Transformer une hypothèse pour pouvoir faire un calcul. Bien des problèmes d'arithmétique comportent une hypothèse comme

"soit un nombre impair", ou "supposons que p est un nombre premier impair", ou encore "supposons que c est un carré". Il est alors utile de traduire l'hypothèse pour soumettre les nombres considérés à un calcul. Pour cela on a très souvent recours à une forme "générale" du ou des nombres considérés, formule rendant compte de l'hypothèse. Ainsi :

Un entier impair : Il s'écrit 2k + 1 (sous-entendu, k est entier).

Un nombre premier impair : Il s'écrit 2k + 1 ou 2k + 3.

Un carré (d'entier) : Il s'écrit 4k + 1 ou 4k.

Un nombre premier supérieur à 5 : Il s'écrit soit 6k + 1, soit 6k + 5.

9- Arithmétique des entiers : utiliser certaines stabilités. Ainsi, on peut remarquer que le produit de nombres de la forme 2k + 1 est encore de cette forme. La même remarque s'applique aux nombres de la forme 4k + 1, et à bien d'autres évidemment. Un autre cas souvent utilisé : si a est un entier de la forme 1 + kN, alors toute puissance de a est encore de la forme 1 + KN. Ces remarques sont plus naturelles, et évidentes, si on utilise la notion d'anneau quotient, ce que nous n'avons pas fait dans ce livre.

10- Utiliser le caractère discret de Z . Dans Z, une inégalité stricte peut être remplacée par une inégalité large (et inversement, bien entendu) ainsi :

u > 1 et u ≥ 2.

Dans Z, un encadrement sélectionne un nombre fini de cas. De nombreux raisonnements permettent d'obtenir un encadrement d'un nombre cherché, ce qui permet de se ramener à l'étude de quelques exemples particuliers. Un encadrement peut même être équivalent à une égalité :

2 < t < 4 équivaut à t = 3.

Dans Z, seuls 1 et – 1 sont inversibles, ainsi, si p et q sont positifs, et pq = 1, alors p = q = 1.

11- Trouver des coefficients de la formule de Bézout. On utilise l'algorithme d' Euclide permettant de calculer le PGCD. Partant de la dernière égalité, celle où apparaît le PGCD, on substitue de proche en proche les restes en les remplaçant par la combinaison (dividende – quotient × diviseur).

12- Etablir l'égalité de deux nombres entiers. Lorsqu'il s'agit des nombres d'éléments de deux ensembles, on peut montrer qu'il existe une application bijective entre ces deux ensembles. Si c'est le cas, il ont le même nombre d'éléments.

13- Utiliser la décomposition en produit de facteurs irréductibles (ou premiers). En considérant la représentation d'un entier ou d'un polynôme comme produit de facteurs premiers (ou irréductibles) on se ramène dans certains cas à résoudre une question dans le cas particulier d'un élément premier (ou irréductible).

14 Raisonner modulo un entier. Certains calculs se simplifient lorsqu'on raisonne modulo un entier, soit p. cela signifie qu'on ne s'intéresse qu'aux restes de la division par p. Dans ce cas, tout entier s'écrira sous la forme a + kp (0 ≤ a < p), et on fera les calculs sans s'attacher à préciser les termes "k" intervenant dans les différents entiers (cela revient à calculer dans l'anneau quotient). On peut, de la même façon, calculer modulo un polynôme.

15- Utiliser la notion d'idéal. Lorsqu'on doit montrer qu'un nombre particulier, ou que tout nombre ayant une certaine propriété est multiple d'un même entier, on peut essayer de montrer que ce nombre, ou tous ces nombres, appartient à un idéal, puis que l'entier particulier appartient au même idéal, enfin que ce nombre particulier est le générateur de l'idéal.

16- Utiliser une relation d'équivalence. Une relation d'équivalence sur un ensemble permet de décomposer cet ensemble en parties rassemblant les éléments "équivalents", c'est-à-dire se ressemblant pour un critère particulier (celui qui détermine la relation d'équivalence). Ainsi, si le critère est le reste dans la division par 3, les nombres 5 et 8 se ressemblent, ils sont équivalents. Cette notion

conduit à celle, très importante, d'ensemble quotient. Elle est sous-jacente aux calculs modulo un élément. On utilise également dans certains cas une relation d'équivalence pour obtenir des résultats concernant le nombre d'éléments de certains ensembles finis (le nombre total d'éléments est la somme des nombres d'éléments des différentes parties - appelées classes d'équivalence).

Les méthodes dans les exercices :

ex. 2 : 1, 2, 3, 12 ex. 3 : 8, 9 ex. 5 : 8, 9 ex. 6 : 11 ex. 7 : 14, 16 ex. 8 : 1, 2, 3, 12 ex. 9 : 15 ex. 10 : 10 ex. 12 : 5, 6 ex. 13 : 11 ex. 14 : 7 ex. 16 : 8, 9

4-3 Lexique ( ) A

Anneau : ensemble muni de deux lois internes (+,×). Pour +, A est un groupe commutatif. L'opération ∞ est associative, distributive sur +, admet un élément neutre.

Application bijective : application pour laquelle il existe une application réciproque ( ).

Application injective : application pour laquelle deux éléments distincts ont des images distinctes.

Application réciproque : si f est une application, une application g est la réciproque de f si les applications composées f o g et g o f sont toutes deux égales à l'application identique.

Application surjective : application pour laquelle tout élément de l'espace d'arrivée a au moins un antécédent.

B

Bézout : la formule de Bézout permet de caractériser des entiers (ou des polynômes) étrangers. Deux nombres entiers (a et b) sont étrangers si et seulement si il existe des entiers u et v tels que :

au + bv = 1.

C

Classe d'équivalence : ensemble des éléments équivalents, pour une relation d'équivalence, à un élément donné.

Contraposée : la contraposée d'une implication A ⇒ B est l'implication non(B) ⇒ non(A). La contraposée est équivalente à l'énoncé direct.

D

Diviseur : a divise b s'il existe c tel que b = ac.

Diviseur de 0 : a est un diviseur de 0, si a ≠ 0, et s'il existe b ≠ 0, tel que ab = 0.

E

Etrangers : des entiers (ou des polynômes) sont étrangers si leur PGCD vaut 1.

F

Facteur premier : si a est un entier, on dit que p est un facteur premier de a si p est premier et si p divise a..

I

Inversible : dans un anneau A, a est inversible s'il existe b tel que :

a × b = 1.

R

Relation d'équivalence : relation sur un ensemble (x R y), réflexive (x R x pour tout x), symétrique (si x R y, alors y R x), et transitive (si x R y et y R z alors y R z). Si x R y, x et y sont ditx équivalents.

Relation d'ordre : relation sur un ensemble (x R y), réflexive (x R x pour tout x), antisymétrique (si x R y, et y R x, alors x = y), et transitive (si x R y et y R z alors y R z).

S

Suite géométrique : suite définie par la donnée du premier terme, u, et d'un réel a. Le terme de rang n vaut uaⁿ.