Université Pierre et Marie Curie – Paris 6 Éléments de correction de l’examen
LM216 Première session – Juin 2011
Exercice I.
1. On a évidemmentϕP(x, y) =M P, la distance entre M etP. 2. AB=BC =CA= 2 donc le triangle est équilatéral.
3. L’applicationϕP est clairementC∞surR2, comme composée de fonctionsC∞, et on a∇ϕP(x, y) = 2(x−p1, y−p2).
4. (a) Voir cours.
(b) Le seul point critique def estG(0,√ 3/3).
(c) f(x, y)≥f(0, y) ⇔ (x+ 1)2+ (x−1)2+x2 ≥2⇔ 3x2≥0.
(d) h0(y) = 6y−2√
3, donc y=√
3/3 réalise le minimum (global) deh.
(e) On a donc f(x, y)≥h(y)≥h √ 3/3
=f 0,√ 3/3
.
(f) G est clairement l’isobarycentre (centre de gravité) du triangleABC.
(g) f n’admet pas d’autres extrema, car il n’y a pas d’autres points critiques.
5. (a) K ={(x, y)|y≥0} ∩ {(x, y)|y ≤(1 +x)√
3} ∩ {(x, y)|y≤(1−x)√
3}, qui sont trois demi-plans fermés (images réciproques du fermé R+ de Rpar des fonctions continues).
(b) K ⊂ B0(0,√
3)est borné. C’est donc un compact deR2 sur lequelf est continue. Doncf admet son maximum sur K, mais pas surK, car sinon˚ f aurait un second point critique.
(c) Commeg0(x) = 6x,g est maximale en x=±1, avecg(±1) = 8.
(d) f atteint son maximum sur∂K. S’il est atteint sur[AB], la question précédente prouve qu’il l’est en AetB simultanément. On pourrait raisonner de façon similaire sur les deux autres côtés, et constater qu’il est atteint sur les deux extrêmités du côté. Comme f(A) =f(B) =f(C) = 8, on en déduit que les trois sommets du triangle réalisent le maximum global de f sur K.
Exercice II.
1. I =− Z Z
Ω
(1 +x) dx dy= Z 1
0
Z x
x2
(1 +x) dy dx=−3/4 avec Green-Riemann.
2. I = Z 1
0
x2(1 +x)dx− Z 1
0
x(1 +x) dx=−3/4.
Exercice III. Soitf :R2 →]0,+∞[de classe C2. On suppose quef satisfait l’équation suivante : f(x, y) ∂2f
∂x∂y(x, y)−∂f
∂x(x, y)∂f
∂y(x, y) = 0, ∀(x, y)∈R2. On considère la fonction h:R2 →R,(x, y)7→ln(f(x, y)).
1. Vrai par composition.
2. ∂2h
∂x∂y(x, y) = 1 f(x, y)2
f(x, y) ∂2f
∂x∂y(x, y)−∂f
∂x(x, y)∂f
∂y(x, y)
= 0.
3. h est donc de la formeU(x) +V(y), oùU etV sont C2(R).
4. En posantA=eU,B =eV, qui sont bien à valeurs dansR∗+, on af(x, y) =A(x)B(y).
