

4.4 L'algorithme ou et la dfuzzication . . . 29

4.5 Conclusion . . . 30

Conclusion 33

35

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Introduction

La plupart des problmes rencontrs sont modlisables mathmatique- ment. Mais ces modles ncessitent des hypothses parfois trop restrictives, rendant dlicate l'application au monde rel. Les problmes du monde rel doivent tenir compte d'informations imprcises, incertaines. Prenons l'exemple d'une climatisation: si on veut obtenir une tempraturefrache, on peut se demander quelle gamme de tempratures conviendra (la demande est impr- cise) de plus la abilit des capteurs entre en jeu (la mesure de la tempra- ture ambiante est incertaine). On voit apparatre la dicult d'interprtation des variables linguistiques commefrais,chaud, ...ainsi que du traitement de ces donnes entaches d'incertitude.

Une approche fut dveloppe partir de 1965 par Lofti A. Zadeh, pro- fesseur l'Universit de Californie Berkeley, base sur sa thorie des sous- ensembles ous (fuzzy sets en anglais), gnralisant la thorie des ensembles classique. Dans la nouvelle thorie de Zadeh, un lment peut plus ou moins appartenir un certain ensemble.Les imprcisions et les incertitudes peuvent ainsi tre modlises, et les raisonnements acquirent une exibilit que ne permet pas la logique classique : la Logique Floue tait ne.

De nombreuses applications sont alors dveloppes dans divers domaines, l o aucun modle dterministe n'existe ou n'est pratiquement implmenta- ble, ainsi que dans des situations pour lesquelles l'imprcision sur les donnes rend le contrle par des mthodes classiques impossible.

Dans ce qui suit, on dveloppera d'abord la thorie des sous-ensembles ous, puis on prcisera le raisonnement en logique oue, on examinera les m- thodes d'exploitation des rsultats obtenus, et enn on verra une application eective.

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1 Elments de thorie des sous-ensembles ous

1.1 Gnralits

Dfinition 1 SoitX un ensemble. Unsous-ensemble ou A de X est dni par une fonction d'appartenance fA sur X valeurs dans l'intervalle 01].

exemple: une fonction caractristique possible pour dnir le sous-ensemble ou avoir une vingtaine d'annes.

Fig. 1:...avoir une vingtaine d'annes.

On voit ici que la fonction d'appartenance peut tre xe arbitrairement.

Un problme des applications pratiques est de dnir ces fonctions. On fait gnralement appel des donnes statistiques ou l'avis d'un expert.

La notion de sous-ensemble ou englobe celle de sous-ensemble classique pour laquellefA est la fonction indicatrice A.

On notera ;(X) la collection des sous-ensembles ous de X.

On crira parfois qu'un lment appartient un sous-ensemble ou avec un certain degr. Il s'agira en fait de la valeur prise par la fonction d'appartenance du sous-ensemble ou au point considr.

1.2 Notions caractristiques

Soit A un sous-ensemble ou de X,

Dfinition 2 Les notions suivantes sont caractristiques de A : support deA : suppA = ^fx²XfA(x)⁶= 0^g.

hauteur deA : h(A) = supx²XfA(x), A est dit^normalis sih(A) = 1.

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Les sous-ensembles ous considrs seront tous supposs normalissie de hauteur gale 1.

noyau deA : noy A =P ^fx² XfA(x) = 1^g. cardinalit : ^jA^j= _x²_XfA(x).

exemple: avec l'exemple de la page prcdente :

Fig. 2: notions caractristiques.

Dfinition 3 Si A et B sont deux sous-ensembles ous de l'ensemble X, on dit que :

1. A estplus spcique queB si noy A⁽ noy B et suppAsuppB.

2. A estplus prcis que B si noy A = noy B, et suppA⁽suppB.

remarque: si A est un sous-ensemble de X au sens classique, alors A est normalis,A = suppA, A = noy A et ^jA^j=cardA.

1.3 Oprations sur les sous-ensembles ous

On dnit en thorie des sous-ensembles ous les mmes notions qu'en thorie des ensembles classique. Pour deux sous-ensembles ous A et B de l'ensembleX :

Dfinition 4 Egalit :A = B ^ssi ⁸x²XfA(x) = fB(x).

Dfinition 5 Inclusion :AB ^ssi ⁸x²XfA(x)⁶fB(x).

On peut construire par leur fonction d'appartenance :

Dfinition 6 Intersection :A^\B est dni par : fA^\B :x^7;^!min(fA(x)fB(x)):

6

(6)

Dfinition 7 Union : AB est dni par :

fAB :x^7;^! max(fA(x)fB(x)):

Mais comme on le verra au paragraphe 1.5 page 9, on dnit de manire plus gnrale intersection et union par respectivement une t-norme ou une t-conorme.

exemple: reprenons le cas dj envisag. On considre les personnes ayant une vingtaine d'annes, et celles ayant la majorit (en pointills sur la gure 3 : on considre un sous-ensemble non ou).

Fig.3: les deux fonctions d'appartenance considres.

Selon les dnitions 6 et 7, on peut caractriser les sous-ensembles ous correspondant aux personnes ayant une vingtaine d'annes et la majorit (cf gure 4) ainsi que celui des personnes ayant une vingtaine d'annes ou

Fig. 4: ayant une vingtaine d'annes et la majorit. la majorit (cf gure 5).

7

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Fig.5: ayant une vingtaine d'annes ou la majorit.

Imaginons que l'on cherche des personnes ayant une vingtaine d'anne et la majorit. D'aprs la gure 4 une personne age de 23 ans ne conviendra qu'avec un degr d'appartenance gal 05 alors qu'une personne de 20 ans conviendra tout fait (degr gal 1).

Proposition 1 Comme en thorie des ensembles classiques, on vrie que : ^\et sont associatives.

^\et sont commutatives.

^\et sont distributives l'une par rapport l'autre.

A=A et AX = X.

A^\X = A et A^\=. A^\B AAB.

^jA^j+^jB^j=^jA^\B^j+^jAB^j.

On dnit galement le produit cartsien de sous-ensembles ous :

Dfinition 8 SiX¹,X²,...,Xnsont des ensembles, et A¹ ²;(X¹), A² ²;(X²),...,An²;(Xn), on pose :

;!min(fA¹(x)fA²(x):::fAⁿ⁽x⁾):

fA¹A²Aⁿ :x⁷ ...ainsi que le complmentaire :

Dfinition 9 Lecomplmentaire A^C d'un sous-ensemble ouA ²;(X) est dni par :

fA^C :x^7;^!1^;fA(x):

Proposition 2 Les proprits suivantes sont satisfaites : (A^\B)^C =A^C B^C.

8

(8)

(AB)^C =A^C ^\B^C. (A^C)^C =A.

^jA^j+^jA^C^j=^jX^j.

Mais contrairement la thorie des ensembles : A^C ^\A =⁶ , A^C A⁶=X.

1.4 Les

^�

-coupes

Soit A un sous-ensemble ou de X.

Dfinition 10 Une -coupe A de A est un sous-ensemble (au sens classique) de X, dni par :

A =^fx²XfA(x)^�^g o ²01] est le seuil d'appartenance.

Proposition 3 Les-coupes vrient : (AB) =AB.

(A^\B) =A^\B. AB =⁾A B. A¹ =noy A.

A⁰ =X.

Thorme 1 On peut dcrire le sous-ensemble ou A partir de ses - coupes de la manire suivante :

8x²XfA(x) = sup A(x):

2]0^1]

1.5 Normes et co-normes triangulaires

Dfinition 11 Une norme triangulaire (t-norme) est une application

>: 01]01]^;^!01] telle que : i) ^>(xy) =^>(yx) (commutativit).

ii) ^>(x^>(yz)) =^>(^>(xy)z) (associativit).

iii) ^>(xy)⁶^>(zt) si x⁶z et y ⁶t (monotonie).

iv) ^>(x1) = x (1 est lment neutre).

L'oprateur min satisfait ces proprits.

Toute t-norme est un oprateur d'intersection,ie on peut dnir A^\^>B (en accord avec la proposition 1) par sa fonction d'appartenance de la manire suivante :

8x²XfA^\^�B(x) = ^>(fA(x)fB(x)):

9

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Dfinition 12 Une conorme triangulaire (t-conorme) est une application

?: 01]01]^;^!01] telle que : i) ^?(xy) =^?(yx) (commutativit).

ii) ^?(x^?(yz)) =^?(^?(xy)z) (associativit).

iii) ^?(xy)⁶^?(zt) si x⁶z et y⁶ t (monotonie).

iv) ^?(x0) = x (0 est lment neutre).

L'oprateur max satisfait ces proprits.

Toute t-conorme est un oprateur d'union, ie on peut dnir A^? B (toujours en accord avec la proposition 1) par sa fonction d'appartenance ainsi :

8x²XfA^�B(x) =^?(fA(x)fB(x)):

Proposition 4 On peut passer d'une t-norme une t-conorme (et vice- versa) par une ngation n : 01] ^;^! 01] telle que n(0) = 1, n(1) = 0, et n(x)⁶n(y) si x^�y, de la fa!on suivante :

n(^>(xy)) =^?(n(x)n(y)):

exemple: Quelques t-normes et t-conormes associes (pour la ngation n(x) = 1^;x) :

Zadeh

nom

probabiliste Lukasiewicz Hamacher

t-norme

min(xy) max(x + yxy ^;10)

xy

t-conorme

max(xy) x + y^;xy min(x + y1)

x⁺y^;xy^;(1;⁾xy

8

<

^+(1;⁾⁽x⁺y^;xy⁾

si y = 1

x ⁸^< x si y = 0^1;(1;⁾^xy

Weber y si x = 1 y si x = 0

: 0 sinon ^: 1 sinon o > 0.

1.6 Relations oues

Dfinition 13 Une relation oue ^R entre deux ensembles X et Y est un sous-ensemble ou deX Y .

exemple: la relation oue ^R : approximativement gal peut tre dnie sur ^R^Rpar la fonction d'appartenance :

f^R(xy) = 1 + (x1^;y)²: 10

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Fig. 6: x approximativement gal 3.

...Comme pour les relations binaires ...

Dfinition 14 ...on eectue les oprations :

inverse ^R^;1 d'une relation oue ^R entreX et Y :

8(xy)²X Yf^R^;1(yx) = f^R(xy):

composition de deux relations oues ^R¹ (entreX et Y ) et ^R² (entreY etZ) :

8(xz)²X Zf^R¹^R²(xy) = supmin(f_y ^R¹(xy)f^R²(yz)):

2Y

remarque: cette dnition correspond celle classiquement utilise, mais on peut remplacermin par une t-norme quelconque.

Dfinition 15 ...et on dit que la relation oue ^Rsur X est : symtrique si : ⁸(xy)²X Xf^R(xy) = f ^R(yx),

f^R(xy) > 0

antisymtrique si : ⁸(xy)²X X f^R(yx) > 0 =⁾x = y, rexive si :⁸x²Xf^R(xx) = 1,

transitive si : ^R^R^R ie :⁸(xy)²X Xf^{R R}(xy)⁶f^R(xy).

Dfinition 16 Une relation d'ordre ou est une relation rexive transitive antisymtrique, et une relation de similarit est une relation rexive transitive symtrique.

11

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1.7 Quantits oues sur

^R

Dfinition 17 On dit que F est un sous-ensemble ou convexe de ^Rsi et seulement si :

8(xy)²^R^R⁸z²xy]fF(z)^�min(fF(x)fF(y)):

Proposition 5 Le sous-ensemble ouF est convexe si et seulement si toute -coupe de F est une partie convexe de ^R.

Dfinition 18 On appelle les sous-ensembles ous normalissQ des quantits oues.

Dfinition 19 Si m ² ^Rest tel que fQ(m) = 1, m est une valeur modale de la quantit oue Q.

Dfinition 20 Un intervalle ou de ^R est une quantit oue convexe de

R. Un nombre ou est un intervalle ou, de fonction d'appartenance semi- continue suprieurement et support compact, admettant une seule valeur modale.

Dfinition 21 Oprations arithmtiques sur les quantits oues :

opration unaire sur les quantits oues partir d'une opration unaire' sur ^R:

8z²^Rf^�Q(z) = sup fQ(x)

fx^2Rz^�'⁽x^)g

opration binaire ? sur les quantits oues partir d'une opration binaire sur ^R:

8z ²^RfQ?Q⁰(z) = sup min(fQ(x)fQ⁰(y))

f(xy^)2R^Rz^�xy^g

exemple: On peut, avec ce qu'on a introduit, sommer ou multiplier des nombres rels connus approximativement. Ce peut tre un cadre pratique pour le calcul d'incertitudes.

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Fig.7: deux nombres ous.

Fig.8: leur somme et leur produit.

13

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2 Le raisonnement en logique oue

2.1 Les implications oues

Dfinition 22 Une implication oue est une relation ^R entre les deux en- semblesX et Y quantiant le degr de vrit de la proposition :

SI (x²A⁾ ^ALORS ⁽y²B⁾,

o A et B sont des sous-ensembles ous de X et Y respectivement.

La fonction d'appartenance f^R de cette relation dpend des fonctions d'appartenance fA etfB de A et B.

En logique classique fA et fB ne prennent que les valeurs 0 ou 1, et f^R est dnie par :

fA(x) 00 11

fB(y) 01 01

f^R(xy) 11 01

En logique oue, on peut dnir plusieurs implications. On a regroup les principales sur le tableau suivant.

Valeur de vrit f^R^R(xy)

f^R^W(xy) f^R^RG(xy)

(xy) f^R^KD

(xy) f^R^{B G} f^R^G(xy) f^R^L(xy) f^R^M(xy) f^R^P(xy)

1^;fA(x) + fA(x)fB(y)

max(1^;fA(x)min(fA(x)fB(y)))

1 sifA(x)⁶fB(y) 0 sinon

max(1^;fA(x)fB(y))

1 sifA(x)⁶fB(y) sinon

( fB(y)

f^B⁽y⁾

min(_fA

(x⁾1) sifA(x)⁶= 0

1 sinon

min(1^;fA(x) + fB(y)1) min(fA(x)fB(y))

fA(x)fB(y)

ReichenbachNom Willmott Rescher-Gaines

Kleene-Dienes Brouwer-G"del

Goguen Lukasiewicz

Mamdani Larsen

Les deux dernires implications oues (Mamdani et Larsen) ne gnrali- sent pas l'implication classique, alors que c'est le cas des autres. Elles sont nanmoins les plus utilises dans les commandes oues, comme on le verra plus loin.

15

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2.2 Les propositions oues

Comme en logique classique, on peut eectuer des raisonnements sur les sous-ensembles ous, par exemple un raisonnement du type :

SI (x²A⁾ ^ET ⁽y²B⁾ ^ALORS ⁽z²C⁾, o A, B, C sont des sous-ensembles ous.

En logique classique, ce peut tre :

SI (x > 5⁾ ^ET ⁽y > 7⁾ ^ALORS ⁽xy > 35⁾. En logique oue, on aura une rgle du genre :

SI (vitesse est grande) ET (obstacle est proche) ALORS

(freinage est fort).

Tout le problme rside dans la dtermination du sous-ensemble ou des z satisfaisant l'implication, connaissant x, y et les fonctions d'appartenance deA, B, et C. Le sous-ensemble des solutions est ou car un z donn ralise l'implication avec un degr plus ou moins grand.

Dfinition 23 Le sous-ensemble ou solution S a pour fonction d'appartenance :

fS(z) = f^R((fA(x) ? fB(y))fC(z))

o f^R est la fonction d'appartenance d'une relation d'implication oue, et ? une norme triangulaire (c'est un oprateur de conjonction traduisant le^ET).

2.3 Conjonction de propositions oues

Le contrle d'un processus par commande oue ncessite de considrer les direntes valeurs possibles pour les variables d'entre, et donc direntes rgles pour chaque situation envisage. Ainsi, on considre un ensemble de propositions oues, du genre :

SI (x²A¹⁾ ^ET ⁽y²B¹⁾ ^ALORS ⁽z ²C¹⁾ P¹

SI (x²A²⁾ ^ET ⁽y²B²⁾ ^ALORS ⁽z ²C²⁾ P²

...

SI (x²An⁾ ^ET ⁽y²Bn⁾ ^ALORS ⁽z²Cn⁾ Pn ^.

Pour dterminer le sous-ensemble ou solution de la conjonction des^V n propositions, il faut utiliser un oprateur d'agrgation permettant de faire la synthse des solutions de chaquePi.

Dfinition 24 Le sous-ensemble ouS des solutions du systme de propositions oues est dni par la fonction d'appartenance :

fS(z) = (f^ S¹(z)fS²(z):::fSⁿ(z)):

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Commeon le verra dans l'exemple2.5, les rgles qui ne sont pas concernes par l'observation (c'est dire la jeme^� proposition si fA^j(x) = fB^j(y) = 0) ne doivent pas intervenir dans la synthse.

Or : fA^j(x) = fB^j(x) = 0 implique : fA^j(x) ? fB^j(y) = 0 et donc : fS^j(z) = f^R(0fC^j(z)). Ainsi si ^R est l'implication de Mamdani ou de Lar- sen,fS^j(z) = 0, et dans les autres cas f^V S^j(z) = 1. Il convient alors d'utiliser comme oprateur d'agrgation un oprateur admettant 0 comme lment neutre dans le premier cas et 1 dans les autres.

On peut utiliser respectivement les oprateurs max et min.

2.4 Deux cas particuliers : les mthodes de Mamdani et de Larsen

Examinons deux possibilits de choix pour ^R, ?, e mthode de :

implication oue ^R

oprateur de conjonction^V? oprateur d'agrgation

Mamdani

RM

minimum maximum

t .V

Larsen

RL

produit maximum

remarque: la mthode de Mamdani est aussi appele mthodemin-max. Avec ces dnitions la fonction d'appartenance du sous-ensemble ou des solutions de la proposition Pi :

SI (x²Ai⁾ ^ET ⁽y²Bi⁾ ^ALORS ⁽z ²Ci⁾

est :

Mamdani :

fSⁱ(z) = min(min(fAⁱ(x)fBⁱ(y))fCⁱ(z))

Larsen :

fSⁱ(z) = (fAⁱ(x)fBⁱ(y))fCⁱ(z)

et dans les deux cas les solutions sont agrges par = max,V ie le sous- ensemble ouS solution du systme des n propositions a pour fonction d'appartenance :

fS(z) = max(fS¹(z)fS²(z):::fSⁿ(z))

o si 1 ⁶i⁶n, Si est le sous-ensemble ou solution de la proposition Pi.

2.5 Un exemple : le pendule invers

On va tudier un processus de commande oue permettant de maintenir en position verticale un pendule invers : une barre place sur un chariot mobile pouvant tre dplac dans deux directions (cf gure 9 page suivante).

L'axe de rotation de la barre est solidaire du chariot.

17

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Fig. 9: le pendule invers.

Ce processus de commande s'eectue en temps rel : on mesure la vitesse angulaire ainsi que l'angle d'inclinaison de la barre, et on calcule chaque instant la vitesse devant tre applique au chariot pour rattraper le mouvement de rotation de la barre et la maintenir dans la position la plus verticale possible.

On suppose que l'on peut qualier la vitesse angulaire et l'angle d'inclinaison de la barre ainsi que la vitesse du chariot par :

NG

: Ngatif Grand

NF

: Ngatif Faible

Z

: Zro

PF

: Positif Faible

PG

: Positif Grand.

On utilise les fonctions d'appartenance de la gure 10

Considrons par exemple que la barre est en position verticale et que sa vitesse angulaire est faible, dans le sens + (sens inverse de celui des aiguilles d'une montre). On doit alors compenser le mouvement de la barre en dpla!ant le chariot dans la direction + (vers la gauche) une vitesse faible.

D'o la rgle oue :

SI (angle est zro) ET (vitesse angulaire est positive faible)

ALORS (vitesse est positive faible).

On tablit ainsi les rgles de contrle du mobile, que l'on peut rsumer dans le tableau suivant :

18

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Fig. 10: les fonctions d'appartenance.

vitesse angle

NG NF Z PF PF

v a NG NG

i n NF NF Z

t g Z NG NF Z PF PG

e u PF Z PF

s l PG PG

On utilisera la mthode min-max.

Prenons un cas particulier : soit comme valeur d'angle celle de la gure 11 et comme valeur de vitesse angulaire celle de la gure 12.

Fig. 11: une valeur d'angle.

Comme on le lit sur les graphes, l'angle considr est zro (^Z) avec le degr 0,8et est positif faible (^PF) avec le degr 0,2. En ce qui concerne la vitesse angulaire, elle est zro (^Z) avec un degr de 0,3 et est ngative faible (^NF) avec un degr de 0,7.

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Fig. 12: une valeur de vitesse angulaire.

Rappelons que le degr de vrit de l'implication oue :

SI (x²A⁾ ^ET ⁽y²B⁾ ^ALORS ⁽z ²C⁾

o x est la valeur mesure de l'angle entre la barre et l'horizontale, y celle de la vitesse angulaire de rotation de la barre, etz une une vitesse pouvant tre applique est :

fS(z) = min(min(fA(x)fB(y))fC(z)) On applique les quatre rgles concernes :

1. ^SI ^(angle ^Z) ÊT ^(vitesse ângulaire ^Z) ÂLORS ^(vitesse ^Z). L'angle est zro avec un degr de 08 et la vitesse angulaire est zro avec un degr de 03. On dduit la fonction membre des vitesses solutions de l'implication oue sur la gure 13 (min(0803) = 03).

Fig. 13: solution de la premire rgle oue.

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2. ^SI ^(angle ^Z) ÊT ^(vitesse ângulaire ^NF) âlors ^(vitesse ^NF). L'angle est zro avec un degr de 08 et la vitesse angulaire est ngative faible avec un degr de 07. On dduit la fonction membre des vitesses solutions sur la gure 14 (min(0807) = 07).

Fig.14: solution de la deuxime rgle oue.

3. ^SI ^(angle ^PF) ÊT ^(vitesse ângulaire ^NF) âlors ^(vitesse ^Z). L'angle est positif faible avec un degr de 02 et la vitesse angulaire est ngative faible avec un degr de 07. On dduit la fonction membre des vitesses solutions sur la gure 15 (min(0207) = 02).

Fig. 15: solution de la troisime rgle oue.

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4. ^SI ^(angle ^PF) ÊT ^(vitesse ângulaire ^Z) âlors ^(vitesse ^PF). L'angle est positif faible avec un degr de 02 et la vitesse angulaire est zro avec un degr de 03. On dduit la fonction membre des vitesses solutions sur la gure 16 (min(0203) = 02).

Fig.16: solution de la quatrime rgle oue.

Maintenant que l'on a dtermin les fonctions d'appartenance du sous- ensemble ou solution de chaque rgle, on dtermine le sous-ensemble solution du systme en agrgeant les rsultats, avec l'oprateur max (cf gure 17).

Fig.17: la fonction d'appartenance des solutions.

On a donc obtenu le sous-ensemble ou solution : pour une vitesse donne, on sait quel degr elle satisfait les rgles de la commande. Mais pour utiliser pratiquement ce rsultat, il faut donner une valeur numrique comme solution : de l'exploitation de la gure 17 on dduit une valeur de vitesse devant tre donne au chariot pour qu'il puisse rattraper la rotation de la barre. Cette tape est ladfuzzication, elle fait l'objet de la partie suivante.

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3 La

^dfuzzic^ation

Le processus de commande oue doit fournir une solution numrique pour tre exploitable. Par exemple pour un processus de contrle, l'organe de commande ncessite un signal d'entre prcis. Il reste donc une tape : l'interprtation du sous-ensemble ou des solutions, la dfuzzication.

Plusieurs possibilits existent, mais il semble qu'on ne puisse pas dterminer de manire systmatique la meilleure mthode de dfuzzication. Par ailleurs, la rapidit de l'algorithme de dfuzzication est cruciale pour un contrle en temps rel.

Dtaillons deux mthodes.

3.1 La mthode du maximum

Elle consiste choisir comme solution dfuzzie l'abscisse du maximum de la fonction d'appartenance des solutions.

Si plusieurs points conviennent, on peut par exempleutiliser une variante, la mthode de lamoyenne des maxima, qui consiste prendre commesolution la moyenne des abscisses des maxima.

Dans notre cas :

Fig. 18: mthode du maximum.

L'avantage de cette mthode est qu'elle ne ncessite pas une grande puissance de calcul. Cependant, elle prsente un gros inconvnient : de faibles variations du sous-ensemble ou solution peuvent entraner des sauts impor- tants du signal de sortie, comme l'illustre la gure 19. Ceci est particulire- ment gnant si le signal dfuzzi alimente un organe de contrle ncessitant un signal rgulier.

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Fig. 19: inconvnient de la mthode du maximum.

3.2 La mthode du centre de gravit

Cette mthode est la plus souvent utilise et donne gnralement les meilleurs rsultats. Elle consiste prendre comme solution l'abscisse du centre de gravit des solutions.

Pour le pendule invers :

Fig. 20: mthode du centre de gravit.

Par comparaison avec la mthode du maximum, les rsultats fournis sont bien plus stables vis--vis de variations minimes du sous-ensemble ou solution. Mais en contrepartie, elle exige une plus grande puissance de calcul.

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(23)

4 Une application : estimation de l'objectif d'un missile

On prsentera dans cette partie un exemple d'algorithme ou d'aide la prise de dcision. Le problme est d'estimer le plus tt possible la cible d'un missile autoguid en dplacement dans la direction de plusieurs objectifs potentiels. Cette partie repose sur les travaux de V.Boulet, E. Druon, D.

Willaeys et P. Vanheege $5].

4.1 Prsentation

On suppose que le missile a un objectif prdni qu'il cherche atteindre par la mthode de Navigation Proportionnelle (que l'on ne dtaillera pas).

On suppose galement les vitesses des dirents objets considrs constantes en module, et les vitesses des cibles faibles devant celle du missile. Les paramtres de la trajectoire de ce dernier sont fournis par des capteurs dont les mesures sont entaches de bruit.

Dnissons brivement les paramtres de la Navigation Proportionnelle :

O

δ

δ Γ Γ

V

C

O

C C

O On On

v η

axe de reference

Fig. 21: paramtres de la Navigation Proportionnelle.

O : mobile.

C : cible considre.

O : angle entre ^V⁰ et ^OC. C : angle entre ^V^C et ^OC. r : distance entre O et C.

: angle entre l'axe de rfrence et ^OC.

;On : acclration normale du mobile O.

25

(24)

v

;_On : projection de^;On sur la normale ^OC. A : constante de la Navigation Proportionnelle.

Les quations cinmatiques du mobileO contrl par Navigation Propor- tionnelle et dirig vers C sont :

r_ = VCcosC^;V⁰cosO=^;Vr (1) r_ = ^;VCsinC+V⁰sinO (2)

dO = (1^;A)dC (3)

;C ^;^;⁰ = (r^;r_²)^u+ (r+ 2r__)^v: (4) Des capteurs fournissent les valeurs de r, , ;^v_On avec des priodes de temps t.

On dnit une variable de danger pour chaque cible estimant la pos- sibilit d'tre la cible relle du missile c'est cette variable qui sera modie par l'algorithme ou.

4.2 Les donnes

1. Donnes gomtriques

On remarque que pour un mobile command par Navigation Propor- tionnelle,O converge vers 0 si la cible considre est la cible relle, et diverge sinon.

On calcule donc pour chaque objectif potentiel la valeur de O partir de celles der et .

2. Donnes cinmatiques

On estime pour chaque cible possible deux intervalles r^b¹r^b²] et ^b¹^b²] dans lesquelsr et devraient se trouver l'instant t + nt si la cible considre est la cible relle du missile (n est x l'avance). Pour i = 1 ou i = 2, on estime r^bi et ^bi en rsolvant les quations (1),(2), et (3) pourA = i (on ne connait pas la vritable valeur deA), et on diminue (i = 1) ou on augmente (i = 2) le rsultat pour tenir compte du bruit sur les mesures.

Pour la vritable cible,r et auront tendance rester dans respectivement r^b¹r^b²] et ^b¹^b²] alors que pour les autres cibles,r et sortiront de ces intervalles.

3. Contrle optimal

On ne connait pas les paramtres du mouvement du missile. Mais dans le cadre optimal pour la mthode de Navigation Proportionnelle, A

26

(25)

vaut 3 : on calcule pour chaque ciblem l'acclration normale u^cm du mobile si sont paramtre tait 3 et si la cible tait rellementm. On ne dtaillera pas le calcul ici mais avec l'quation (3), on dduit :

tf ^;tA^;2

;^vOn=AVr⁰ tf :

SiA > 2, ce que l'on supposera, ;^vOn dcroit vers 0. En particulier,u^cm

galement (carA = 3).

Pour amliorer la vitesse de convergence, on tudie l'cart l'idal :

;^v ^;u^cm. Si m est la cible relle, cm tend vers 0 et sinon cm

cm = _On diverge.

4.3 Fuzzication

1. Pour O et cm

On examine la fois cm et O pour acclrer l'estimation,

Pour O(t = 0) > 0, prenons pour fonctions d'appartenance les fonctions de la gure 22.

Fig. 22: fonctions d'appartenance pourO. avec :

NG

: Ngatif Grand

NF

: Ngatif Faible

Z

: Zro

PF

: Positif Faible

PG

: Positif Grand.

27

(26)

La fonction f est une fonction dcroissante ayant 0 pour limite : elle permet d'liminer plus rapidement les cibles pour lesquelles le graphe deO est du type de celui de la gure 23.

Fig.23: cas particulier pour O.

Si O(t = 0) < 0, on symtrise les fonctions d'appartenance prc- dentes. D'autre part, on prend le mme type de fonctions membres pour cm.

2. Pour r et

Rappelons qu'il s'agit de savoir sir et appartiennent respectivement aux intervalles r^b¹r^b²] et ^b¹^b²].

Le bruit entachant les mesures d'incertitudes, les fonctions d'appartenance ne peuvent tre trs prcises (cf gure 24).

Fig.24: fonctions d'appartenance pour r. On choisit comme qualicatifs pour r :

28

(27)

NHIr

: Ngativement Hors Intervalle

DIr

: Dans l'Intervalle

PHIr

: Positivement Hors Intervalle.

De la mme fa!on on dnit les fonctions d'appartenance relatives .

4.4 L'algorithme ou et la dfuzzication

Les rgles oues augmentent ou diminuent la valeur de la variable ni- veau de danger attribue chaque objectif potentiel. On reprsente cette variation par les variables oues dangerm,m indiquant l'objectif considr.

On associe danger_m les sous-ensembles ous de la gure 25.

Fig. 25: fonctions d'appartenance pour danger_m. avec :

P

: Variation Positive

Z

: Variation Nulle

N

: Variation Ngative

TN

: Variation Trs Ngative

XN

: Variation Extrmement Ngative.

L'algorithme comporte deux ensembles de rgles xant dangerm partir, d'une part, decm etO ...

cmⁿO ^NG ^NF ^P ^PF ^PG

NG XN XN TN TN XN

NF XN Z N N TN

P TN N P Z TN

PF TN N Z Z N

PG XN TN TN XN XN

29

(28)

...et d'autre part, de r et . rⁿ

NHIr

DIr

PHIr

NHI ^DI ^PHI

XN Z XN

Z Z Z

XN Z XN

remarque: les variables r et ne sont en fait utiliss que pour accentuer le rejet d'une cible.

Pour l'obtention des rsultats, on utilise la mthode min-max et la m- thode du centre de gravit pour la dfuzzication on obtient alors une valeur numrique pour dangerm.

La cible m aura d'autant plus de chances d'tre la cible relle que la variable dangerm sera grande.

4.5 Conclusion

Simple mettre en &uvre, cette mthode permet nanmoins d'identier rapidement la cible rlle.

Considrons le scnario suivant (cf gure 26) :

Fig. 26: une simulation.

cinq cibles potentielles: Ci, pour 1 ⁶ i ⁶ 5, disposes selon une croix de demi-ct 3 km.

vitesse des cibles : 15 m/s selon l'axe (Ox).

vitesse du missile : 800 m/s.

missileO partant de 15 km de sa cible relle (C¹).

on choisit¹ = 2 et ² = 7 (cf les donnes cinmatiques dans 4.2).

On simule par ordinateur les mouvements en rsolvant les quations dif- frentielles de la cinmatique (par une mthode type Runge-Kutta), et les bruits de manire alatoire.

30

(29)

L'application de l'algorthme montre une reconnaissance de l'objectif rel (c'est--dire une variable de danger signicativementplus grande pour la cible C¹que pour les autres) ds que la distance entre le missile etC¹ est de l'ordre de 11 km, soit aprs un parcours d'approximativement 4 km seulement.

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(30)

Conclusion

Les outils fournis par la logique oue permettent une modlisation des phnomnes pouvant en un certain sens s'approcher du raisonnement humain. Le fait de transcender le tout ou rien des ordinateurs introduit une souplesse faisant la puissance des outils ous dans de nombreux domaines.

Au milieu des annes 80, les applications industrielles rent ors de manire spectaculaire, et ce essentiellement en Asie du Sud-Est, l'Europe et l'Amrique restant assez circonspectes sur le sujet. Elles vont du contrle d'un mtro automatique l'limination du tremblement pour les camras vido en passant par le rglage de cycles sur une machine laver. En outre, la exibilit des modles ous permit galement des applications dans des domaines tels que la mdecine (aide au diagnostic), la nance (prvisions boursires, oprations de change), la mtorologie, etc.

Mais mme s'ils bncirent d'un eet de mode, les algorithmes ous ne sont pas ncessairement les meilleurs. D'autres mthodes (par exemple les mthodes neuronales) peuvent les surpasser pour la rsolution de problmes du mme type. En fait, on s'oriente vers un panachage de ces techniques, et c'est ainsi que l'on assiste l'apparition d'algorithmes neuro-ous.

D'autre part, plus le systme est complexe, plus les rgles qui le rgissent sont nombreuses et compliques. Il s'agit l d'un obstacle majeur au contrle en temps rel. Des quipes au Japon s'attachent rduire la complexit des algorithmes ous un objectif de la recherche est de parvenir au contrle d'un hlicoptre sans pilote humain, t(che complexe s'il en est!

Citons pour nir quelques projets ous : la reconnaissance de motifs sur des images, l'laboration de robots intelligents qui, une fois certains travaux assimils, pourraient travailler en quipe, la mise au point de processeurs travaillant directement sur des variables linguistiques et non plus sur des variables boolennes ...

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Rfrences

$1] Bernadette Bouchon-Meunier, La logique oue, PUF collection Que sais-je? 2702, 1994.

$2] Bernadette Bouchon-Meunier, La logique oue et ses applications, Ad- dison Wesley France, 1995.

$3] Jean-Rapha+l Tong-Tong, La logique oue, Herms, 1995.

$4] Hansruedi B,hler, Rglage par logique oue, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1994.

$5] V.Boulet, E.Druon, D.Willaeys et P. Vanheege, Target estimation using fuzzy logic, inProceedings of 1993 IEEE Systems, Man and Cybernetics Conference.

...ainsi que les nombreuses pages Web sur le sujet.

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