Daniel ALIBERT
Arithmétique et algèbre commutative : entiers, polynômes à une indéterminée, idéal.
Objectifs :
Savoir utiliser la divisibilité (théorème de Bézout, théorème de Gauss, éléments premiers). Etudier des équations à coefficients entiers. Racines d'un polynôme. Connaître des généralisations à des sous-anneaux de C (idéal, entiers de Gauss, …).
Organisation, mode d'emploi
Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été conçu en vue d'un usage pratique simple.
Il s'agit d'un livre d'exercices corrigés, avec rappels de cours.
Il ne se substitue en aucune façon à un cours de mathématiques complet, il doit au contraire l'accompagner en fournissant des exemples illustratifs, et des exercices pour aider à l'assimilation du cours.
Ce livre a été écrit pour des étudiants de première et seconde années des Licences de sciences, dans les parcours où les mathématiques tiennent une place importante.
Il est le fruit de nombreuses années d'enseignement auprès de ces étudiants, et de l'observation des difficultés qu'ils rencontrent dans l'abord des mathématiques au niveau du premier cycle des universités :
- difficulté à valoriser les nombreuses connaissances mathématiques dont ils disposent lorsqu'ils quittent le lycée,
- difficulté pour comprendre un énoncé, une définition, dès lors qu'ils mettent en jeu des objets abstraits, alors que c'est la nature même des mathématiques de le faire,
- difficulté de conception et de rédaction de raisonnements même simples, - manque de méthodes de base de résolution des problèmes.
L'ambition de cet ouvrage est de contribuer à la résolution de ces difficultés aux côtés des enseignants.
Ce livre comporte quatre parties.
La première, intitulée "A Savoir", rassemble les définitions et résultats qui sont utilisés dans les exercices qui suivent. Elle ne contient ni démonstration, ni exemple.
La seconde est intitulée "Pour Voir" : son rôle est de présenter des exemples de toutes les définitions, et de tous les résultats de la partie précédente, en ne faisant référence qu'aux connaissances qu'un étudiant abordant le chapitre considéré a nécessairement déjà rencontré (souvent des objets et résultats abordés avant le baccalauréat). La moitié environ de ces exemples sont développés complètement, pour éclairer la définition ou l'énoncé correspondant. L'autre moitié est formée d'énoncés intitulés
"exemple à traiter" : il s'agit de questions permettant au lecteur de réfléchir de manière active à d'autres exemples très proches des précédents. Ils sont suivis immédiatement d'explications détaillées.
La troisième partie est intitulée "Pour Comprendre et Utiliser" : des énoncés d'exercices y sont rassemblés, en référence à des objectifs. Ces énoncés comportent des renvois de trois sortes :
(☺) pour obtenir des indications pour résoudre la question, ( ) lorsqu'une méthode plus générale est décrite,
( ) renvoie à une entrée du lexique.
Tous les exercices sont corrigés de manière très détaillée dans la partie 3 - 2. Au cours de la rédaction, on a souvent proposé au lecteur qui souhaiterait approfondir, ou élargir, sa réflexion, des questions complémentaires (QC), également corrigées de façon détaillée.
La quatrième partie, "Pour Chercher", rassemble les indications, les méthodes, et le lexique.
Certains livres d'exercices comportent un grand nombre d'exercices assez voisins, privilégiant un aspect "entraînement" dans le travail de l'étudiant
en mathématiques. Ce n'est pas le choix qui a été fait ici : les exemples à traiter, les exercices et les questions complémentaires proposés abordent des aspects variés d'une question du niveau du L1 L2 de sciences pour l'éclairer de diverses manières et ainsi aider à sa compréhension.
Le lecteur est invité, à propos de chacun d'entre eux, à s'interroger sur ce qu'il a de général (on l'y aide par quelques commentaires)
Table des matières
1 A Savoir ... 6
1-1 Arithmétique des entiers ... 6
1-2 Polynômes ... 9
1-3 Algèbre commutative ... 16
2 Pour Voir ... 18
2-1 Arithmétique des entiers ... 18
2-2 Polynômes ... 33
2-3 Algèbre commutative ... 52
Comprendre et Utiliser ... 60
3-1 Énoncés des exercices ... 60
3-2 Corrigés des exercices ... 78
3-3 Corrigés des questions complémentaires .... 120
4 Pour Chercher ... 125
4-1 Indications pour les exercices ... 125
4-2 Méthodes ... 133
4-3 Lexique ... 138
1 A Savoir
Dans cette partie, on rappelle rapidement les principales définitions et les principaux énoncés utilisés. Vous devrez vous référer à votre cours pour les démonstrations.
Vous trouverez des exemples dans la partie 2*Pour Voir.
1-1 Arithmétique des entiers
Théorème
Soient p et q des entiers relatifs, avec q différent de 0. Il existe un couple unique d'éléments de Z, (b, r) , tels que :
p = b q + r, et 0 ≤ r < |q|.
Soient p et q des éléments non nuls de Z, on dit que q divise p, dans Z, s'il existe un élément b de Z tel que p = b q. On note dans ce cas q | p. On dit que q est un diviseur de p.
Si a et b sont des entiers et si q divise à la fois a et b, on dit que q est un diviseur commun à a et b.
La relation q | p n'est pas une relation d'ordre. Cette relation n'est pas antisymétrique :
si q | p et p | q, alors p = a q
avec a un élément inversible dans l'anneau Z, c'est-à-dire 1 ou –1.
Proposition
Soient a et b des entiers non tous deux nuls. Il existe un unique entier strictement positif d vérifiant :
1) d divise a et b ;
2) Si d' est un diviseur commun à a et b, alors d' divise d.
On dit que d est le plus grand diviseur commun à a et b (PGCD), et on note d = (a,b).
On définit de même le PGCD d'une famille (a, b, c, …) d'entiers.
On a les propriétés élémentaires suivantes : ((a,b),c) = (a,(b,c)).
Si k n'est pas nul, k(a,b) = (ka,kb).
Pour tout entier q, (a,b) = (b,a – bq).
Si a est non nul, (a,0) = a.
Définition
On dit que a et b sont premiers entre eux, ou étrangers, si 1 est le PGCD de a et b.
Ainsi, si d = (a,b), et si on pose a ′ = a
d, et b ′ = b
d, alors (a',b') = 1.
Théorème (Bézout)
Les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe des entiers u et v vérifiant :
au + bv = 1.
Calcul du PGCD par l'algorithme d'Euclide
Cet algorithme permet de déterminer le pgcd de deux entiers a et b par une suite de divisions euclidiennes :
a = bq + r b = r q1 + r1 r = r1q2 + r2
…
rn-1 = rnqn+1 + rn+1.
Cette suite est poursuivie jusqu'à ce que le reste obtenu soit nul.
Le dernier reste non nul est le pgcd cherché.
Théorème (Gauss)
Soient a, b, c des éléments de Z, non nuls. Si a divise bc, et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c.
En particulier, si a et b sont premiers entre eux, et si a et b divisent c, alors ab divise c.
Définition
Soit p un élément de Z. On dit que p est un élément premier s'il est supérieur ou égal à 2, et premier avec tout entier q tel que 0 < q < p.
Un entier p est premier si et seulement si il a exactement 2 diviseurs positifs distincts.
Un entier p est premier si et seulement si il est supérieur ou égal à 2 et ses seuls diviseurs sont 1 et p.
Si p est premier, il est premier avec tout élément de Z qu'il ne divise pas.
Si p est premier, et si p divise un produit ab, alors p divise a ou b.
Théorème
L'ensemble des nombres premiers est infini.
Proposition
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Il existe une famille finie de nombres premiers, p1, … , pr , et une famille finie d'entiers strictement positifs n1,
… , nr tels que n = p1n1 p2n2 … prnr . De plus cette décomposition est unique.
Théorème (Fermat)
Soit p un nombre premier, et a un entier quelconque. Alors p divise ap - a.
En particulier, si p ne divise pas a, alors p divise ap-1 - 1.
1-2 Polynômes
Définition :
Soit K un corps, on appelle polynômes formels à coefficients dans K, ou plus simplement polynômes, les suites finies d'éléments de K.
Un polynôme est noté généralement :
A = a0 + a1X + a2X2 + … + anXn.
L'ensemble des polynômes à coefficients dans K est noté K[X].
Dans ce livre, K sera en général Q, R ou C.
Si A = (ap) est un polynôme, mais n'est pas la suite nulle, on pose : deg(A) = max{p | ap≠ 0},
cet entier est le degré de A.
On notera que cet entier n'est pas défini si A est nul.
Si n est le degré de A, le coefficient an est appelé le coefficient dominant de A. S'il vaut 1, le polynôme est dit unitaire.
On note Kn[X] l'ensemble des polynômes de degré au plus n, et du polynôme nul.
On définit le produit de deux polynômes formels de la manière suivante :
Soient P = (a0, a1, … , an, … ) et Q = (b0, b1, … , bn, … ) des polynômes, le polynôme PQ est le polynôme dont le terme d'indice n est :
cn = akbn−k
k=0
∑
n .L'ensemble K[X] est un anneau.
L'ensemble K[X] est un K-espace vectoriel, dont une base (infinie), souvent appelée "base canonique", est 1, X, …, Xn, …
L'ensemble Kn[X] est un K-espace vectoriel de dimension n + 1.
Proposition
Si A et B sont des polynômes non nuls, la relation suivante est vérifiée : deg(AB) = deg(A) + deg(B),
et si de plus A + B n'est pas nul, on a également la relation : deg(A + B) ≤ max(deg(A),deg(B)), et l'égalité est vraie si deg(A) ≠ deg(B).
Soit P un polynôme formel à coefficients dans K. On définit la fonction polynôme associée à P, notée encore P de K dans K en posant, pour P = a0 + a1X + a2X2 + … + anXn, et x ∈ K :
P(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn.
Proposition
(Division euclidienne dans K[X]).
Soient P et Q des polynômes, avec Q différent de 0. Il existe un couple unique d'éléments de K[X], (B, R), tels que :
P = B Q + R, et deg(R) < deg(Q), ou R = 0.
On dit que P est divisible par Q, ou que Q est un diviseur de P si le reste de la division de P par Q est nul, c'est-à-dire s'il existe un polynôme B tel que P = BQ. On note : Q | P.
La relation Q | P n'est pas une relation d'ordre : si Q | P et P | Q , alors P = a Q avec a un élément inversible dans l'anneau K[X], c'est-à-dire un scalaire (élément de K) non nul.
Soient P et Q deux polynômes, on dit qu'un polynôme R est un diviseur commun à P et Q si R divise P et R divise Q.
Proposition
Soient A et B des éléments non tous les deux nuls de K[X], il existe un unique élément D unitaire de K[X] tel que :
1) D divise A et B,
2) Si D1 est un diviseur commun à A et B, alors D1 divise D.
On dit alors que D est le plus grand diviseur commun (PGCD) de A et B. On note D = (A,B). On dit souvent d'un polynôme non nul multiple du PGCD par un scalaire que c'est un PGCD.
Le PGCD est le "plus grand" par le degré, et aussi par la relation de divisibilité.
Définition
Si le PGCD de A et B est le polynôme 1, on dit que A et B sont premiers entre eux, ou étrangers.
Théorème (de Bézout)
Deux polynômes sont premiers entre eux si et seulement si il existe des polynômes U et V vérifiant :
A.U + B.V = 1.
Calcul de PGCD
Pour calculer un PGCD de deux polynômes P et Q, on peut utiliser l'algorithme d'Euclide.
On fait la suite d'opérations suivantes
1) Effectuer la division euclidienne de P par Q : P = BQ + R 2) Effectuer la division euclidienne de Q par R :
Q = B1R + R1. 3) Effectuer la division euclidienne de R par R1 :
R = B2R1 + R2
et ainsi de suite, d'où une suite de polynômes Ri.
Le degré de la suite des polynômes Ri est strictement décroissant, donc il existe un rang k pour lequel Rk est nul. Le PGCD de P et Q est obtenu à partir du reste précédent Rk ("dernier reste non nul ") en le divisant par son coefficient dominant.
Théorème (Gauss)
Soient A, B, C des polynômes non nuls. Si A divise BC, et si A et B sont premiers entre eux, alors A divise C.
En particulier, si A et B sont premiers entre eux, et si A et B divisent C, alors AB divise C.
Proposition
Soit P un élément de K[X], et a un élément de K. Les conditions suivantes sont équivalentes :
1) P(a) = 0. (On dit alors que a est une racine de P dans K).
2) X – a divise P, c'est-à-dire il existe un polynôme Q tel que : P(X) = (X – a) Q(X).
NB : on a noté de la même manière le polynôme P et la fonction polynôme associée.
On peut en déduire qu'un polynôme non nul de degré n a au plus n racines distinctes.
Théorème
Tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1, à coefficients dans C, a au moins une racine dans C.
Définition
On appelle polynôme irréductible un polynôme P de degré supérieur ou égal à 1 qui n'a pas de diviseur Q tel que :
1 ≤ deg(Q) < deg(P).
Si K = R, les polynômes irréductibles unitaires sont d'une part les polynômes de degré 1, α(X – a) (avec α et a dans R, α non nul), d'autre part les polynômes de degré 2 sans racine, α(X2 + aX + b) (avec α, a, b dans R, α non nul et a2 – 4b < 0).
Si K = C, les polynômes irréductibles sont ceux de degré 1.
Tout polynôme est produit de polynômes irréductibles.
Définition
On dit que l'élément a de K est une racine multiple de multiplicité k du polynôme P si (X – a)k divise P, et (X – a)k+1 ne divise pas P.
On caractérise les racines multiples de P à l'aide de la dérivée :
Soit P un polynôme, P = a0 + a1 X + a2 X2 + … + anXn, on appelle polynôme dérivé de P, et on note DP le polynôme :
a1 + 2a2X + 3a3X2 … + nanXn-1.
Proposition
Soit a un élément de K, et p un entier. L'élément a est une racine multiple de multiplicité p du polynôme Q si et seulement si on a les relations suivantes :
P(a)=0, et pour tout k entier naturel, 1 ≤ k < p :
DkP(a)=0 , et enfin DnP(a)≠0 .
En particulier, les racines multiples de P (quel que soit leur ordre de multiplicité) sont les racines communes à P et DP, ce qu'on peut traduire en disant que a est une racine multiple de P si et seulement si (X – a) est un diviseur commun à P et DP.
Fractions rationnelles
On suppose maintenant K = R.
On définit sur R[X] × R[X]* une relation d'équivalence R : (P, Q) R (P1, Q1)
si et seulement si :
PQ1 = P1Q.
L'ensemble quotient est le corps des fractions rationnelles à coefficients dans R. On le note R(X).
Soit F un élément de R(X) et (P, Q) un de ses représentants.
On notera en général :
F(X) = P(X ) Q(X).
On cherche à simplifier l'écriture de F, en en donnant une forme standardisée.
Décomposition en éléments simples
1 Si deg(P) ≥ deg(Q), notons S le quotient de la division euclidienne de P par Q, et R le reste. On écrit :
P(X )
Q(X) =S(X)+ R( X) Q(X). On passe au point 2 pour la fraction R(X )
Q(X). Si deg(P) < deg(Q), on passe directement à 2 .
2 Factoriser Q en un produit de polynômes du premier degré, ou du second degré sans racine réelle. (Ce point peut être difficile, voire impossible à réaliser dans la pratique puisqu'il suppose qu'il est possible
de déterminer les racines de Q). On obtient une décomposition de la forme :
(α1X + β1)n1..(αkX + βk)nk(γ1X2 + δ1X + ε1)m1..(γrX2 + δrX + εr)mr. On a supposé que les polynômes figurant ci-dessus sont deux à deux non proportionnels.
3 Il existe alors des familles de réels :
(a1,i1)i1 = 1 , … , n1; … ; (ak,ik)ik = 1 , … , nk (c1,j1, d1,j1)j1 = 1, … , m1 ; … ; (cr,jr, dr,jr)jr = 1, … , mr , telles qu'on ait l'égalité :
R(X )
Q(X) = a1,1
(α1X+β1) +…+ a1,n1
(α1X+β1)n1 +… + cr, mrX +dr,mr (γrX2+δrX+εr)mr. Dans la pratique, pour déterminer ces réels, il y a diverses méthodes ou astuces.
Si elle n'est pas trop compliquée, on écrit la fraction sous la forme ci- dessus, avec des coefficients indéterminés, puis on réduit au même dénominateur, et on identifie le numérateur à P, ce qui permet de calculer les coefficients.
1-3 Algèbre commutative
Dans ce livre, les anneaux sont supposés unitaires (il existe un élément neutre pour la multiplication) et intègres (le produit de deux éléments non nuls est différent de 0).
On s'intéresse principalement aux anneaux de polynômes sur un corps, à Z et aux sous-anneaux de C.
Définition
Soit A un anneau commutatif, dont les opérations sont notées + et ×. On appelle idéal de A une partie I de A ayant les deux propriétés suivantes :
1) I est un sous-groupe de (A,+),
2) Pour tout a de A et tout x de I, le produit a × x est un élément de I.
A et {0} sont des idéaux.
Si A est un corps, ce sont les seuls idéaux de A.
Si t est un élément de A, l'ensemble des multiples de t : t.A = {t × a | a ∈ A}
est un idéal de A. Un tel idéal est dit principal. Il est engendré par t, qui est un générateur.
Si un idéal est engendré par t d'une part et par s d'autre part alors s est le produit de t par un élément inversible de A (c'est-à-dire un élément qui a un symétrique pour la multiplication).
Si u et v sont des éléments de A, l'ensemble des combinaisons de t et u :
t.A + u.A= {t × a + u × b | a, b ∈ A}
est un idéal de A. Il est engendré par t et u, qui en sont des générateurs.
Un anneau dans lequel tout idéal est un idéal principal est appelé un anneau principal.
Théorème
L'anneau des entiers relatifs, Z, et, pour tout corps K, l'anneau des polynômes à coefficients dans K, K[X], sont des anneaux principaux.
Si U et V sont des polynômes (ou des entiers), l'idéal engendré par U et V a pour générateur le PGCD de U et V.
Définition
Dans un anneau principal, on appelle PGCD de deux élément a et b un diviseur commun d tel que tout autre diviseur commun de a et b soit un diviseur de d.
Un PGCD de a et b est un générateur de l'idéal engendré par a et b.
Si un PGCD est inversible, ils le sont tous, et on dit que les éléments sont étrangers.
On peut étendre le théorème de Gauss et le théorème de Bézout à cette situation.
On dit qu'un élément est premier s'il n'est pas inversible, et si ses seuls diviseurs sont les produits de lui-même par un élément inversible.
Définition
On dit qu'un idéal est maximal s'il est différent de l'anneau, et maximal pour la relation d'inclusion entre idéaux.
Un élément extrémal est un élément qui engendre un idéal maximal.
Dans un anneau principal, un élément est extrémal si et seulement si il est premier.
Dans un anneau principal, si p est premier, et si p divise un produit ab, alors p divise a ou p divise b.
2 Pour Voir
Dans cette partie, on présente des exemples simples des notions ou résultats abordés dans la partie précédente. Ils sont suivis de questions très élémentaires à propos d'autres exemples, pour vérifier votre compréhension.
2-1 Arithmétique des entiers
"Soient p et q des entiers relatifs, avec q différent de 0. Il existe un couple unique d'éléments de Z, (b, r) , tels que : p = b q + r, et 0 ≤ r < |q|."
exemple 1
Les entiers p, b, q peuvent être négatifs, seul le reste r est supposé positif ou nul. Pour p et q positifs, il s'agit de la division usuelle pratiquée dès les classes primaires.
Soit p = 345, q = 103. On pose la division : 345 | 103
36 | 3 Le quotient est 3, le reste est 36.
exemple 2 (à traiter)
Si p ou q est négatif, on procède d'abord à la division usuelle de |p| par |q|, puis on passe à l'égalité ci-dessus. Effectuer de cette manière la division de 431 par – 29, puis de – 107 par – 19.
# réponse
Pour les valeurs absolues, 431 et 29, on obtient : 431 = 29 × 14 + 25
donc :
431 = (–29) × (–14) + 25.
Le quotient est –14, le reste 25.
Pour 107 et 19, on obtient :
107 = 19 × 5 + 12 – 107 = (– 19) × 5 – 12 – 107 = (– 19) × 6 + 7.
Le quotient est 6 et le reste 7.
"Soient p et q des éléments non nuls de Z, on dit que q divise p, dans Z, s'il existe un élément b de Z tel que p = b q. On note dans ce cas q | p. On dit que q est un diviseur de p."
exemple 3
Les diviseurs positifs de 918 sont 2, 17, 27, puisque 918 = 2 × 17 × 27, mais aussi :
1, 3, 6, 9, 18, 34, 51, 54, 102, 153, 306, 459, 918.
Méthode : la recherche des diviseurs d'un entier doit s'effectuer par essais successifs, en notant bien, pour chaque diviseur trouvé, le quotient correspondant, qui est un autre diviseur. Il faut arrêter le calcul quand le quotient devient inférieur au diviseur, en effet on ne pourra plus obtenir que des diviseurs déjà trouvés à partir de ce moment. Il est inutile d'essayer des diviseurs supérieurs à la racine carrée de l'entier étudié.
Dans l'exemple de 918, les couples obtenus sont :
(1, 918), (2, 459), (3, 306), (6, 153), (9, 102), (17, 54), (18, 51), et enfin (27, 34).
exemple 4 (à traiter)
Parmi les entiers suivants, lesquels sont des diviseurs de 378 :
7, 27, 36, 127, 189, 212.
# réponse
Il s'agit bien sur de 7, 27, 189.
"Si a et b sont des entiers et si q divise à la fois a et b, on dit que q est un diviseur commun à a et b."
exemple 5
Les nombres – 1323 et 945 ont 189 comme diviseur commun, ainsi que – 189. Les diviseurs de 189 sont également des diviseurs communs, par exemple 27, 63…
exemple 6 (à traiter)
Chercher tous les diviseurs communs aux deux entiers 351 et 234.
(Méthode suggérée : factoriser ces deux nombres).
Quelle observation peut-on faire sur l'ensemble de ces diviseurs communs ?
# réponse
On verra que la méthode n'est pas optimale, surtout si les nombres sont grands. Ici, toutefois, elle reste applicable.
Rappelons qu'elle consiste en un essai systématique de division par les nombres premiers successifs, jusqu'à épuisement.
Ainsi, 351 n'est pas divisible par 2, est divisible par 3, par 9, par 27, mais pas par 81, ni par 5, 7, 11, enfin est divisible par 13 :
351 = 27 × 13.
De même :
234 = 2 × 9 × 13.
Les diviseurs communs sont 1, 3, 9, 13, 39, 117, et leurs opposés.
On observe que ce sont les diviseurs du plus grand d'entre eux, 117.
"Soient a et b des entiers non tous deux nuls. Il existe un unique entier strictement positif d vérifiant : 1) d divise a et b ; 2) Si d' est un diviseur commun à a et b, alors d' divise d."
exemple 7
Revoir l'exemple précédent, on a bien constaté que les diviseurs communs à 351 et 234 étaient les diviseurs du plus grand d'entre eux, soit 117.
exemple 8 (à traiter)
Chercher les diviseurs communs à 134 et 335 et vérifier l'énoncé proposé.
# réponse
On voit que 134 est divisible par 2. Le quotient est 67 qui est premier, comme on le voit en essayant de le diviser par 2, 3, 5, 7, qui ne conviennent pas (méthode de l'exemple 3) :
134 = 2 × 67.
De même, on voit que 335 n'est pas divisible par 2, ni 3, mais par 5. Le quotient est encore 67.
Le plus grand diviseur commun est 67. Les seuls diviseurs communs sont 1 et 67 (et leurs opposés).
"On dit que d est le plus grand diviseur commun à a et b (PGCD), et on note d = (a,b)."
exemple 9
Ainsi 117 = (351, 234).
exemple 10 (à traiter)
Calculer, par la méthode précédente, le PGCD de 918 et 810.
# réponse
On a déjà donné les diviseurs de 918 :
1, 2, 3, 6, 9, 17, 18, 27, 34, 51, 54, 102, 153, 306, 459, 918.
Pour 810, on obtient :
1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 27, 30, 45, 54, 81, 90, 135, 162, 270, 405, et 810.
Le plus grand diviseur commun est donc 54.
"On définit de même le PGCD d'une famille (a, b, c, …) d'entiers."
exemple 11
La même méthode s'applique pour un nombre quelconque fini d'entiers, sous réserve de la longueur des calculs.
Ainsi pour 918, 810, et 351, on obtient à partir des listes ci-dessus et de celle des diviseurs de 351 :
1, 3, 9, 13, 27, 39, 117, 351, PGCD(918, 810, 351) = 27.
Remarquer que, comme on pouvait s'y attendre, on obtient un diviseur du PGCD de 918 et 810.
exemple 12 (à traiter)
Chercher, par cette méthode, le PGCD de 552, 828, 667.
# réponse
On obtient les listes suivantes de diviseurs :
Pour 552 {1, 2, 3, 4, 6, 12, 23, 24, 46, 69, 92, 138, 184, 276, 552}
Pour 828 {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 23, 36, 46, 69, 92, 138, 207, 276, 414, 828}
Pour 667 {1, 23, 29, 667}.
Le PGCD est donc 23.
"On a les propriétés élémentaires suivantes : ((a,b),c) = (a,(b,c)), si k n'est pas nul, k(a,b) = (ka,kb), pour tout entier q, (a,b) = (b,a – bq), si a est non nul, (a,0)
= a.
exemple 13
Dans l'exemple 12 :
(552, 828) = 276 (276, 667) = 23, puisque les diviseurs de 276 sont :
{1, 2, 3, 4, 6, 12, 23, 46, 69, 92, 138, 276}.
D'autre part :
(828, 667) = 23 (552, 23) = 23 puisque 23 est un nombre premier.
exemple 14 (à traiter)
Utiliser la seconde relation (a, b) = (a – qb, b) pour chercher le PGCD des entiers 337 et 233.
Indication : remplacer dans le couple (a, b), le plus grand des deux entiers par la différence entre le plus grand et le plus petit, jusqu'à obtenir 0 pour l'un d'entre eux. Conclure.
# réponse
On écrit successivement :
(337, 233) = (104, 233) = (104, 129) = (104, 25) = (79, 25) = (54, 25)
= (29, 25) = (4, 25) = (4, 21) = (4, 17) = (4, 13) = (4, 9) = (4, 5) = (4, 1) = (3, 1) = (2, 1) = (1, 1) = (0, 1) = 1.
Le PGCD est 1.
NB : le lecteur attentif aura reconnu une version de l'algorithme d'Euclide (voir plus loin).
Noter également le caractère élémentaire des opérations en jeu, par comparaison avec la méthode de recherche de la liste des diviseurs des deux entiers.
"On dit que a et b sont premiers entre eux, ou étrangers, si 1 est le PGCD de a et b."
exemple 15
Ainsi, 337 et 233 sont étrangers.
exemple 16 (à traiter)
Les entiers 567 et 249 sont-ils étrangers ? On utilisera la méthode de l'exemple 14.
# réponse
On fait les réductions successives :
(567, 249) = (318, 249) = (69, 249) = (69, 180) = (69, 111) = (69, 42)
= (27, 42) = (27, 15) = (12, 15) = (12, 3) = (9, 3) = (6, 3) = (3, 3)
= (3, 0) = 3.
Les entiers considérés ne sont pas étrangers, leur PGCD est 3.
"Ainsi, si d = (a,b), et si on pose a ′ = a
d, et b ′ = b
d, alors : (a',b') = 1."
exemple 17
Ainsi, les nombres 567/3 = 189 et 249/3 = 83 sont étrangers :
(189, 83) = (106, 83) = (23, 83) = (23, 60) = (23, 37) = (23, 14)
= (9, 14) = (9, 5) = (4, 5) = (4, 1) = (3, 1) = (2, 1) = (1, 1) = (1, 0) =1.
exemple 18 (à traiter)
Calculer le PGCD de 272 et 187, et appliquer ce résultat.
# réponse
On utilise encore la même méthode, qui n'est qu'un algorithme d'Euclide non perfectionné :
(272, 187) = (85, 187) = (85, 102) = (85, 17) = (68, 17)
= (51, 17) = (34, 17) = (17, 17) = (17, 0) = 17.
Par division, on voit que 272/17 et 187/17, c'est-à-dire 16 et 11 sont étrangers.
"Les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe des entiers u et v vérifiant : au + bv = 1."
exemple 19
Pour 11 et 16 :
3 × 11 – 2 × 16 = 1.
La méthode employée ici est simple : écrire les multiples successifs de 11 et 16 jusqu'à en trouver deux dont la différence est 1.
exemple 20 (à traiter)
Pour 189 et 83, chercher a et b.
# réponse
Utilisons la même méthode :
multiples de 189 = {189, 378, 567, 756…}
multiples de 83 = {83, 166, 249, 332, 415, 508, 591, 674, 757,…}
On voit donc :
9 × 83 – 4 × 189 = 1.
"Calcul du PGCD par l'algorithme d'Euclide."
exemple 21
Pour 568 et 249, on effectue les opérations suivantes : 568 = 2 × 249 + 70
249 = 3 × 70 + 39 70 = 1 × 39 + 31
39 = 1 × 31 + 8 31 = 3 × 8 + 7
8 = 1 × 7 + 1.
Le PGCD est donc 1.
exemple 22 (à traiter)
Traiter de même le PGCD de 488 et 828.
# réponse
Les opérations sont :
828 = 1 × 488 + 340 488 = 1 × 340 + 148 340 = 2 × 148 + 44
148 = 3 × 44 + 16 44 = 2 × 16 + 12
16 = 1 × 12 + 4 12 = 3 × 4 + 0.
Le PGCD est donc 4.
"Soient a, b, c des éléments de Z, non nuls. Si a divise bc, et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c. "
exemple 23
Si 3 divise un nombre pair, alors ce nombre est divisible par 6 : 3 | 2p
(3, 2) = 1 donc 3 | p, il existe q entier tel que p = 3q.
On obtient 2p = 6q.
exemple 24 (à traiter)
Quel est le plus petit multiple de 17 divisible par 13 ?
# réponse
Un multiple de 17 est de la forme 17 × c. Si 13 | 17× c, alors 13 | c. Le plus petit c est donc 13, et le plus petit multiple de 17 divisible par 13 est 17 ×
13, soit 221.
"En particulier, si a et b sont premiers entre eux, et si a et b divisent c, alors ab divise c."
exemple 25
Ci dessus, comme 17 et 13 sont premiers entre eux, un multiple de 17 et de 13 est un multiple de 17 × 13.
exemple 26 (à traiter)
Donner un exemple où a et b ne sont pas premiers entre eux et où ce résultat est faux.
# réponse
C'est très facile : un nombre pair divisible par 4 n'est pas toujours divisible par 8, comme 12 par exemple.
"Soit p un élément de Z. On dit que p est un élément premier s'il est supérieur ou égal à 2, et premier avec tout entier q tel que : 0 < q < p."
exemple 27
Le premier nombre premier est donc 2.
exemple 28 (à traiter)
En application directe de cette définition, on a une méthode pour voir si un nombre donné est un nombre premier : il suffit de calculer son PGCD avec tout nombre qui lui est inférieur.
Ce n'est pas une méthode très efficace pour les grands nombres, comme on l'imagine bien.
# réponse
Par cette méthode, vérifier que 17 est premier.
(17, 1) = 1, bien entendu, (17, 2) = (2, 1) = 1 (17, 3) = (3, 2) = (1, 1) = 1
(17, 4) = (4, 1) = 1 (17, 5) = (5, 2) = (2, 1) = 1 (17, 6) = (6, 5) = (5, 1) = 1 (17, 7) = (7, 3) = (3, 1) = 1
(17, 8) = (8, 1) = 1 (17, 9) = (9, 8) = (8, 1) = 1 (17, 10) = (10, 7) = (7, 3) = (3, 1) = 1 (17, 11) = (11, 6) = (6, 5) = (5, 1) = 1
(17, 12) = (12, 5) = (5, 2) = (2, 1) = 1 (17, 13) = (13, 4) = (4, 1) = 1 (17, 14) = (14, 3) = (3, 2) = (2, 1) = 1
(17, 15) = (15, 2) = (2, 1) = 1 (17, 16) = (16, 1) = 1.
"Un entier p est premier si et seulement si il a exactement 2 diviseurs positifs distincts."
exemple 29
C'est effectivement le cas de 2 et 17.
exemple 30 (à traiter)
Le nombre 1 est-il premier ?
# réponse
Non puisqu'il a un seul diviseur positif, lui-même.
"Si p est premier, il est premier avec tout élément de Z qu'il ne divise pas."
exemple 31
Si 17 n'est pas premier avec un entier n, ils ont un diviseur commun supérieur à 1. Ce diviseur, qui doit diviser 17, est nécessairement 17. Donc 17 divise n.
exemple 32 (à traiter)
L'énoncé est-il vrai pour des nombres non premiers : si p ne divise pas n alors p est premier avec n.
# réponse
Non, bien sûr. Si p n'est pas premier, il se peut que p ne divise pas n, mais qu'ils aient un diviseur commun autre que 1 :
p = 6, n = 33, on voit que 6 ne divise pas 33, mais leur PGCD est 3.
"Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Il existe une famille finie de nombres premiers, p1, … , pr , et une famille finie d'entiers strictement positifs n1, … , nr tels que n = p1n1 p2n2 … p
rnr ."
exemple 33
Décomposition de 547560 :
547560 = 23 × 34 × 5 × 132.
Méthode (si on ne dispose pas d'un logiciel) : on procède de proche en proche, en trouvant les facteurs premiers par essai, puis l'exposant en divisant autant que possible par un facteur premier trouvé, avant de passer au nombre premier suivant.
Ici, 547560 est pair, donc divisible par 2 : 547560 = 2 × 273780.
Le quotient 273780 est encore pair … d'où : 547560 = 2 × 2 × 2 × 68445.
Le nombre 68445 n'est pas pair. On essaie de le diviser par 3 : 68445 = 3 × 22815, …
68445 = 3 × 3 × 3 × 3 × 845.
Le nombre 845 n'est pas divisible par 3. Il est divisible par 5 : 845 = 5 × 169.
Le nombre 169 n'est pas divisible par 5, 7, 11, mais par 13 : 169 = 13 × 13.
exemple 34 (à traiter)
Décomposer de cette manière 218025.
# réponse
On trouve 218025 = 33 ×52 × 17 × 19.
"Soit p un nombre premier, et a un entier quelconque. Alors p divise ap - a. En particulier, si p ne divise pas a, alors p divise ap-1 – 1."
exemple 35
Formons, pour a de 1 à 9, les expressions a5 – a :
a a5 a5 - a
1 1 0
2 32 30
3 243 240
4 1024 1020
5 3125 3120
6 7776 7770
7 16807 16800
8 32768 32760
9 59049 59040
On voit bien qu'elles sont toutes divisibles par 5.
exemple 36 (à traiter)
Pour p = 7, former de même les expressions a7 – a, et les expressions a6 – 1, pour a de 7 à 14. Conclure.
# réponse
On obtient le tableau :
a a6 a7 (a6-1)/7 (a7-a)/7
7 117649 823543 16806,8571 117648
8 262144 2097152 37449 299592
9 531441 4782969 75920 683280
10 1000000 10000000 142857 1428570
11 1771561 19487171 253080 2783880
12 2985984 35831808 426569 5118828
13 4826809 62748517 689544 8964072
14 7529536 105413504 1075647,86 15059070
On vérifie bien sur cet exemple l'énoncé général. On voit aussi que si a est divisible par 7, le nombre a6 – 1 n'est pas nécessairement divisible par 7.
(Essayer aussi a = 49).
2-2 Polynômes
"Soit K un corps, on appelle polynômes formels à coefficients dans K, ou plus simplement polynômes, les suites finies d'éléments de K."
exemple 37
La suite a0 = 1, a1 = 1, a2 = 0, a3 = 0, a4 = 1, a5 = 0, a6 = 1, définit un polynôme, noté habituellement :
1 + X + X4 + X6.
Il faut bien comprendre qu'il n'y a aucune information supplémentaire dans cette écriture usuelle par rapport à celle d'une suite finie : les valeurs successives prises par la suite sont les valeurs des coefficients, les indices correspondant sont les exposants de X. L'écriture usuelle se justifie par sa grande facilité d'usage dans les calculs (ce qui est extrêmement important).
exemple 38 (à traiter)
Ecrire la suite correspondant au polynôme (1 + X)5.
# réponse
Pour faire apparaître les coefficients correspondant aux différents exposants, il faut développer :
(1 + X)5 = 1 + 5X + 10X2 + 10X3 + 5X4 + 1.
La suite est :
0 → 1, 1 → 5, 2 → 10, 3 → 10, 4 → 5, 5 → 1.
"Si n est le degré de A, le coefficient an est appelé le coefficient dominant de A. S'il vaut 1, le polynôme est dit unitaire."
exemple 39
Dans l'exemple 37, le coefficient dominant est 1. C'est un polynôme unitaire.
exemple 40 (à traiter)
Quel est le coefficient dominant du polynôme (1+ 2X)6(1 – X)4 ?
# réponse
Pour un produit, inutile de développer. Le coefficient dominant est le produit des coefficients dominants, soit ici 26 × (–1)4 = 64.
"Si A et B sont des polynômes non nuls, la relation suivante est vérifiée : deg(AB) = deg(A) + deg(B), et si de plus A + B n'est pas nul, on a également la relation :
deg(A + B) ≤ max(deg(A),deg(B)), et l'égalité est vraie si deg(A) ≠ deg(B).
exemple 41
Ainsi, dans l'exemple 40, le coefficient dominant est 64, il correspond à 64 X10. Le degré est bien 6 + 4.
exemple 42 (à traiter)
Calculer le degré du polynôme :
(1 + X)5 + (1 – X)5.
# réponse
On prévoit, d'après le résultat rappelé, que ce degré est au plus 5. Pour le déterminer, il faut développer les polynômes (1 + X)5 et (1 – X)5.
On obtient :
(1 + X)5 + (1 – X)5 = 2 + 20 X2 + 10 X4. Le degré est donc 4.
Noter que c'est seulement parce que les degrés des deux polynômes de la somme sont égaux qu'il a pu y avoir une simplification.
"Soient P et Q des polynômes, avec Q différent de 0. Il existe un couple unique d'éléments de K[X], (B, R), tels que : P = B Q + R, et deg(R) < deg(Q), ou R = 0."
exemple 43
Les deux conditions sont indispensables pour que le couple (B, R) soit bien déterminé. Ainsi, les deux égalités suivantes sont vraies :
X5 + X + 1 = (X4 – X3 + X2 – X + 2)(X + 1) – 1, X5 + X + 1 = (X4 – X3 + X2 – X)(X + 1) + 2 X + 1.
Seule la première correspond à l'égalité de la division euclidienne.
exemple 44 (à traiter)
Effectuer la division euclidienne de 3 X4 + 2 X3 – X + 4, par X2 + X + 1.
# réponse
On obtient le quotient 3 X2 – X – 2, et le reste 2 X + 6.
Vérifier au moins le terme dominant (3 × 1 = 3).
"On dit que P est divisible par Q, ou que Q est un diviseur de P si le reste de la division de P par Q est nul, c'est-à-dire s'il existe un polynôme B tel que P = BQ. On note Q | P."
exemple 45
La plupart du temps, il faut faire la division pour vérifier qu'un polynôme est un diviseur d'un autre (voir des cas particuliers en exercice).
Ainsi, on voit que X2 + X + 1 est un diviseur de X4 + X3 – X – 1.
Le quotient, qui est un autre diviseur, est (X2 – 1) : X4 + X3 – X – 1 = (X2 + X + 1)(X2 – 1).
exemple 46 (à traiter)
Chercher les diviseurs de degré 1, dans R[X], du polynôme X4 – 1.
# réponse
Il suffit de chercher les diviseurs unitaires, c'est à dire les polynômes de la forme X – a, a étant un réel.
On observe que le reste est constant, et que c'est a4 – 1. Il suffit donc de connaître les réels vérifiant a4 = 1. Il s'agit de 1 et – 1. Les diviseurs de degré 1 dans R[X], du polynôme X4 – 1 sont donc les polynômes de l'une des deux formes suivantes :
c (X – 1), d (X + 1), c et d étant des réels non nuls.
"Soient P et Q deux polynômes, on dit qu'un polynôme R est un diviseur commun à P et Q si R divise P et R divise Q."
exemple 47
D'après les exemples précédents, X + 1 est un diviseur commun à X4 – 1 et X4 + X3 – X – 1.
exemple 48 (à traiter)
Vérifier que X2 + 1 est un diviseur commun à :
X5 + X3 – X2 – 1 et X5 + 2 X3 + 2 X2 + X + 2.
# réponse
On obtient en effet, par division, les égalités :
X5 + X3 – X2 – 1 = (X2 + 1)(X3 – 1), X5 + 2 X3 + 2 X2 + X + 2 = (X2 + 1)(X3 + X + 2).
Une autre méthode, utilisant la connaissance des racines de X2 + 1, est possible. Voir plus bas.
"Soient A et B des éléments non tous les deux nuls de K[X], il existe un unique élément D unitaire de K[X] tel que : 1) D divise A et B,
2) Si D1 est un diviseur commun à A et B, alors D1 divise D.
exemple 49
Reprenons l'exemple 47. Le polynôme X + 1 n'est pas le seul diviseur commun à X4 – 1 et X4 + X3 – X – 1 dans R[X].
Les calculs déjà faits montrent que le polynôme X2 – 1 est aussi un diviseur commun. C'est d'ailleurs le polynôme unitaire de plus haut degré qui soit diviseur commun :
X4 – 1 = (X2 – 1)(X2 + 1)
X4 + X3 – X – 1 = (X2 – 1)(X2 + X + 1).
Un diviseur commun de plus haut degré serait un multiple de X2 – 1 par un diviseur commun, et non constant, à X2 + 1 et X2 + X + 1, ce qui n'existe pas dans R[X] (ni dans C[X] d'ailleurs). En effet ces polynômes n'ont pas de diviseur de degré 1 (raisonnement de l'exemple 46).
exemple 50 (à traiter)
Chercher par cette méthode de factorisation le PGCD de : X4 + X3 – X2 + X – 2, et X4 + X3 – 3 X2 – X + 2.
(Bien noter dans cette méthode l'importance de la recherche des racines des polynômes.
La méthode de l'algorithme d'Euclide évite d'avoir à résoudre ce problème).
# réponse
En recherchant les diviseurs de degré 1, à partir des racines "évidentes"
des polynômes, on trouve les factorisations :
X4 + X3 – X2 + X – 2 = (X – 1)(X + 2)(X2 + 1) X4 + X3 – 3 X2 – X + 2 = (X – 1)2(X + 2)(X + 1).
Le PGCD est (X – 1)(X + 2).
"Le PGCD est le "plus grand" par le degré, et aussi par la relation de divisibilité."
exemple 51
Dans les deux exemples précédents, on a vu que le PGCD était un multiple des autres diviseurs communs, et le seul polynôme unitaire de degré 2 qui soit un diviseur commun.
exemple 52 (à traiter)
Déterminer le PGCD des polynômes suivants, sachant qu'ils sont divisibles par X2 + X + 1 :
X5 + X4 – 2 X3 – X2 – X + 2, X5 – X4 – 2 X3 – X2 + X + 2.
# réponse
Le PGCD est un multiple de X2 + X + 1. On factorise d'abord les polynômes :
X5 + X4 – 2 X3 – X2 – X + 2 = (X2 + X + 1)(X3 – 3 X + 2), X5 – X4 – 2 X3 – X2 + X + 2 = (X2 + X + 1)(X3 – 2 X2 – X + 2).
Il suffit maintenant de trouver un diviseur commun à : X3 – 3 X + 2 et X3 – 2 X2 – X + 2.
On peut passer par la recherche de racines.
On peut aussi remarquer que, comme dans le cas des entiers, un tel diviseur commun est aussi commun à :
X3 – 3 X + 2 et
X3 – 3 X + 2 – (X3 – 2 X2 – X + 2) = 2 X2 – 2 X.
Les diviseurs de degré 1 de 2 X2 – 2 X sont évidents : X et (X – 1) (et leurs multiples par une constante non nulle, bien entendu).
On vérifie que X ne divise pas X3 – 3 X + 2 (ni X3 – 2 X2 – X + 2), par contre X – 1 divise ces deux polynômes :
X3 – 3 X + 2 = (X – 1)(X2 + X – 2), X3 – 2 X2 – X + 2 = (X – 1)(X2 – X – 2).
En conclusion le PGCD est (X – 1)(X2 + X + 1).
Retenir cette méthode de simplification par combinaison des polynômes dont on cherche un diviseur commun. Elle n'est, bien sûr, pas sans rapport avec l'algorithme d'Euclide !
"Si le PGCD de A et B est le polynôme 1, on dit que A et B sont premiers entre eux, ou étrangers."
exemple 53
Les polynômes X2 + X + 1 et X2 + 1 sont étrangers. En effet un diviseur commun à ces polynômes serait un diviseur de leur différence X. Or X ne divise ni l'un ni l'autre.
exemple 54 (à traiter)
Les polynômes P = X5 + 1 et Q = X6 – 1 sont-ils étrangers ?
# réponse
Premier raisonnement : on "voit" que ces polynômes ont – 1 pour racine, donc sont divisibles par X + 1. Ils ne sont donc pas étrangers.
Second raisonnement (si on ne voit pas) : on procède par combinaison. Un diviseur commun à P et Q est un diviseur de toute combinaison de P et Q :
Q – XP = X6 – 1 – X (X5+ 1) = – 1 – X.
Donc, soit X + 1 est un facteur commun, soit les polynômes sont étrangers.
On vérifie alors que X + 1 convient. Comme c'est le seul facteur commun possible, c'est le PGCD.
Deux polynômes sont premiers entre eux si et seulement si il existe des polynômes U et V vérifiant : A.U + B.V = 1.
exemple 55
Dans l'exemple 53, A = X2 + X + 1, B = X2 + 1. On peut alors écrire : A – B = X,
B = (A – B)2 + 1 B – A2 + 2AB – B2 = 1 A (2B – A) + B (1 – B) = 1.
On peut donc prendre U = 2B – A, V = 1 – B.
exemple 56 (à traiter)
Les polynômes U et V sont-ils uniques ?
# réponse
Il suffit de reprendre l'exemple précédent pour voir que non. On aurait pu choisir U = – A, V = 2A + 1 – B.
Pour calculer un PGCD de deux polynômes P et Q, on peut utiliser l'algorithme d'Euclide.
exemple 57
C'est le même calcul, d'un point de vue formel, que pour les entiers.
Retrouvons de cette manière le PGCD de X5 + X4 – 2 X3 – X2 – X + 2 et X5 – X4 – 2 X3 – X2 + X + 2 (exemple 52).
X5 – X4 – 2 X3 – X2 + X + 2
= (X5 + X4 – 2 X3 – X2 – X + 2) + (– 2 X4 + 2X).
X5 + X4 – 2 X3 – X2 – X + 2
= (– 2 X4 + 2X)(–1/2 X – 1/2)+ (– 2 X3 + 2).
– 2 X4 – 2X = (– 2 X3 + 2)(X) + 0.
Le PGCD est donc le polynôme unitaire obtenu à partir de – 2 X3 + 2, soit X3 – 1.
exemple 58 (à traiter)
Chercher le PGCD de P = X5 + 1 et Q = X6 – 1 par cette méthode.
# réponse
On a les calculs suivants :
Q = P X + (– X – 1)
P = (– X – 1)(– X4 + X3 – X2 + X – 1) + 0.
Le PGCD se calcule à partir de – X – 1 : c'est X + 1.
Soient A, B, C des polynômes non nuls. Si A divise BC, et si A et B sont premiers entre eux, alors A divise C.
exemple 59
Ainsi, comme X2 + X + 1 est étranger à X2 + 1 et X2 – 1, il ne divise pas leur produit X4 – 1.
exemple 60 (à traiter)
A partir de l'égalité (exemple 55) :
(X2 + X + 1) (X2 – X + 1) + (X2 + 1) (– X2) = 1, trouver d'autres polynômes U et V vérifiant :
(X2 + X + 1) U + (X2 + 1) V = 1.
# réponse
L'égalité :
(X2 + X + 1) (X2 – X + 1) + (X2 + 1) (– X2)
= (X2 + X + 1) U + (X2 + 1) V s'écrit :
(X2 + X + 1) (X2 – X + 1 – U) = (X2 + 1) (V + X2).
Comme X2 + X + 1 et X2 + 1 sont étrangers, on voit que X2 + X + 1 divise V + X2, donc il suffit de prendre U et V tels que :
V = – X2 + T (X2 + X + 1) U = X2 – X + 1 – T (X2 + 1), T étant un polynôme quelconque.
Par exemple pour T = 1, on obtient :
V = X + 1, U = – X,
(X2 + X + 1) (– X) + (X2 + 1) (X + 1) = 1.
En particulier, si A et B sont premiers entre eux, et si A et B divisent C, alors AB divise C.
exemple 61
Le résultat n'est pas vrai si A et B ne sont pas supposés premiers entre eux.
Il ne suffit pas, par exemple, que A ne divise pas B et que B ne divise pas A :
X2 – 1 divise X4 – 1, X3 – X2 + X – 1 divise X4 – 1, mais X5 – X4 – X + 1 ne divise pas X4 – 1.
Pourtant X2 – 1 ne divise pas X3 – X2 + X – 1.
Par contre ils ne sont pas étrangers, puisque X – 1 est un diviseur commun.
exemple 62 (à traiter)
Sans calculer de division, montrer que – X4 + 3 X3 – 2 X est divisible par X2 – X.
# réponse
Il est clair que ce polynôme est divisible par X et par X – 1 qui sont étrangers.
Soit P un élément de K[X], et a un élément de K. Les conditions suivantes sont équivalentes : 1) P(a) = 0, 2) X – a divise P, c'est-à-dire il existe un polynôme Q tel que P(X) = (X – a) Q(X).
exemple 63
On a déjà utilisé ce résultat, très important, dans quelques exemples (exemple 46). C'est un test très facile d'emploi pour vérifier qu'un polynôme de degré 1 est un diviseur. Remarquer toutefois que la résolution d'une équation algébrique de degré supérieur à 2 est, en général, difficile, voire impossible à traiter autrement que par un calcul approché.
exemple 64 (à traiter)
Un polynôme P à coefficients réels a pour racine le complexe i.
Montrer qu'il est divisible par X2 + 1.
# réponse
Si P(i) = 0, alors, par conjugaison complexe, P(–i) = 0. Donc P est divisible par X – i et par X + i. Comme ces polynômes sont étrangers, P est divisible par leur produit X2 + 1.
On peut en déduire qu'un polynôme non nul de degré n a au plus n racines distinctes.
exemple 65
Ainsi X3 – 1 a une racine (dans R) ou trois racines (dans C).
exemple 66 (à traiter)
Combien de racines distinctes a le polynôme :
X5 – 3 X4 + 4 X3 – 4 X2 + 3 X – 1.
# réponse
Il s'annule pour 1, donc se factorise par X – 1 : X5 – 3 X4 + 4 X3 – 4 X2 + 3 X – 1 =
(X – 1)(X4 – 2 X3 + 2 X2 – 2 X + 1).
Le quotient s'annule encore pour 1, on obtient ainsi par deux divisions : X5 – 3 X4 + 4 X3 – 4 X2 + 3 X – 1 = (X – 1)3(X2 + 1).
Dans R, ce polynôme a une seule racine ; dans C, il en a trois.
Tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1, à coefficients dans C, a au moins une racine dans C.
exemple 67
Le résultat est vrai dans R pour les polynômes de degré impair (en raison du théorème des valeurs intermédiaires). Par contre il y a des polynômes de degré pair n'ayant pas de racine dans R (X2 + 1 par exemple).
exemple 68 (à traiter)
Comme l'énoncé est vrai pour tout polynôme, il a pour conséquence que tout polynôme à coefficients dans C est produit de facteurs du premier degré dans C[X].
Mettre X5 – 1 sous forme d'un produit de facteurs du premier degré. Sont- ils tous distincts ?
# réponse
Les complexes z tels que z5 = 1 sont les racines cinquièmes de l'unité, il y en a cinq distinctes :
zk =cos 2kπ 5
+i sin 2kπ 5
, k =0, 1, 2, 3, 4.
On a donc la factorisation : X5−1=
(
X−1)
X−cos 2π5
−i sin 2π 5
X−cos 4π 5
−i sin 4π 5
X−cos 6π
5
−isin 6π 5
X−cos 8π 5
−isin 8π 5
.
"Si K = R, les polynômes irréductibles unitaires sont d'une part les polynômes de degré 1, α(X – a) (avec α et a dans R, α non nul), d'autre part les polynômes de degré 2 sans racine, α(X2 + aX + b) (avec α, a, b dans R, α non nul et a2 – 4b < 0)."
exemple 69
Le polynôme X2 + X + 1 est irréductible sur R puisqu'il n'a pas de racine réelle.
exemple 70 (à traiter)
Le polynôme X4 + 1 est de degré supérieur à 2, donc il n'est pas irréductible sur R, quoique n'ayant pas de racine réelle.
Le factoriser sur R.
# réponse
Deux méthodes peuvent s'appliquer ici :
Factoriser sur C, puis apparier les facteurs du premier degré conjugués (qui existent toujours).
Considérer X4 + 1 comme une partie de développement d'un carré.
Première méthode : elle est analogue à celle utilisée en 68. Les racines quatrième de – 1 dans C s'écrivent sans problème :
yk =eiπ/ 4eikπ/ 2, k = 0, 1, 2, 3, y0 = 2
2 (1+i), y1 = 2
2 (−1+i), y2 = 2
2 (−1−i), y3 = 2
2 (1−i).
On déduit : X4+1= X − 2
2 (1+i)
X− 2
2 (−1+i)
X− 2
2 (−1−i)
X− 2 2 (1−i)
et les facteurs 1 et 4, et 2 et 3 respectivement sont conjugués, donc leur produit réel :
X4 +1=
(
X2 + 2X+1) (
X2 − 2X+1)
.Deuxième méthode :
X4 + 1 = (X2 + 1)2 – 2 X2,
d'où le même résultat, par application de a2 – b2 = (a – b)(a + b).
