Cahier de texte

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014

D. Blotti`ere Math´ematiques

Cahier de texte

Semaine 33 (du 23 au 27 juin)

Lundi 23 juin : Cours (4h)

D´ebut du chapitre 17 ^≪Calcul diff´erentiel^≫

• Taux d’accroissement d’une fonction en un point de son domaine de d´efinition.

• D´erivabilit´e en un point et nombre d´eriv´e.

• Notion de proximit´e pour une famille de droites.

• Tangente au point d’abscissead’une courbe repr´esentative de fonction d´erivable en un pointa.

• D´erivabilit´e en un point `a gauche, nombre d´eriv´e `a gauche, demie tangente `a gauche.

• D´erivabilit´e en un point `a droite, nombre d´eriv´e `a droite, demie tangente `a droite.

• D´erivabilit´e en un point versus d´erivabilit´e en un point `a gauche et d´erivabilit´e en un point `a droite.

• La d´erivabilit´e en un point entraˆıne la continuit´e en ce point.

• Op´erations sur les fonctions d´erivables en un point (combinaison lin´eaire, produit, quotient, composition).

• Fonction d´erivable sur un intervalle et fonction d´eriv´ee d’une telle.

• D´erivabilit´e et d´eriv´ees des fonctions usuelles (Arcsin, Arccos et Arctan except´ees).

• Op´erations sur les fonctions d´erivables sur un intervalle (combinaison lin´eaire, produit, quotient, compo- sition).

Lundi 23 juin : TD (2h)

Feuille de TD n˚22 ^≪Limites et continuit´e^≫

• Correction de l’exercice 215.

Feuille de TD n˚23 ^≪Espaces vectoriels^≫

• Correction des exercices 217, 218 et 221.

Mardi 24 juin : Cours (2h)

Suite du chapitre 17 ^≪Calcul diff´erentiel^≫

• D´efinition d’un extremum local pour une fonction.

• D´efinition d’un point int´erieur `a un intervalle.

• Extremum local d’une fonction d´erivable versus annulation de la d´eriv´ee, en un point int´erieur.

• Th´eor`eme de Rolle.

• Egalit´e des accroissements finis.´

Devoirs

• R´esoudre l’exercice 222 de la feuille de TD n˚23 ^≪Espaces vectoriels^≫.

• R´esoudre les exercices 226 et 231 de la feuille de TD n˚24 ^≪Calcul diff´erentiel^≫.

Jeudi 26 juin : Cours (2h)

Suite et fin du chapitre 17 ^≪Calcul diff´erentiel^≫

• D´efinition d’une fonction lipschitzienne.

• In´egalit´e des accroissements finis.

• Une fonction de classeC¹ sur un segment est lipschitzienne sur ce segment.

• Crit`ere pour qu’une fonction soit constante sur un intervalle.

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• Crit`eres diff´erentiels de monotonie et de stricte monotonie.

• Th´eor`eme de la limite de la d´eriv´ee.

• D´efinition d’une fonction de classeC^k sur un intervalle, o`uk∈N∪ {∞}.

• R´egularit´e des fonctions usuelles.

• Formule de Leibniz.

• Op´erations sur les fonctions de classeC^k sur un intervalle, o`uk∈N ∪ {∞}.

• D´erivabilit´e et d´eriv´ee d’une fonction r´eciproque.

• D´erivabilit´e et d´eriv´ees des fonctions Arcsin, Arccos et Arctan.

Jeudi 26 juin : TD (1h)

Feuille de TD n˚23 ^≪Espaces vectoriels^≫

• Correction des exercices 222 et 223.

Vendredi 27 juin : Cours (4h)

D´ebut du chapitre 18 ^≪Analyse asymptotique pour les suites^≫

• D´efinition des trois relations de comparaison pour les suites (cf.O,oet ∼).

• Un ´equivalent^≪simple^≫ pour les suites polynomiales.

• Liens entre les trois relations de comparaison pour les suites.

• La relation∼est une relation d’´equivalence sur les suites (i.e. est r´eflexive, sym´etrique et transitive).

• Si deux suites (un) et (vn) sont ´equivalentes et siun →ℓo`uℓ∈R, alorsvn→ℓ.

• Avoir la mˆeme limite versus ˆetre ´equivalentes, pour deux suites.

• Si deux suites (u_n) et (v_n) sont ´equivalentes et siu_n >0 `a partir d’un certain rang, alorsv<sub>n</sub> >0 `a partir d’un certain rang.

• Formulation des r´esultats sur les croissances compar´ees pour les suites, `a l’aide de la notationo.

• R`egles de calcul pour O et o dans le contexte des suites (combinaison lin´eaire, multiplication par un scalaire non nul, puissance, transitivit´e, multiplication par une mˆeme suite).

• R`egles de calcul pour ∼dans le contexte des suites (multiplication par un scalaire non nul, puissance, produit, quotient).

• Application de la th´eorie des ´equivalents `a l’´etude de limites de suites.

Devoirs

• R´esoudre l’exercice 235 de la feuille de TD n˚24 ^≪Calcul diff´erentiel^≫.

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