Savoir utiliser la divisibilité (théorème de Bezout, théorème de Gauss, éléments premiers). Etudier des équations à coefficients entiers.
exercice 1
Calculs de PGCD, et de PPCM, dans Z.
Rappelons qu'on appelle PPCM d'une famille finie d'entiers le plus petit multiple commun des entiers de cette famille.
1) Soient a et b deux entiers, g leur PGCD, m leur PPCM. Vérifier la relation : g × m = a × b (☺).
2) Si n et p sont étrangers, déterminer le PGCD (☺) et le PPCM de a = np et de b = n + p.
3) Si n et p sont des entiers strictement positifs, quel est le PGCD (☺) des entiers :
2n – 1, et 2p – 1.
4) Soient a et b des entiers, dont le PGCD est un nombre premier p.
Que peut-on dire du PGCD de a2 et b, de a3 et b (☺) ?
exercice 2
Sur les diviseurs d'un entier.
On note τ(n) le nombre de diviseurs ( ) positifs d'un entier n strictement positif, et σ(n) la somme de ces diviseurs.
☺ indications pour résoudre - méthode - lexique
1) On suppose m et n étrangers. Démontrer les relations (☺) ( ):
τ(mn) = τ(m)τ(n), σ(mn) = σ(m)σ(n).
2) Si p est un nombre premier, et q un entier naturel, démontrer : τ(pq) = q + 1,
σ
( )
pq = pq+1p−−11.3) Déduire (☺) des questions précédentes une expression de τ(n) et une expression de σ(n) à l'aide des entiers apparaissant dans la décomposition de n en produit de facteurs premiers.
Application : calculer τ(300) et σ(300).
4) Un nombre N est dit parfait si σ(N) = 2N. Montrer que si 2n – 1 est premier, alors n est premier (☺) (voir exercice 9) et 2n-1(2n – 1) est parfait.
Calculer quelques valeurs de nombres parfaits ainsi obtenus.
NB : on ne sait pas s'il existe un nombre parfait impair. Les nombres parfaits pairs sont tous du type précédent.
exercice 3
Sur les triplets pythagoriciens.
Il s'agit des triplets d'entiers (x, y, z) qui vérifient la relation de Pythagore : x2 + y2 = z2.
(exemple : (3, 4, 5)).
On cherche à trouver tous les triplets pythagoriciens.
Soit (a, b, c) l'un d'entre eux.
1) Démontrer que pour tout entier p, le triplet (pa, pb, pc) est encore pythagoricien. Si d est le PGCD de (a, b, c), montrer que d est le PGCD de (a, b), de (a,c), de (b, c). Si a = da', b = db', c = dc', montrer que (a', b', c') est un triplet pythagoricien.
☺ indications pour résoudre - méthode - lexique
2) On suppose maintenant les entiers a, b, c premiers entre eux (ou étrangers ( )) deux à deux (☺). Montrer que a et b ne peuvent être simultanément pairs, ou simultanément impairs, et que c est impair.
3) On suppose que a est impair et b pair (a et b jouent le même rôle dans l'équation) ( ). Démontrer (☺) qu'il existe des entiers premiers entre eux, p et q tels que a = p – q, et c = p + q, et que ces entiers sont des carrés d'entiers.
4) On note p = m2, q = n2. Exprimer a, b, c en fonction de m et n (☺).
5) Réciproquement, vérifier que pour tout couple d'entiers premiers entre eux, tout triplet vérifiant les relations précédentes est un triplet pythagoricien d'entiers premiers entre eux deux à deux.
exercice 4
Un cas du théorème de Fermat.
(Utilise les résultats de l'exercice 3).
On étudie l'existence de solutions entières (x, y, z) à l'équation : x4 + y4 = z4.
Il y a bien sûr des solutions évidentes : (1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 0)…
On démontre dans cet exercice qu'il n'y a pas de solution autre que les solutions évidentes (Dernier Théorème de Fermat, pour n = 4).
On étudie l'équation :
x4 + y4 = z2.
1) S'il existe une solution (a, b, c), montrer qu'il en existe une où a, b, c sont étrangers ( ) deux à deux (☺).
On suppose maintenant que (a, b, c) est une telle solution, avec c minimal, c > 1.
2) Utiliser l'exercice 3 pour exprimer alors a2, b2, c en fonction de deux entiers m et n. Montrer que l'un des deux est pair et l'autre impair. (☺) Quelle relation vérifient m et n ?
☺ indications pour résoudre - méthode - lexique
3) Appliquer à nouveau l'exercice 3, et conclure à l'existence d'entiers m' et n' tels que :
n = 2m'n', a = m'2 – n'2, m = m'2 + n'2, b2 = 4m'n'm.
4) En déduire (☺) qu'il existe r, s, t, tels que :
0 < t < c, m' = r2, n' = s2, m = t2.
Remarquer que (m', n', m) = 1, et conclure que l'équation de Fermat n'a pas de solution (x, y, z) avec x > 0 et y > 0.
exercice 5
Sur les nombres premiers.
Etant donné un nombre premier p, on note φ(p) le produit des nombres premiers inférieurs ou égaux à p.
On suppose dans cet exercice p ≥ 5.
1) Soit q = 2φ(p) – 1. Montrer (☺) ( ) que q est de la forme 4k + 3.
Montrer que si q n'est pas premier il a un facteur premier ( ) supérieur à p de la forme 4k + 3. En déduire que l'ensemble :
{4k + 3 | k entier naturel}
contient une infinité de nombres premiers.
2) Montrer (☺), de même, qu'il y a une infinité de nombres premiers de la forme 6k + 5.
3) En considérant les entiers φ(p) + 2, φ(p) + 3 … φ(p) + p, montrer qu'il existe dans N des intervalles de longueur arbitrairement grande où il n'y a pas de nombre premier (☺).
exercice 6
Equations diophantiennes.
☺ indications pour résoudre - méthode - lexique
Il s'agit d'équations, ou de systèmes d'équations à une ou plusieurs inconnues entières, et à coefficients entiers. On s'intéressera ici aux équations du premier degré.
1) Résoudre (☺) ( ) l'équation suivante, en discutant selon les valeurs du paramètre a :
18 x + 15 y = a.
Généraliser la méthode à une équation quelconque de cette forme : ux + vy = a.
2) Résoudre (☺) le système d'équations : x + 15 y = 2 x + 14 z = 3.
Plus généralement, soient p et q des entiers strictement supérieurs à 1, et premiers entre eux, a et b des entiers. Résoudre le système :
x + p y = a x + q z = b.
exercice 7
Equations modulo p ( ).
Soit p un entier strictement positif. On dit que des entiers a et b sont "égaux modulo p" si la différence a – b est divisible par p.
On n'a pas introduit dans ce livre la notion de congruence, ni celle de groupe (ou anneau) quotient. Le lecteur familier de ces domaines traduira les énoncés.
1) Inverse modulo p : soit p un entier strictement supérieur à 1, et a un entier. Un entier b est un "inverse modulo p" de a s'il existe un entier n tel que :
ab + pn = 1.
Trouver les inverses modulo p, s'ils existent (☺) ( ) dans les cas suivants : p = 13, a = 7
p = 12, a = 4
☺ indications pour résoudre - méthode - lexique
p = 12, a = 7
A partir de ces exemples, et d'autres éventuellement, discuter l'existence, pour p donné, d'un inverse modulo p de a.
2) Ordre modulo p : soit a un entier, on dit que a est d'ordre fini modulo p s'il existe un entier n, n > 0, tel que an – 1 soit divisible par p. Dans ce cas, le plus petit entier vérifiant cette propriété est appelé l'ordre de a modulo p, noté ici ω(a) (p est sous-entendu). (☺).
Montrer qu'une condition nécessaire pour que a soit d'ordre fini modulo p est que a et p soient étrangers ( ).
Soit a étranger à p. On note ai le reste de la division de ai par p. Montrer que ai≠ 0, pour tout i.
Considérer l'ensemble :
{a1, a2,…, ap}
et montrer que deux de ses éléments, au moins, sont égaux. Déduire que a est d'ordre fini modulo p.
Soit a d'ordre fini modulo p, ω(a) son ordre, et n un entier, n > 0, tel que : an – 1 est divisible par p.
Soit r le reste de la division euclidienne de n par ω(a). Montrer que ar – 1 est divisible par p. En déduire que n est divisible par ω(a).
3) Soit G l'ensemble des entiers strictement positifs, inférieurs à p, et étrangers à p. On note ici N le nombre de ses éléments (voir exercice suivant). On veut montrer que pour tout a de G, ω(a) divise N.
Pour les relations d'équivalence, se reporter au volume 1. On peut admettre ce résultat qui sera utilisé dans l'exercice suivant.
On définit une relation ~ dans G par :
x ~ y s'il existe t entier, 0 < t ≤ ω(a), x – aty est divisible par p.
Montrer que ~ est une relation d'équivalence dans G.
Montrer que les classes d'équivalence ( ) ont toutes le même nombre d'éléments (☺), égal à ω(a). Conclure.
☺ indications pour résoudre - méthode - lexique exercice 8
Soit n un entier strictement supérieur à 1. On appelle indicatrice d'Euler de n, et on note ϕ(n), le nombre d'entiers compris entre 1 et n – 1 qui admettent un inverse modulo n. On pose ϕ(1) = 1.
1) Calculer ϕ(n) si n est premier (☺).
2) Démontrer que si a est premier avec n, alors aϕ(n) – 1 est divisible par n (☺).
3) On suppose m et n premiers entre eux. Démontrer (☺) ( ) : ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).
4) Soit p un nombre premier, et n entier naturel. Démontrer : ϕ(pn) = (p – 1)pn-1.
5) Pour un entier quelconque, exprimer ϕ(n) à l'aide des entiers donnés dans la décomposition de n en produit de facteurs premiers ( ) (☺).
exercice 9
Nombres de Mersenne.
1) Soit q un entier. Montrer que si q est pair et supérieur à 2, alors 2q – 1 n'est pas premier, et que ce nombre est divisible par 3 (☺).
2) Soit q un entier impair. Montrer que si q n'est pas premier, alors 2q – 1 n'est pas premier (☺).
3) On suppose maintenant q premier et impair. On appelle nombre de Mersenne les nombres :
Mq = 2q – 1.
Il se peut qu'un nombre de Mersenne ne soit pas premier (M11 par exemple). Dans ce cas, soit p un facteur premier de Mq.
3-1) Soit A = {n ∈ N | p divise 2n – 1}. Peut-il être vide ?
On note ω le plus petit élément strictement positif de A. Montrer que ω divise tous les éléments de A ( ) . En déduire que ω = q.
3-2) Démontrer que q divise p – 1.
☺ indications pour résoudre - méthode - lexique
3-3) Utiliser ce résultat pour factoriser M11. (☺).
exercice 10
Nombres de Carmichael.
On sait que si p est premier et a premier avec p, alors p divise ap-1 – 1.
La réciproque est fausse : il existe des entiers non premiers N tels que pour tout entier a premier avec N, N divise aN-1 – 1. On les appelle les nombres de Carmichael.
1) Soient p1, p2, …, pk des nombres premiers distincts, et N leur produit.
On suppose que pour tout i entre 1 et k, pi – 1 divise N – 1.
On montre dans cette question que N est un nombre de Carmichael.
On note bi le quotient de N – 1 par pi – 1.
1-1) Soit a un entier premier avec N. Montrer que a est premier avec pi, pour tout i. Déduire que pour tout i il existe un entier ti tel que (☺) :
aN-1 = (1 + piti)bi.
1-2) Déduire que pi divise aN-1 – 1, quel que soit i (i = 1, …, k) puis que N divise aN-1 – 1 (☺).
On admettra que, réciproquement, tout nombre de Carmichael est de cette forme.
2) Vérifier que 561, 1105, 1729 sont des nombres de Carmichael.
3) Dans cette question, on montre qu'un nombre de Carmichael a au moins trois facteurs premiers distincts.
Soient p et q des nombres premiers tels que p < q, et q – 1 divise pq – 1.
3-1) Montrer (☺) que si q – 1 divise pq – 1, alors q – 1 divise p – 1.
3-2) Déduire qu'il n'existe pas de nombre de Carmichael ayant exactement deux facteurs premiers.
4) On étudie les nombres de Carmichael ayant trois facteurs premiers.
Soient p, q, r trois nombres premiers, tels que p < q < r, et N = pqr.
On suppose que N est un nombre de Carmichael. (☺).
☺ indications pour résoudre - méthode - lexique
4-1) Montrer qu'il existe des entiers t et u vérifiant : pr – 1 = (q – 1)t pq – 1 = (r – 1)u.
4-2) Exprimer q en fonction de p, t, u et r en fonction de p, q, u.
4-3) Démontrer ( ) :
2 ≤ u ≤ p – 1, p2
u <t<1+ p2+ p u .
4-4) Existe-t-il des nombres de Carmichael pairs produit de trois facteurs ( ) ?
Existe-t-il des nombres de Carmichael produit de trois facteurs, et multiples de 3 ( ) ? Dans chaque cas, donner toutes les valeurs possibles, s'il en existe. (☺) .
☺ indications pour résoudre - méthode - lexique
Polynômes : savoir utiliser les propriétés algébriques, savoir utiliser la divisibilité (théorème de Bezout, théorème de Gauss, éléments irréductibles). Racines d'un polynôme.
exercice 11
Fonctions symétriques des racines de polynômes.
1) Développer les produits :
(X – a)(X – b),
en déduire (☺) des relations entre les coefficients d'un polynôme : P(X) = a0 + a1X + … + anXn
et certaines expressions calculées à partir de ses racines. Remarquer que expressions ne changent pas lorsqu'on permute les racines entre elles.
On appelle ces expressions les "fonctions symétriques élémentaires" des racines du polynôme. Soient α1,…, αn les n racines complexes de P, on
On obtient la relation suivante, que nous admettrons : σp = αi1αi 2…αip
i1<i 2<…<ip
∏
= −1( )
p aan−pn
.
2) Vérifier que les expressions suivantes ne changent pas lorsqu'on permute les lettres a, b (pour les premières), a, b, c (pour les suivantes), ou
☺ indications pour résoudre - méthode - lexique
a, b, c, d (pour les dernières) (NB : un résultat de la théorie des groupes permet de ne faire cette vérification que pour deux tests, l'échange de a et b, et la permutation circulaire, (remplacer a par b, b par c, c par d, d par a)).
E1(a, b) = ab3 + a3b + a + b,
E2(a, b, c) = (a – b)2 + (a – c)2 + (c – b)2 + ab + ac + bc, E3(a, b, c) = ab2 + ac2 + cb2 + ba2 + bc2 + ca2 + abc.
3) Toute fonction symétrique polynomiale s'exprime à l'aide des fonctions symétriques élémentaires (résultat admis). Le vérifier sur les 3 cas particulier ci-dessus (☺).
Déduire de 1) la valeur de ces expressions, lorsque les nombres (a, b), (a, b, c), représentent respectivement les racines des polynômes :
P(X) = X2 + X + 2, Q(X) = 2X3 – X + 2.
4) Inversement, écrire des équations polynômiales équivalentes aux systèmes non linéaires suivants (☺), puis les résoudre, si possible :
αβ2 +α2β=0 α−β
( )
2=1
a+b+c=0 abc=1
a2 +b2 +c2 =1
☺ indications pour résoudre - méthode - lexique exercice 12
Localisation de racines.
Ce problème est à distinguer de celui du calcul, par une formule algébrique, ou de manière approchée, d'une racine localisée dans un intervalle donné.
La méthode de Sturm recherche les intervalles où un polynôme P admet une et une seule racine. On se limite au cas où les racines réelles de P sont simples.
1) On définit une suite de polynômes Ak par :
A0 = P, A1 = P´, et de façon générale,
Ak+2 est l'opposé du reste de la division de Ak par Ak+1. Calculer cette suite pour les cas suivants :
P(X) = X4 + 2X3 – 4X2 – 5X – 6, Q(X) = X4 + X3 – X2 + X – 2, R(X) = X5 + 2X4 + 2X3 + 4X2 + X + 2.
Expliquer pourquoi cette suite est, dans tous les cas, finie.
On notera Am le dernier polynôme non nul de la suite.
2) Soit a une racine réelle de P. Montrer que (☺) le produit A0(x)A1(x) est négatif pour x voisin de a, x < a, et positif dans le cas contraire, x voisin de a, x > a ( ).
3) Montrer que deux polynômes successifs de la suite n'ont pas de racine réelle commune (☺), et que si α est une racine de Ak(X), alors :
Ak-1(α)Ak+1(α) < 0.
4) Pour tout réel x on considère la suite de nombres réels : A0(x),A1(x),…,Am-1(x),Am(x),
et on note a(x) le nombre de changements de signe dans cette suite.
((1, 9, 0, 1, – 1, – 3, 5, – 4, 0, – 2, 1, 3) comporte 4 changements de signe, autrement dit, 0 n'a pas de signe). Vérifier que a est une fonction décroissante (☺) ( ).
☺ indications pour résoudre - méthode - lexique
Etant donnés deux réels α et β, (α < β), montrer que si P n'a pas de racine dans ]α , β[ alors a(α) = a(β). Montrer que si P a une racine unique dans cet intervalle, alors a(α) = a(β) + 1. Enfin montrer que si α et β ne sont pas des racines de P alors le nombre de racines de P dans ]α , β[ est a(α) – a(β).
exercice 13
Arithmétique. Calculs.
1) Calcul de PGCD.
Ici, comme la factorisation des polynômes en facteurs irréductibles est difficile, et souvent impossible, il faut passer impérativement par l'algorithme d'Euclide.
Dans chacun des exemples ci-dessous, calculer le PGCD des polynômes A et B (☺). Déduire une factorisation, au moins partielle, de A et B.
A = X4 + 3X3 + 3X2 + 6X + 2, B = X4 + 3X3 + 5X2 + 12X + 4.
A = X5 + 3X4 + 2X3 + 7X2 + 13X + 6, B = X5 + 2X3 + 4X2 - 1.
A = X4 + 9X3 + 25X2 + 24X + 16, B = X5 + 8X4 + 15X3 – 8X2 – 16X.
2) Le théorème de Bézout.
Dans le dernier exemple ci-dessus, si G désigne le PGCD, trouver des polynômes U et V tels que ( ) :
AU + BV = G.
exercice 14
Factorisation.
Factoriser un polynôme, c'est l'écrire sous forme de produit de polynômes de degré aussi faible que possible. La détermination de racines d'un polynôme permet de le factoriser partiellement.
Se rappeler que la possibilité théorique de factoriser un polynôme dépend du corps (ou de l'anneau) sur lequel on se place (Cf. A Savoir).
☺ indications pour résoudre - méthode - lexique
1) Soit P un polynôme de Z[X] :
P(X) = a0 + a1X + … + anXn.
Soit q une racine entière de P. Démontrer que q divise a0 (☺).
Soit α une racine rationnelle de P, et α = u
v l'écriture de α sous forme de fraction irréductible à dénominateur positif. Démontrer que u divise a0 et que v divise an ( ).
Exemples : pour les polynômes suivants, chercher s'il existe des racines entières ou rationnelles, et si possible factoriser, au moins partiellement, sur Z.
P1(X) = 1 + X + X2 + X3 + X4. P2(X) = 1 + X – X2 + 2X3. P3(X) = –2 – X + 8X2 + 4X3.
2) (Critère d'Eisenstein) Soit U un polynôme à coefficients entiers : U(X) = u0 + u1X + … + Xn.
On suppose que les coefficients u0, u1, …, un-1, sont pairs, et u0 non divisible par 4. Démontrer que U(X) n'est pas le produit de polynômes à coefficients entiers de degré au moins 1 (☺). Généraliser au cas où an n'est pas nécessairement égal à 1, mais est un entier impair.
Ecrire un polynôme irréductible de Z[X] de degré 11.
Généraliser le résultat précédent sous la forme suivante : s'il existe un nombre premier p tel que p divise u0, u1, …, un-1, mais pas un, et si p2 ne divise pas u0, alors U(X) est irréductible sur Z.
Factoriser complètement sur Z le polynôme : 3 + 3X – 3X2 + X3+ 2X4. 3) Factoriser les polynômes suivant, sur R (☺) :
B(X) = X3 – 4X2 + 2X + 3, C(X) = 1 + X + X2 + X3 + X4.
☺ indications pour résoudre - méthode - lexique
Connaître des généralisations à des sous-anneaux de C.
Notions d'idéal, d'anneau principal.
exercice 15
Elément algébrique. Polynôme minimal.
1) Soit A une algèbre sur un corps K (rappelons que cela signifie que A est un K-espace vectoriel, qui est par ailleurs un anneau, et que pour tout scalaire α, tout P et tout Q de A, α(PQ) = P(αQ) = (αP)Q).
Pour T dans A, et R(X) un polynôme à coefficients dans K : R(X) = r0 + r1X + … + rnXn,
on pose :
R(T) = r01 + r1T +…+ rnTn, où 1 désigne l'élément neutre de la multiplication de A.
(Par abus d'écriture, on écrira aussi R(T) = r0 + r1T +…+ rnTn).
On suppose que A est un espace vectoriel de dimension finie.
Soit T un élément non nul de A. Soit J(T) le sous-ensemble de K[X] : J(T) = {R∈ K[X] | R(T) = 0}
Démontrer que J(T) est un idéal de K[X], admettant un générateur non nul (☺).
Ce générateur est le polynôme minimal de T (Cf. volume d'algèbre linéaire pour le cas des matrices carrées).
2) On suppose ici K = Q. On dit qu'un nombre complexe α est algébrique s'il existe un polynôme non nul P à coefficients rationnels tel que :
P(α) = 0.
On note Q[α] l'ensemble des complexes de la forme U(α) où U est un élément de Q[X].
Montrer que α est algébrique si et seulement si Q[α] est une Q-algèbre de dimension finie (☺). Quelle est la relation entre la dimension de Q[α] sur Q et le degré du polynôme minimal de α ?
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Montrer que l'ensemble des nombres algébriques est un sous-corps de C (☺).
Montrer que α est algébrique si et seulement si Q[α] est un corps.
exercice 16
Extensions quadratiques de Q.
On désigne ainsi les corps Q[α] qui sont des espaces vectoriels de dimension 2 sur Q. On dit que α est de degré 2 sur Q.
On note Z[α] le sous-anneau de Q[α] formé des nombres U(α), où U est un polynôme de Z[X].
1) Soit K une extension quadratique de Q. Montrer, par des exemples, que le nombre algébrique α vérifiant K = Q[α] n'est pas déterminé de manière unique par K (☺).
Montrer que toute extension quadratique est de la forme : K=Q
[ ]
d ,où d est un entier sans facteur carré dans sa décomposition en produit de facteurs premiers (et où d désigne un des complexes de carré égal à d).
2) On dit qu'un élément γ de K est entier sur Z si son polynôme minimal est à coefficients entiers.
Ainsi, γ = d est entier sur Z puisque γ2 – d = 0.
Soit A l'ensemble des éléments de K entiers sur Z.
On admettra que A est un anneau, qui contient Z[ d ].
Soit u un élément de A, de polynôme minimal X2 + sX + p. Il s'écrit sous la forme u = a + b d , a et b étant des rationnels.
Montrer que v = a – b d a le même polynôme minimal que u (☺).
En déduire que :
2a et a2 – db2 sont entiers.
Réciproquement, soit u = a + b d , un élément de K, tel que : 2a et a2 – db2 sont entiers.
☺ indications pour résoudre - méthode - lexique
Montrer que u est entier sur Z.
Avec ces notations, montrer que 2b est entier. Soient a' et b' les entiers tels que 2a = a', 2b = b'. Démontrer que a'2 – db'2 est divisible par 4 (dans Z bien entendu) ( ).
Supposons b' impair, montrer que b'2 – 1 est divisible par 4. En déduire que a'2 – 1 est divisible par 4, enfin que d – 1 est divisible par 4.
Supposons b' pair, montrer que a' est pair, et que a et b sont entiers.
A partir de ces résultats, dire comment s'écrivent les éléments de A dans les cas suivants (pourquoi sont-ils les seuls possibles ?) :
d = 1 + 4k d = 2 + 4k d = 3 + 4k où k est un entier.
3) Soit x = a + b d , a et b étant des rationnels, un élément quelconque du corps K. L'entier a2 – db2 utilisé ci-dessus s'appelle la norme de x, notée N(x). Démontrer (☺) l'égalité :
N(x x') = N(x) N(x').
On suppose d = – 5. Quel est l'anneau des entiers ? Quels sont les éléments inversibles de cet anneau ( ) ?
On note p et q les deux éléments :
p=1+i 5 , q=1−i 5 .
On veut démontrer que ce sont des éléments irréductibles de Z[ i 5 ]. On fait un raisonnement par l'absurde : supposons p non irréductible, et soit r un diviseur non inversible de p. Quelle devrait être la norme de r ? Montrer que les équations dans Z :
a2 + 5b2 = 2, a2 + 5b2 = 3,
n'ont pas de solution, et déduire que p est irréductible (ainsi que q).
Vérifier l'égalité :
☺ indications pour résoudre - méthode - lexique
pq = 6,
en déduire que, si Z[i 5 ] est principal, alors p divise 2 ou 3. Démontrer que p ne divise ni 2 ni 3, et déduire que Z[i 5 ] n'est pas un anneau principal.
(NB : au contraire Z[i], par exemple, est principal).
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