Espace de Sobolev H 1 ( I )

(1)

Espace de Sobolev H ¹ ( I )

Arnaud Girand 19 juin 2012

Référence :

– [Bre05], p. 121–123 et 129 Prérequis :

– théorème d’Ascoli.

SoitI= (a, b)un intervalle ouvert borné deR.

On considère l’espace de Sobolev H¹(I)défini comme suit : H¹(I) :=

u∈L²(I)

∃g∈L²(I), ∀ϕ∈ Cc^∞(I), Z

I

uϕ^′=− Z

I

gϕ

La fonctiong∈L²(I)est alors unique : on la noteu^′. On munitH¹(I)de la topologie associée au produit scalaire suivant :

h., .i:H¹(I)×H¹(I)→R (u, v)7→

Z

I

uv+ Z

I

u^′v^′

La norme induite parh., .iest notéek.kH¹ et vérifie :

∀u∈H¹(I), kuk²H¹ =kuk²L²+ku^′k²L²

Proposition 1

On a les résultats suivants :

(i) H¹(I) est un espace de Hilbert ;

(ii) H¹(I) s’injecte de façon compacte dansC⁰(I).

(iii) H¹(I) s’injecte de façon continue dansL²(I);

Démonstration :

(i) Il est clair que(H¹(I),h., .i est préhilbertien. Soit (un)n une suite de Cauchy dans H¹(I).

Alors, si on fixeε >0il existe N≥0 tel que :

∀n≥N,∀p≥0, kun+p−unk²H¹ ≤ε I.e :

∀n≥N,∀p≥0, kun+p−unk²L²+ku^′_n+p−u^′_nk²L²≤ε

En particulier,(un)n (resp.(u^′n)n) est de Cauchy dans l’espace completL²(I)donc y admet une limiteu∈L²(I)(resp.v∈L²(I)). Or :

∀ϕ∈ Cc^∞(I), Z

I

u^′_nϕ− Z

I

u^′ϕ

= Z

I

unϕ^′− Z

I

uϕ^′

≤ Z

I|un−u||ϕ^′|

≤ kun−ukL²kϕ^′kL² par Cauchy–Schwarz

−−−−→_n→∞ 0

1

(2)

Donc∀ϕ∈ Cc^∞(I), R

Iu^′_nϕ−−−−→_n_→∞ R

Iu^′ϕ(i.eu^′_n ⇀ u^′ au sens des distributions). Cependant on montre de même que :

∀ϕ∈ Cc^∞(I), Z

I

u^′_nϕ− Z

I

vϕ

≤ ku^′_n−vkL²kϕ^′kL²−−−−→_n→∞ 0 De fait par unicité de la limite :

∀ϕ∈ Cc^∞(I), Z

I

(u^′−v)ϕ= 0

Ce qui implique, par théorème de représentation de Riesz, queu^′ =v p.p donc dansL². In fine :

kun−uk²H¹ =kun−uk²L²+ku^′_n−u^′k²L² −−−−→_n_→∞ 0 D’où le résultat.

(ii) – Commençons par démontrer que tout u ∈ H¹(I) admet un représentant continu. Soit y0∈I. On définitu˜∈ C(I)comme suit :

˜ u:x7→

Z x

y0

u^′(t)dt

˜

uest bien continue caru^′∈L²(I)⊂L¹_loc(I)(carIest borné). De plus :

∀ϕ∈ Cc^∞(I), Z

I

˜ uϕ^′=

Z

I

Z x

y0

u^′(t)dtϕ^′(x)dx

= Z y0

a

Z x

y0

u^′(t)dtϕ^′(x)dx+ Z b

y0

Z x

y0

u(t)dtϕ^′(x)dx

=− Z y0

a

Z x

y0

u^′(t)dtϕ^′(x)dx+ Z b

y0

Z x

y0

u^′(t)dtϕ^′(x)dx

=− Z y0

a

u^′(t)dt Z t

a

ϕ^′(x)dx+ Z b

y0

u^′(t)dt Z b

t

ϕ^′(x)dx par Fubini

=− Z y0

a

u^′(t)(ϕ(t)−0)dt+ Z b

y0

u^′(t)(0−ϕ(t))dt

=− Z

I

u^′ϕ

De fait u˜^′ = u^′ et donc d’après le lemme 1, il existe C ∈ R tel queu = ˜u+C presque partout donc dansH¹(I).u¯:= ˜u+C est bien un représentant continu deu.

– NotonsBla boule unité fermée deH¹(I). Alors, pour u∈ B on a :

∀x6=y∈I, |u(x)−u(y)|=|u(x)¯ −u(y)¯ |²=

Z x

y

u^′(t)dt

≤p

|x−y|ku^′k^L² par Cauchy–Schwarz

≤p

|x−y|ku^′kH¹

≤p

|x−y|

2

(3)

DoncB est équicontinue dansC⁰(I). De plus(variation par rapport au Brézis) :

∀x∈I, |u(x)|=

1 b−a

Z b

a

u(x)dy

=

1 b−a

Z b

a

Z x

y

u^′(t)dt−u(y)

dt

≤ 1 b−a

Z b

a

Z x

y

|u^′(t)|dtdy+ 1 b−a

Z

I

|u|

≤ 1 b−a

Z b

a

Z b

a

|u^′(t)|dtdy+ 1 b−a

Z

I

|u|

= Z b

a |u^′(t)|dt+ 1 b−a

Z

I|u|

≤√

b−aku^′kL²+ 1

√b−akukL² par Cauchy–Schwarz

≤ √

b−a+ 1

√b−a

kuk^H¹

DoncBest bornée pourk.k^∞. De fait, par théorème d’Ascoli,Best relativement compacte dansC⁰(I), d’où le résultat.

(iii) La topologieL² étant plus faible que la topologie de la convergence uniforme, (iii)est une conséquence immédiate de(ii).

Détails supplémentaires :

– Utilisation du théorème de représentation de Riesz.Sif ∈L²est telle que pour toutϕ∈ Cc^∞, Rf ϕ= 0alors par densité la forme linéaireϕ7→R

f ϕest nulle. Le théorème de représentation de Riesz implique alors quef = 0dansL² (donc presque partout).

– Unicité deu^′.Si deux fonctionsg, h∈L²vérifient que∀ϕ∈ Cc^∞(I), R

Iuϕ^′=−R

Igϕ=−R

Igϕ alors∀ϕ∈ Cc^∞(I), R

I(g−h)ϕ= 0et doncg=hpresque partout.

– Soitu∈L¹loc(I). Alors poury0∈I, xI¯ethtel quex+h∈I¯on a :

Z x+h

y0

u− Z x

y0

u

=

Z x+h

x

u

≤ Z x+h

x |u| −−−→

h→0 0car∀ε∈[0, h], u∈L¹loc(I) Doncx7→Rx

y0u∈ C⁰(I).

– On a fait usage du lemme suivant (cf. [Bre05], p.122–123) : Lemme 1

Soit f ∈L¹loc(I).

On suppose que :

∀ϕ∈ Cc^∞(I), Z

I

f ϕ^′= 0

Alors il existeC∈vRtel quef =C presque partout. En particulier deux éléments deH¹(I) de même dérivée diffèrent d’une constante.

Démonstration : Soit ψ ∈ Cc^∞(I) d’intégrale 1 et soit w ∈ Cc^∞(I). Alors la fonction h := w−ψR

Iw est dans Cc^∞(I) et R

Ih = R

Iw−1×R

Iw = 0 donc¹ h admet une pri- mitiveϕ∈ Cc^∞(I)et donc :

0 = Z

I

f ϕ^′= Z

I

f

w−ψ Z

I

w

1. Il est clair quehadmet une primitive dansC^∞(I). La nullité deR

Ihnous prouve que celle–ci est à support compact.

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(4)

I.e :

∀w∈ C^∞c (I), 0 = Z

I

f

w−ψ Z

I

w

= Z

I

f w− Z

I

Z

I

w(x)f(y)ψ(y)dydxpar Fubini

= Z

I

w

f− Z

I

f ψ

Et donc,f =C:=R

If ψ presque partout.

Références

[Bre05] Haim Brezis. Analyse fonctionelle. Dunod, 2005.

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