Examen de Janvier 2005

Universit´e P. et M. Curie Licence de Math´ematiques

Jeudi 27 janvier 2005

Topologie et Calcul Diff´ erentiel

Dur´ee 4 heures – sans document

I

Dans tout ce qui suit, on d´esignera par H un espace de Hilbert r´eel, dans lequel le produit scalaire de xet de y est not´ehx, yi, et par

L

_(H) l’espace des applications lin´eaires continues deH dans lui-mˆeme.

1) Soitg : [0,1]→R une fonction convexe. Montrer que pour tout t∈]0,1[, on a g(t)−g(0)

t ≤g(1)−g(0)≤ g(1)−g(t) 1−t

et en d´eduire que si g est d´erivable en 0 et en 1, on a g⁰(0)≤g(1)−g(0)≤g⁰(1).

2) Soient U un ouvert convexe de H et F une fonction convexe de classe

C

¹ _{de U}

dans R (c’est-`a-dire que pour tout x et tout y de U, et pour tout t ∈ [0,1], on a : F(tx+ (1−t)y) ≤ tF(x) + (1 −t)F(y). ) Montrer que pour tout point x et tout point y de U, on a

F⁰(x).(y−x)≤F(y)−F(x)≤F⁰(y).(y−x)

(on pourra appliquer `a la fonctiong :t 7→F(t.y+ (1−t).x) les in´egalit´es pr´ec´edentes.) En d´eduire que l’on a pour tout x et tout y de U : ³

F⁰(y)−F⁰(x)´

.(y−x)≥0.

3) Soient U un ouvert de H et F une fonction de classe

C

¹ _{de U dans R}. Montrer que pour tout x de U il existe un unique point y de H, qu’on appelle le gradient de F en x et qu’on notera gradF(x), tel que pour tout h ∈ H, on ait F⁰(x).h = hy, hi. Montrer que la fonction gradF est continue deU dansH.

Montrer que si F est de classe

C

¹ et convexe sur U, la fonction f :x 7→x+ gradF(x) est continue surU et v´erifie pour toutx et tout y de U : hf(y)−f(x), y−xi ≥ ky−xk². 4) Dans cette question (uniquement), on prend pour H l’espace euclidien R² et on consid`ere la fonction f : H → H d´efinie par f(x₁, x₂) = ³

P(x₁, x₂), Q(x₁, x₂)´ o`u P(x₁, x₂) = x₁+x₂ et Q(x₁, x₂) = −x₁+x₂. Montrer que hf(y)−f(x), y−xi ≥ ky−xk² pour tout x et tout y de H. Montrer que s’il existait une fonction F sur H telle que f(x) = x+ gradF(x), la fonction gradF serait de classe

C

¹_{, que F} serait de classe

C

²

et qu’on devrait avoir ∂P

∂x₂(x₁, x₂) = ∂Q

∂x₁(x₁, x₂). En d´eduire que f n’est pas le gradient d’une fonction de classe

C

¹ _{sur H.}

On d´enote par

P

_{δ, pour δ >} 0, le sous-ensemble de

L

_(H) form´e des applications lin´eairesT continues telles que l’on ait pour tout ´el´ement x∈H : hT x, xi ≥δkxk².

5) Soit T ∈

P

_δ. Montrer que l’on a pour tout x de H : kT xk ≥δkxk, et en d´eduire que T est injectif.

On veut montrer que T(H) est un sous-espace ferm´e de H. Soita un point adh´erent `a T(H) ; montrer qu’il existe une suite (xn) dans H telle que T xn →a, puis que, pour net p entiers on a

δkxn−xpk ≤ kT.(xn−xp)k=kT xn−T xpk

et en d´eduire que la suite (xn) est une suite de Cauchy dans H. En d´eduire l’existence d’un pointx ∈H tel que xn →x et que T x=a. Conclure.

6) On veut montrer maintenant queT est surjectif : supposant qu’il existe b∈H\T(H), montrer que la projection orthogonale cde b sur T(H) v´erifie c6=b et hT x, c−bi= 0 pour toutx ∈H. En d´eduire que δkc−bk² ≤ hT.(c−b), c−bi= 0 et conclure.

D´eduire de ce qui pr´ec`ede que T est inversible dans

L

_{(H) et que} ^°_°T^−1°_°≤δ⁻¹_.

Soient δ >0 et f une application de classe

C

¹ _{deH dansH telle que f}⁰_(x)∈

P

_{δ pour}

toutx de H. On se propose de montrer que f est un

C

¹-diff´eomorphisme de H sur H. 7) On consid`ere, pour x et y dans H la fonction g:R→R d´efinie par :

g(t) =hf(ty+ (1−t)x), y−xi −δtky−xk²

Montrer queg⁰(t) ≥0, et en d´eduire que g(1)≥ g(0) puis que, pour tout x et tout y de H on a :hf(y)−f(x), y−xi ≥δky−xk².

8) Montrer, comme dans5), quekf(y)−f(x)k ≥δky−xk, quef est injective de H dans H, que l’application r´eciproque f⁻¹ est δ⁻¹-lipschitzienne de f(H) sur H, et que f(H) est une partie ferm´ee de H.

D´eduire du th´eor`eme d’inversion locale que, pour tout x∈H, f(H) est un voisinage de f(x) et que f⁻¹ est de classe

C

¹ au voisinage de f(x). En d´eduire que l’ensemble f(H) est ouvert dansH.

9) Conclure que f(H) =H et que f est un

C

¹-diff´eomorphisme de H sur lui-mˆeme.

II

Soit n≥2 un entier. On note Ωn l’ouvert ]0,+∞[ⁿ de Rⁿ et on consid`ere l’application f : Ωn →R d´efinie par

f(x) =

Qn i=1xi

³Qn

i=1(xi+ 1)´ (Pn

i=1xi)

pour x= (x₁, x₂, . . . , xn)

1) Montrer que l’ensemble K = {x ∈ Ωn : f(x) ≥ 1

n.2ⁿ} est ferm´e et born´e dans Rⁿ et contient le point (1,1, . . . ,1). En d´eduire que f atteint sur Ωn son maximum.

2) Calculer la diff´erentielle premi`ere def en chaque pointxde Ωn, et d´eterminer la matrice jacobienne correspondante.

3) Montrer que f admet un seul extremum local a sur Ωn et calculer le maximum de f sur Ωn.

4) Calculer la matrice hessienne def en a. Que peut-on dire des valeurs propres de cette matrice.

On suppose d´esormais n= 2 et on d´efinit g: Ω₂ →R par : g(x, y) = xy

(x+ 1)(y+ 1)(x+y)

5) Calculer le maximum et le minimum absolus de g sur le carr´e C du plan R², o`u C ={(x, y) : 1≤x≤2 , 1≤y≤2}.

6) Calculer le maximum de g sur l’hyperbole Hα d’´equation xy−α² = 0 (pour α > 0 fix´e). La fonctiong atteint-elle son minimum sur Hα?