St. Joseph/ICAM Toulouse
CB n
◦5 - Espaces préhilbertiens réels - Sujet 1
EXERCICE 1
Pour (P, Q)∈R[X], on note
ϕ(P, Q) =P(0)Q(0) +P(1)Q(1) +P(2)Q(2)
1. Montrer que ϕest un produit scalaire surR2[X].
2. ϕest-il un produit scalaire sur R[X]?
3. On se place dans R2[X]muni du produit scalaire ϕ. On noteF ={P ∈R2[X], P(1) = 0}
a. Donner une base de F.
b. Expliciter la projection orthogonale surF du polynômeX2.
EXERCICE 2
On se place dans E=C1([0,1],R). Pour(f, g)∈E2, on note :
ψ(f, g) = Z 1
0
f(t)g(t) +f0(t)g0(t) dt
1. Montrer que ψest un produit scalaire sur E.
2. On note F ={f ∈ E, f(0) =f(1) = 0} et G={f ∈E, f00 =f}, et on munit E du produit scalaire ci-dessus.
a. Montrer que F etGsont orthogonaux (on pourra utiliser une intégration par parties).
b. Justifier quef1 :t7→etetf2 :t7→e−tforment une base orthogonale de G.
c. Cette base est-elle orthonormée ?
d. Montrer que pour tout f ∈E, il existe g∈Gtel que f−g∈F. e. Que peut-on en déduire pour F etG?
Spé PT B CB5 - 2020-2021
St. Joseph/ICAM Toulouse
CB n
◦5 - Espaces préhilbertiens réels - Sujet 2
EXERCICE 1
Pour (f, g)∈ C2([0,1],R)2
, on note :
ϕ(f, g) =f(0)g(0) + Z 1
0
f0(t)g0(t)dt
1. Montrer que ϕest un produit scalaire surE =C2([0,1],R).
2. On noteF ={f ∈E, f00=f}
a. Justifier quef1 :t7→etetf2 :t7→e−tforment une base orthogonale de F.
b. Expliciter la projection orthogonale surF pour le produit scalaireϕ de la fonctiont7→t2.
EXERCICE 2
On noteE ={P ∈R3[X], P(0) =P(1) = 0}.
1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de R3[X], et en donner une base.
2. Pour (P, Q)∈E2, on note
ψ(P, Q) =− Z 1
0
(P(x)Q00(x) +P00(x)Q(x))dx
a. Montrer que ψ définit un produit scalaire surE (on pourra utiliser une intégration par parties).
b. ψ définit-il un produit scalaire surR3[X]? Justifier la réponse.
c. Donner une base orthonormée de E pour le produit scalaire ψ.
Spé PT B CB5 - 2020-2021
