MathComp - Algèbre Arithmétique

MathComp - Algèbre Arithmétique

Pierre-Alain Fouque

Université de Rennes 1

Septembre 2020

Agenda

1 Plus grand commun diviseur

2 Algorithme Euclide

3 Nombres premiers

4 Numération en baseb

5 Théorème des restes chinois

6 Fonction indicatrice d’Euler

7 Théorème d’Euler

8 Groupes cycliques

9 Le groupe(Z/pⁿZ)^∗ où p est premier impair

Division euclidienne

Proposition (Division euclidienne)

Soient(a,b)∈Z×Z^∗. Il existe un unique(q,r)∈Z×Ztq

a=bq+r et 0≤r <|b|.

q,r est le quotient, reste de la division euclidienne dea parb.

Lemme

SoitH un sous-groupe deZ. Il existe un uniquen∈Ntq H=nZ.

Example

Soienta etb des entiers relatifs non tous les deux nuls. L’ensemble aZ+bZ=

au+bv :u,v∈Z ,est un sous-groupe de Z. Il existe donc un unique entierd ≥1 tq aZ+bZ=dZ.

Plus grand commun diviseur

Definition

L’entierd s’appelle le plus grand commun diviseur deaet b, ou en abrégé le pgcd deaet b, notéd = gcd(a,b).

Propriété de Bézout

Il existe des entiers relatifsu etv tq d =au+bv. Lemme

Le pgcd dea etb est l’unique entier naturel satisfaisant :

1 c’est un diviseur de a etb.

2 Il est multiple de tout diviseur commun dea etb.

Definition

aetb premiers entre eux (aest premier avec b), si gcd(a,b) =1.

Plus grand commun diviseur

Lemme

aetb sont premiers entre eux ssi∃ (u,v)∈Z² tqau+bv =1.

Corollary

Les entiers ^a_d et ^b_d sont premiers entre eux.

Corollary (Théorème de Gauss.)

Soitc un entier relatif tq adivisebc et apremier avec b. Alorsa divisec.

Plus petit commun multiple

Definition

Étant donnés des entiers relatifsa etb non nuls, l’ensemble aZ∩bZest un sous-groupe de Z. L’entier naturelm tel que

aZ∩bZ=mZ

s’appelle le plus petit commun multiple dea etb.

Proposition

gcd(a,b) lcm(a,b) =|ab|.

Algorithme Euclide (Calcul du pgcd)

Definition

Construire une suite finie d’entiers naturels(r_i)i≥0, appelée la suite des restes (associée àaet b), par le procédé suivant : on pose

r₀ =a etr₁ =b.

Soitr0,r1,· · ·,r_i oùi ≥1. Sir_i 6=0, ri+1 est le reste de la division euclidienne der_i−1 par r_i. Sir_i =0, le procédé s’arrête et la suite des restes estr0,r1,· · · ,ri−1,ri. Il existe un unique entiern≥1 tq :

0<r_n<rn−1 < . . . <r₁<r₀ etr_n+1 =0.

Proposition

r_n= gcd(a,b).

Calcul Relation de Bézout

Definition

Deux suites d’entiers(ui)0≤i≤n et(vi)0≤i≤n tq u₀ =1,u₁=0 etv₀ =0,v₁ =1,

ui+1 =u_i−1−u_iq_i etvi+1 =v_i−1−v_iq_i pour tout i =1, . . . ,n−1, oùq_i est le quotient de la division euclidienne de ri−1 par r_i. Proposition

r_n=au_n+bv_n Theorem (Complexité)

n ≤ 3

2log2logb+1

Complexité

Definition (Suite de Fibonacci)

U₀=0,U₁ =1 etU_k+1=U_k+Uk−1 pourk ≥1.

1 1 1 0

k

=

Uk+1 Uk

U_k Uk−1

.

Proposition (U_k et U_k+1 sont premiers entre eux) U_k+1Uk−1−U_k²= (−1)^k Proposition (Lamé, 1845)

a≥dU_n+2 et b≥dU_n+1

Nombres premiers

Definition (Nombre premier)

Tout entierp≥2 dont les seuls diviseurs positifs sont 1 et p.

Lemme

Soitp un entier ≥2. Alors,p est premier ssip n’est pas le produit de deux entiers strictement plus grands que1.

Corollary (Euclide)

L’ensemble des nombres premiers est infini.

Lemme (Lemme d’Euclide)

Soienta,b entiers naturels et p un nombre premier tq p divise ab.

Alors,p divise l’un des entiers aet b.

Théorème fondamental de l’arithmétique

Theorem

Tout entiern≥2 s’écrit de façon unique sous la forme n =p₁ⁿ¹. . .p_r^nr,

où lesni sont des entiers naturels non nuls, et les pi sont des nombres premiers vérifiantpi−1<pi pour tout i =2, . . . ,r, appelée décomposition den en produit de nombres premiers

Theorem (π(x): Nombre de nombres premiers ≤x - π(x)' _log^x_x) Pour tout nombre réelx ≥2, on a

log2 2

x

logx ≤π(x)≤(9log2) x logx.

Numération en base b ≥ 2

Theorem

Soitx un entier naturel non nul. On peut écrirex de manière unique sous la forme

x=a_nbⁿ+an−1bⁿ⁻¹+. . .+a₁b+a₀

oùn ∈N,a0, . . . ,a_n∈Ntq0≤a_i ≤b−1 eta_n est non nul.

x=a_nan−1. . .a₁a₀ : écriture dex en baseb et x= (a_n· · ·a₀)_b.

Theorem (Exponentiation rapide)

On peut calculer rapidementxⁿ enO(logn) multiplications

Théorème des restes chinois

Theorem

Soientm et n des entiers naturels non nuls premiers entre eux.

f :Z→Z/mZ×Z/nZ,

définie pour touta∈Z

f(a) = (a+mZ,a+nZ), est un morphisme d’anneaux surjectif, de noyaumnZ. Les anneauxZ/mnZet Z/mZ×Z/nZsont isomorphes.

via l’applicationa+mnZ7→(a+mZ,a+nZ)

Fonction indicatrice d’Euler

Definition

Pour toutn ≥1, l’entier ϕ(n)est le nombre d’entiers compris entre 1 etn, et premiers avec n.

ϕ(n) =

1≤k ≤n: gcd(k,n) =1 Lemme

Pour tout nombre premierp et tout entier r ≥1, on a ϕ(p^r) =p^r −p^r−1

Lemme

Soitn≥1. Un entieraet a¯sa classe modulonZ. Alors,a¯est inversible dansZ/nZssi gcd(a,n) =1.

(Z/nZ)^∗ =

¯

a:1≤a≤n et gcd(a,n) =1

Fonction indicatrice d’Euler

Corollary (L’ordre de(Z/nZ)^∗ est ϕ(n).)

L’anneauZ/nZest un corps si et seulement si n est premier.

Corollary

Soientmetn des entiers naturels non nuls premiers entre eux. On a

ϕ(mn) =ϕ(m)ϕ(n)

Theorem

ϕ(n) =nY

p|n

1− 1

p

Lemme

n=X

d|n

ϕ(d)

Théorème d’Euler

Theorem (Euler, 1760)

Soitn un entier naturel non nul. Pour tout entiera premier avecn, a^ϕ(n) =1modn

Proposition

SoitG un groupe abélien fini d’ordren, d’élément neutre e.

Pour toutx∈G, on axⁿ=e.

Corollary (Petit théorème de Fermat)

Soitp un nombre premier. Pour tout entiera non divisible parp, a^p−1 =1modp

En particulier, pour tout entiera, on aa^p =amodp

Groupes cycliques

Definition

SoitG un groupe fini d’ordre n, de neutree.G est cyclique s’il existe un élément d’ordren, appelé un générateur de G. Un groupe cyclique est abélien. Six est un générateur,G ={e,x, . . . ,xⁿ⁻¹} Theorem

SoitG un groupe cyclique d’ordren.

1) Tout sous-groupe deG est cyclique.

2) Pour tout diviseurd ≥1 den, l’ensemble Hd ={a∈G :a^d =e} est un sous-groupe deG d’ordred.

3)d 7→Hd est une bijection entre l’ensemble des diviseurs den et l’ensemble des sous-groupes deG. En particulier, pour tout diviseur d den,H_d est l’unique sous-groupe d’ordre d deG.

Groupes cycliques

Corollary

SoitG un groupe cyclique d’ordren. Pour tout entier k≥1, {a∈G :a^k =e} est un sous-groupe de G d’ordre gcd(k,n).

Theorem

SoientG un groupe cyclique d’ordren et x un générateur de G. 1) L’ensemble des générateurs deG est

{x^k :1≤k ≤n et gcd(k,n) =1}.

En particulier,G possède exactementϕ(n) générateurs.

2) Pour tout diviseurd den, il y a exactementϕ(d)éléments d’ordred dansG.

Lemme

SoientH etK des groupes cycliques. Le groupe produit H×K est cyclique ssi les ordres deH et K sont premiers entre eux.

Le groupe ( Z /p

Z )

où p est premier impair

Lemme (Caractérisation d’un groupe cyclique)

G groupe fini d’ordrem, de neutre e. Si pour tout diviseurd dem, le cardinal de{x∈G :x^d =e} est au plusd, alors G est cyclique.

Proposition

Pour tout nombre premierp,(Z/pZ)^∗ est cyclique.

Theorem

Soientp un nombre premier impair etn ≥1.(Z/pⁿZ)^∗ est cyclique d’ordrepⁿ⁻¹(p−1). Soita tqa+pZ est un géné. de(Z/pZ)^∗.

1 Si a^p−1 6=1modp²,a+pⁿZ est un générateur de(Z/pⁿZ)^∗.

2 Si a=1modp²,(a+p) +pⁿZ est un générateur(Z/pⁿZ)^∗. Theorem (Gauss, 1801)

Les entiersm≥1tq(Z/mZ)^∗ groupe cyclique sont1,2,4, et ceux de la formep^r et 2p^r où p est un nombre premier impair.