2 Espace de H

E ^{SPACE DE} H ^ILBERT

1 Notations–Définition

On designe parH un espace vectoriel surC.

D^ÉFINITION 1.1 :

➊ Une applicationℓdeHdansCest diteanti-linéairesi :

∀u∈H, ∀v∈H, ∀λ∈C,ℓ(u+v) =ℓ(u) +ℓ(v) et ℓ(λu) =λℓ(u)

➋ On dit qu’une applicationb deH×H −→Cqui à(u,v)associeb(u,v)estune forme sesqui- linéairesurH×H si pout toutu ∈H etv ∈H l’application u7−→b(u,v)estlinéaireet que l’applicationv7−→b(u,v)estanti-linéaire.

➌ Une forme sesquilinéaireb est ditehermitiennesi :

∀(u,v)∈H×H, b(u,v) =b(v,u) On remarque que pour toutudansH,b(u,u)∈R.

➍ Une forme sesquilinéaire hermitiennebsurH×H est ditepositivesi :

∀u∈H, b(u,u)¾0

1.1 Propriétés fondamentales

P^ROPRIÉTÉ 1.1 : Inégalité de C^AUCHY-S^CHWARZ

Soitb une forme sesquilinéaire hermitienne positive surH×H. Alors :

∀(u,v)∈H×H, |b(u,v)|¶(b(u,u))¹²(b(v,v))¹²

P^ROPRIÉTÉ 1.2 : Inégalité de M^INKOWSKI

Soitb une forme sesquilinéaire hermitienne positive surH×H, Alors :

∀(u,v)∈H×H, b(u+v,u+v)¹² ¶b(u,u)¹²b(v,v)¹²

1

1.2 Produit scalaire

DÉFINITION 1.2 : Produit scalaire

Une forme sesquilinéaire hermitienne positiveb surH×Hest ditedéfiniesi :

∀u∈H, b(u,u) =0⇒u=0 On dit alors queb est unproduit scaliresurH

Ceci permet de définir une norme surH: D^ÉFINITION 1.3 : Norme

Si(u,v)H est un produit scalaire surH, alors l’application :

u7−→(u,u)

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H

est unenorme.

2 Espace de H

D^ÉFINITION 2.4 : Espace de H^ILBERT

Un espace de HILBERT est un espace vectoriel muni d’un produit scalaire et qui estcomplet pour la norme associée.

⋆Exemple :

➊ SiΩest un ouvert deRⁿ, alors l’espaceL²(Ω)est un espace de HILBERT.

➋ On peut vérifier que l’espaceℓ²consitué des suites de nombres complexesa= (a_n)n∈Ntelles que : X|a_n|²<+∞

est un espace de HILBERT.

⋆

2

3 Le théorème de projection

3.1 Sous espace convexe

DÉFINITION 3.5 : Sous espace convexe On dit qu’un sous-ensembleKdeH est convexe si :

∀(u,v)∈K×K,∀t∈[0, 1], ((1−t)u+t v)∈K En particulier, un sous-espace vectoriel deHest convexe.

T^HÉORÈME 3.1 : De projection SoitK⊂H un convexe fermé non vide (H un espace-vectoriel). Alors :

➊

∀u∈H,∃!P u∈K,∀v∈K, ku−P uk¶ku−vk

➋ P u est caractérisé par la propriété suivante :

P u∈K et ∀v∈K, ℜ(u−P u,v−P u)¶0

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