Index Plan Rédactionincomplète.Version1.9. Nombrescomplexes

Nombres complexes

Rédaction incomplète. Version 1.9.

Plan

I. Présentation axiomatique . . . . 1

II. Groupe des nombres complexes de module 1 . . . . 3

III. Équation du second degré . . . . 4

1. Racines carrées . . . . 4

2. Factorisation canonique . . . . 5

3. Exemples - Autres factorisations . . . . 6

IV. Exponentielle complexe et représentation trigonométrique . . . . 6

1. Présentation axiomatique . . . . 6

2. Notation puissance . . . . 9

3. Arguments d'un nombre complexe . . . . 10

4. Racines n-iemes d'un nombre complexe . . . . 11

V. Nombres complexes et géométrie plane . . . . 12

1. Dictionnaire . . . . 13

2. Exemple : somme des angles d'un triangle. . . . . 13

3. Interprétations géométriques de certaines fonctions.. . . . 13

4. Forme complexe de la formule dite d'Al Kashi. . . . . 14

5. Droites . . . . 14

1. Équation de droite. . . . . 14

2. Dénition paramétrique d'une droite. . . . . 15

3. Alignement de 3 points. . . . . 15

6. Cercles.. . . . 15

1. Équation.. . . . 15

2. Inversion et cocyclicité de quatre points. . . . . 15

Index

équation de droite, 14 équation du second degré, 5 axe, 2, 12

alignement de 3 points, 15 analyse-synthèse, 3

arguments d'un complexe, 10

calcul pratique d'une racine carrée, 4 cocyclicité de quatre points, 15 conjugué d'un nombre complexe, 2 dénition du logarithme, 8

dénition du nombre π , 6 dénition du nombre j , 6 discriminant, 5

division euclidienne, 12 ensemble des racines carrées, 4 forme trigonométrique, 10

formule d'Al Kashi, 14 formule d'Euler, 10 formule de Moivre, 10

groupe des racines n-iemes de l'unité, 11 inversion, 15

malédiction du logarithme, 7 module, 2

nombre e , 7 nombre j , 6

partie réelle et imaginaire, 1

question de cours : inégalité triangulaire, 3 question de cours : unicité de la décomposition

en parties réelles et imaginaires, 1 relations entre coecients et racines, 5 surjectivité de l'exponentielle complexe, 9 zéros de sin , 8

Ce chapitre fait partie du programme de début d'année. Il contient du vocabulaire qui ne sera introduit que plus tard pour éviter des listes fastidieuses de dénition en début d'année. On peut se rapporter au glossaire de début d'année pour obtenir des présentations de ces termes mais ce n'est pas indispensable.

Pour manipuler facilement les nombres complexes, il faut absolument éviter de les considérer comme des couples

de nombres réels. Les parties réelles et imaginaires sont des propriétés importantes d'un complexe mais il ne faut

pas les considérer systématiquement. Le concept le plus délicat est celui d'argument. Il convient de retenir qu'un

nombre complexe non nul admet une innité d'arguments et ne jamais parler de l' argument d'un nombre complexe mais d'un argument.

I. Présentation axiomatique

Une présentation axiomatique permet d'introduire un objet mathématique sans le dénir mais en présentant les propriétés qui le caractérisent et qui permettent de l'utiliser. Cette méthode sera utilisée plusieurs fois dans ce cours et en organisant les propriétés sous la forme C'est bien , C'est plus gros que , C'est pas trop gros qui permet d'insérer le nouvel objet parmi ceux déjà connus.

Présentation axiomatique.

C c'est bien : C est un anneau

contenant un élément particulier noté i tel que i

= −1

C c'est plus gros que R : R est un sous-anneau de C et i n'appartient pas à R.

C c'est pas trop gros : pour tout nombre complexe z , il existe des nombres réels a et b tels que z = a + ib

La question de la construction eective d'un modèle pour l'ensemble C et ses opérations ne sera pas abordée.

Ce qu' est un nombre complexe n'est pas important. Ce qui compte c'est ce qu'on peut faire avec. La question de l' unicité revient en fait à prouver qu'entre deux structures vériant les propriétés de la présentation axiomatique, il existe un unique isomorphisme. Elle ne sera pas abordée non plus.

En revanche dans le troisième axiome, le fait que, pour un nombre complexe z donné, il existe un unique couple de réels est une propriété fondamentale dans la pratique. Ce cours commence par la démonstration de cette proposition. Elle illustre bien les propriétés de R intervenant dans la présentation axiomatique de C.

Proposition. Soient a , b , a

, b

des nombres réels tels que a + ib = a

+ ib

alors a = a

et b = b

Preuve. D'après les règles de calcul usuelles (dans un anneau), l'hypothèse entraine a − a

= i(b

− b) . Si b

− b 6= 0 alors (propriétés du corps R) c'est un élément inversible. Il existe donc c ∈ R tel que :

(a − a

)c = i(b

− b)c = i

Ceci entraine que i ∈ R ce qui est impossible car d'après les propriétés de R, aucun réel n'est de carré strictement négatif. On en déduit que b

− b = 0 ce qui entraine a − a

= 0 et ce qu'on voulait démontrer.

Proposition (Parties réelle et imaginaire). Pour tout nombre complexe z , il existe un unique couple (a, b) de réels tels que

z = a + ib

Dénition. Les fonctions partie réelle (notée Re ) et partie imaginaire (notée Im ) sont dénies à l'aide de la proposition précédente par :

∀z ∈ C : z = Re z + i Im z

Il est à noter que malgré son nom, la fonction partie imaginaire est à valeurs réelles.

Proposition (Eet des opérations sur les parties réelles et imaginaires). Pour tous z et z

dans C, pour tout λ réel

( Re(z + z

) = Re(z) + Re(z

) Re(λz) = λ Re(z)

( Im(z + z

) = Im(z) + Im(z

) Im(λz) = λ Im(z)

( Re(zz

) = Re(z) Re(z

) − Im(z) Im(z

) Im(zz

) = Re(z) Im(z

) + Im(z) Re(z

) Les deux premières accolades traduisent le fait que les fonction Re et Im sont linéaires.

Les fonctions partie réelle et partie imaginaire permettent de dénir la fonction conjugaison.

1voir l'entrée anneaux-corps duglossaire de début d'année. Un anneau est un ensemble muni de deux opérations (disons une addition et une multiplication) avec des propriétés raisonnables.

Dénition. Le conjugué d'un nombre complexe quelconque z est déni par : z = Re z − i Im z

Proposition (Compatibilité de la conjugaison avec les opérations). Pour tous z et z

dans C,

z + z

= z + z

zz

= zz

z = z

Re z = 1

2 (z + z) Im z = 1

2i (z − z) zz = Re(z)

+ Im(z)

∈ R

Dénition (Axe d'un point ou d'un vecteur). Un plan muni d'un repère orthonormé étant xé, on peut associer un point de ce plan à un nombre complexe en prenant la partie réelle comme première coordonnée et la partie imaginaire comme deuxième coordonnée.

Réciproquement, à tout point du plan, on peut associer un nombre complexe appelé axe du point en prenant pour partie réelle la première coordonnée et pour partie imaginaire la seconde. On dénit de manière analogue l'axe d'un vecteur à l'aide des coordonnées dans la base xée.

Si A et B sont deux points d'axes a et b alors b − a est l'axe du vecteur − − → AB . Dénition (Module d'un nombre complexe). Pour z dans C, le réel

√

zz = p

Re(z)

+ Im(z)

est noté |z| et appelé module de z .

Proposition. Pour tous les nombres complexes z et z

,



 

 

|z| = |z| = | − z| = |−z|

| Im(z)| ≤ |z|

| Re(z)| ≤ |z|

, pour z 6= 0 z

= z

|z|

,

( |zz

| = |z||z

|

|z + z

|

= |z|

+ |z

|

+ 2 Re(zz

) Preuve. Ces propriétés découlent directement des dénitions.

Remarques. Le module d'un nombre complexe est la norme (ou la longueur) du vecteur qu'il représente. Si A et B sont deux points d'axes a et b alors AB =

− − → AB

= |b − a| .

On en déduit en particulier que tout complexe non nul est inversible. En fait C est un corps

.

La dernière relation doit être vue comme une identité remarquable à retenir au même titre que les usuelles (z + u)(z − u) = z

− u

, (z − u)(z − v) = z

− (u + v)z + uv, u

− v

= (u − v)(u

+ uv + v

).

Une autre identité remarquable à retenir est

∀(z, u) ∈ C

, z

− 2 Re(u)z + |u|

= (z − u)(z − u)

À partir de la dernière proposition, on peut obtenir d'autres propriétés à titre d'exercice.

∀w ∈ C : | Re(w)| = |w| ⇔ Im(w) = 0 ⇔ w ∈ R De plus :

| Re(w)| ≤ |w| ⇒

( Re(w) − |w| ≤ 0 Re(w) + |w| ≥ 0 On en déduit

Re(w) + |w| > 0 ⇔ w / ∈ R

Cette propriété est utile dans la preuve de l'existence de racines carrées.

Proposition (Inégalité triangulaire).

∀(z, z

) ∈ C

: |z + z

| ≤ |z| + |z

|

Pour z 6= 0 , l'égalité se produit si et seulement si il existe λ ∈ R

tel que z

= λz .

2un corps est un anneau possédant cette propriété particulière.

Preuve.

|z + z

|

= |z|

+ |z

|

+ 2 Re(zz

) ≤ |z|

+ |z

|

+ 2|zz

| ≤ |z|

+ |z

|

+ 2|z||z

| ≤ (|z| + |z

|)

et on conclut avec les propriétés de la racine carrée dans R.

La condition donnée pour l'égalité par la proposition est susante car, avec λ ≥ 0 , z

= λz ⇒ |z + z

| = |1 + λ||z| = (1 + λ)|z| = |z| + |z

|.

Réciproquement,

|z + z

|

= (|z| + |z

|)

⇒ |zz

| = |z||z

| = |z||z

| = Re(zz

) = Re(z

z) ⇒ z

z = |zz

| = |zz

| car la partie imaginaire est alors nulle. On en déduit

z

= |zz

|

z = |zz

|

|z|

z = |z

|

|z| z avec |z

|

|z| ≥ 0.

Remarque. Les propriétés géométriques (partie V.) des nombres complexes permettent d'interpréter la condition d'égalité. Les points d'axes z et z

doivent se trouver sur une même demi-droite passant par l'origine du repère.

II. Groupe des nombres complexes de module 1

On note U l'ensemble des nombres complexes de module 1.

Proposition. ( U , ×) est un sous-groupe de ( C

, ×) . C'est à dire :

1 ∈ U ∀(u, u

) ∈ U

: uu

∈ U

Proposition. Pour tout nombre complexe non nul z , il existe un unique couple (ρ, u) ∈]0, +∞[× U tel que z = ρu

Preuve. Analyse : Soit (ρ, u) ∈]0, +∞[× U tel que

z = ρu

En prenant le module, il vient |z| = |ρ||u| = ρ car ρ > 0 et u = 1 . On en déduit

ρ = |z| u = 1

|z| z ce qui assure l'unicité du couple.

Synthèse : Dénissons ρ ∈]0, +∞[ et u ∈ U par :

ρ = |z| u = 1

|z| z alors évidemment :

ρu = |z| 1

|z| z = z ce qui assure que le couple donné vérie bien les conditions imposées.

Remarque. Soit u un nombre complexe non nul, alors |u| = 1 si et seulement si u

= u .

III. Équation du second degré

1. Racines carrées

On utilise ici la notion de racine carrée d'un nombre réel positif. Pout tout réel positif x , il existe un unique nombre réel positif dont le carré est égal à x . Ce nombre est appelé la racine carrée de x . La justication de ce résultat est analytique. La fonction t → t

est une bijection strictement croissante de [0, +∞[ dans lui même. Cela ne se généralise pas dans le cas complexe.

Proposition. Pour tout nombre complexe w non nul, il existe exactement deux nombres complexes dont le carré est égal à w . De plus ces deux nombres sont opposés. On dit que ces deux nombres forment l'ensemble des racines carrées de w .

Remarques. Dans le cas où w = 0 , il existe évidemment un seul nombre dont le carré est nul ( à savoir 0 ).

La notation √

x ou x

est à réserver au cas où x ∈ ]0, +∞[ . La notation √

z pour un z complexe est à proscrire absolument. parmi les deux racines carrées, on ne peut dénir le choix de l'une d'entre elles qui conserve des propriétés satisfaisantes.

Preuve. Première partie. Soit z

tel que z

= w , on peut alors factoriser : z

− w = z

− z

= (z − z

)(z + z

)

On en déduit que si z

est une racine carrée de w alors l'ensemble des racines carrées de w est {z

, −z

} . Deuxième partie On forme ici une solution particulière.

Si w est un réel strictement négatif alors i √

−w est une racine carrée de w .

Si w n'est pas un réel strictement négatif alors il a été montré dans une remarque que Re(w) + |w| > 0 . Dans ce cas on peut considérer arbitrairement

x = r 1

2 (Re(w) + |w|) y = Im w

2x = Im w

p 2(Re(w) + |w|) Formons alors z

= x + iy et calculons z

:

z

= (x

− y

) + 2xyi

Par construction : 2xy = Im w . En remplaçant x et y par leur valeur de dénition, il vient : x

− y

= Re(w) + |w|

2 − Im

(w)

2(Re(w) + |w|) = (Re(w) + |w|)

− Im

(w)

2(Re(w) + |w|) = 2 Re

(w) + 2 Re(w)|w|

2(Re(w) + |w|) = Re(w) On en déduit z

= w ce qui achève la démonstration.

Ces formules ne sont pas à retenir. Elles permettent de former une démonstration logiquement claire à défaut d'être naturelle. En revanche, il convient de retenir la méthode pratique de calcul dont elles proviennent.

On pose x = Re(w) , y = Im z et on ajoute une troisième équation aux deux équations obtenues en identiant les parties réelles et imaginaires de z

= w . Cette troisième équation est

|z|

= |w|

Cela donne : 

 

 

x

− y

= Re(w) 2xy = Im w x

+ y

= |w|

On en tire (en ajoutant d'abord les équations 1 et 3) x

= 1

2 (Re(w) + |w|) y = Im w

2x (1)

Dans le cas où w n'est pas un réel négatif Re(w) + |w| > 0 , et on est amené naturellement aux valeurs proposées

dans la deuxième partie. Il est inutile (à cause de la première partie) de chercher à obtenir toutes les solutions par

ces équations en discutant avec des + et des − . C'est cette méthode qu'il faut utiliser dans la pratique (encore

une fois sans chercher à mémoriser les formules).

Exemple. Recherche pratique des racines carrées x + iy de 3 − 4i . À partir des équations ( x

− y

= 3

x

+ y

= |w| = 5 obtenues avec la partie réelle et le module, on pose

x =

r 3 + 5

2 = 2 puis, avec la partie imaginaire, y = −4 2x = −1 On en déduit que l'ensemble des racines carrées de 3 − 4i est :

{2 − i, −2 + i}

2. Factorisation canonique

Il s'agit simplement d'une transformation particulière d'une certaine expression du second degré. À cause de l'existence des racines carrées d'un nombre complexe, cette transformation permet de factoriser l'expression initiale.

Soit a , b , c , z des nombres complexes (avec a 6= 0 ). Alors :

az

+ bz + c = a

z

+ b a z + c

a

= a

"

z + b 2a

− b

4a

+ c

a

#

= a

"

z + b 2a

− b

− 4ac 4a

#

Le complexe b

− 4ac est appelé le discriminant de l'expression du second degré. Il est souvent noté ∆ . On note souvent δ une racine carrée du discriminant. On peut alors factoriser en utilisant la diérence de deux carrées.

az

+ bz + c = a

z − b + δ

2a z − b − δ 2a

Proposition (équation du second degré). Soit a , b , c , z des nombres complexes (avec a 6= 0 ). L'ensemble des solutions complexes de l'équation az

+ bz + c = 0 d'inconnue z est

−b + δ

2a , −b − δ 2a

si ∆ 6= 0 −b

2a

si ∆ = 0 où δ est une racine carrée du discriminant.

Remarques. 1. Vocabulaire des équations : inconnue, ensemble des solutions.

2. Ne donnez pas systématiquement des noms à vos solutions ( z

= ..., z

= ... ). Précisez plutôt anonymement l'ensemble des solutions en plaçant entre des accolades les expressions des solutions séparées par des virgules.

La maîtrise de la syntaxe des ensembles est capitale pour la classe.

3. L'ensemble des solutions est indépendant de la racine carrée du discriminant choisie.

4. Si les coecients sont réels le discriminant aussi. Lorsqu'il est négatif ses racines carrées sont conjuguées, celles de l'équation aussi.

5. Relation entre coecients et racines.

(z − z

)(z − z

) = z

− sz + p avec s = z

+ z

et p = z

z

3. Exemples - Autres factorisations

Dénition (nombre j ). Le nombre j est la solution de partie imaginaire positive de l'équation z

+ z + 1 = 0 d'inconnue z .

Remarque. On montre que j

= 1 d'après l'équation dont il est solution. En eet

(z − 1)(z

+ z + 1) = z

+ z

+ z − z

− z − 1 = z

− 1 ⇒ j

− 1 = (j − 1)(j

+ j + 1)

| {z }

=0

= 0

En calculant une racine carrée du discriminant par la méthode indiquée plus haut, on obtient j = − 1

2 + i

√ 3 2 On vérie aussi :

j

= − 1 2 − i

√ 3

2 = j, 1 − j = 1 2 − i

√ 3 2

On en déduit que le triangle formé par les points d'axes 1 , j , j

est équilatéral inscrit sur le cercle unité car 1 = |1 − j| = |1 − j| = |1 − j

| = |j||1 − j| = |j − j

|.

Exemple. Résoudre l'équation z

+ z + i = 0 d'inconnue z .

Le discriminant est ∆ = 1 − 4i . On cherche une de ses racines carrées sous la forme x + iy avec x et y réels. Ils vérient



 

 

x

+ y

= √ 17 x

− y

= 1 )

⇒ x

= 1 2 (1 + √

17) 2xy = −4

On en déduit une racine δ = x + iy avec :

x = s

1 + √ 17

2 et y = − 2

x = − 2 √ 2 p 1 + √

17

L'ensemble des solutions est

−1 + δ

2 , −1 − δ 2

Exemple (une factorisation non canonique).

z

+ 1 = (z

+ 1)

− 2z

= (z

− √

2z + 1)(z

+ √ 2z + 1)

Remarques. 1. L'équation z

+ 1 = 0 d'inconnue z est sans solution dans R car z

+ 1 ≥ 1 pour tous les z réels.

Il existe tout de même une factorisation de l'expression de degré 4 en produit de deux expressions du second degré.

2. Les solutions complexes se calculent facilement avec les discriminants des expressions du second degré. On obtient :

1 + i

√ 2 , 1 − i

√ 2 , − 1 + i

√ 2 , − 1 − i

√ 2 ,

IV. Exponentielle complexe et représentation trigonométrique

1. Présentation axiomatique

Cette section commence par une présentation axiomatique de la fonction exponentielle complexe (sous la forme d'un théorème admis) dont l'objectif est d'introduire de manière uniée des objets et méthodes mathématiques usuels. On introduit en particulier le nombre π , les fonctions usuelles réelles exponentielle, cosinus et sinus ainsi que la décomposition trigonométrique d'un nombre complexe non nul. La démonstration de ce théorème se fera sous forme d'exercices

au long de l'année et servira à illustrer d'autres parties du programme.

Théorème. Il existe une application notée exp dénie dans C et à valeurs dans C

vériant les propriétés sui- vantes :

P1. exp(0) = 1 , ∀(z, z

) ∈ C

: exp(z + z

) = exp(z) exp(z

) . P2. ∀z ∈ C : exp(z) = exp(z) .

P3. (dénition de π ) Il existe un unique nombre réel strictement positif noté π tel que, pour tout nombre complexe z :

exp(z) = 1 ⇔ ∃k ∈ Z tel que z = 2ikπ

3Une dénition est donnée dans laFeuille Suites et fonctions à valeurs complexes

P4.(dénition des fonctions exponentielles, cosinus et sinus réelles) Les fonctions exp

, cos , sin sont dénies par :

∀t ∈ R : exp

(t) = exp(t), cos(t) = Re(exp(it)), sin(t) = Im(exp(it)) Elles sont à valeurs réelles, continues, dérivables et leurs dérivées vérient :

exp

= exp

, cos

= − sin, sin

= cos Proposition 1 (Conséquences de P1.). Pour tout nombre complexe z :

1 = exp(0) = exp(z − z) = exp(z) exp(−z), exp(z) 6= 0, exp(−z) = 1

exp(z) , ∀n ∈ N

: exp(nz) = exp(z)

Proposition 2 (Conséquence de P2.). Pour tout nombre réel t :

exp(t) = exp(t) = exp(t), exp(it) = exp(it) = exp(−it) = 1 exp(it)

On en déduit que exp(t) est réel et que exp(it) est de module 1. Ce qui prouve que la fonction exponentielle réelle est bien à valeurs réelles et que les fonctions cos et sin vérient la relation

cos

+ sin

= 1

On en déduit aussi que la fonction cos est paire et que la fonction sin est impaire. Pour tout t réel : cos(−t) = cos(t) sin(−t) = − sin(t)

Proposition 3 (Conséquence de P3).

exp(2iπ) = 1 Dénition (Nombre e ). Le nombre réel e est déni par e = exp(1) .

La fonction exponentielle complexe n'est pas injective, c'est à dire que deux nombres complexes distincts peuvent avoir la même image. La propriété P3 précise justement l'ensemble de tous les nombres complexes qui ont la même image que 0 . On déduit facilement de P1 et P3 la proposition suivante.

Proposition 4. Pour tous complexes u et v :

exp(u) = exp(v) ⇔ u − v ∈ 2iπ Z ⇔ ∃k ∈ Z tq u − v = 2ikπ

La notation w Z désignant ( w étant un complexe xé) l'ensemble des complexes de la forme kw avec k ∈ Z.

Preuve.

exp(u) = exp(v) ⇔ exp(u) exp(−v) = exp(v) exp(−v) ⇔ exp(u − v) = 1

⇔ ∃k ∈ Z tel que u − v = 2ikπ ⇔ u − v ∈ 2iπ Z

Cette propriété de la fonction exponentielle sera souvent génante en interdisant par exemple de pouvoir dénir de manière satisfaisante dans C des fonctions qui semblent usuelles comme le logarithme ou la fonction racine carrée ou bien encore l'argument. Dans la suite du cours, on y fera référence sous le nom de malédiction du logarithme.

Une autre conséquence de P3 est : Proposition 5.

exp(iπ) = −1 ⇒ cos π = −1 et sin π = 0

Preuve. En eet, (exp(iπ))

) = exp(2iπ) = 1 . Donc exp(iπ) est une solution de l'équation z

= 1 d'inconnue z . Les solutions de cette équation sont −1 et 1 . D'après P3, exp(iπ) 6= 1 donc exp(iπ) = −1 .

Proposition 6.

sin x = 0 ⇔ x ∈ π Z

Preuve.

sin x = 0 ⇔ exp(ix) ∈ R ⇔ exp(ix) = exp(ix) = exp(−ix) ⇔ exp(2ix) = 1 ⇔ 2ix ∈ 2iπ Z ⇔ x ∈ π Z

Proposition 7. La fonction exponentielle réelle est une bijection strictement croissante de R dans R

.

Preuve. On a montré (conséquence de P1) que la fonction exponentielle complexe ne s'annule pas. La fonction exponentielle réelle (qui est sa restriction à R) se s'annule donc pas non plus. D'après P4, elle est continue et en 0 elle est strictement positive (valeur 1). Le théorème des valeurs intermédiaires

prouve qu'elle est à valeurs strictement positives. Comme d'après P4, la fonction exponentielle réelle est sa propre dérivée, on peut conclure qu'elle est strictement croissante par le théorème du tableau des variations.

On en déduit que 1 = exp

(0) < e = exp

(1) . Pour tout n ∈ N, exp

(n) = e

avec e > 1 . La suite géométrique associée diverge vers +∞ donc la fonction croissante exp

aussi. De la relation

exp

(−x) = 1 exp

(−x) on obtient que la limite en −∞ est 0 .

Dénition (dénition du logarithme). La fonction logarithme notée ln est la bijection réciproque de l'exponentielle réelle.

Elle est dénie dans ]0, +∞[ et à valeurs relles. Ses propriétés seront étudiées à la section Fonctions usuelles, trigonométrie. Notons seulement une conséquence immediate de l'axiome P1 et l'expression de la dérivée.

Proposition 8.

∀(a, b) ∈]0, +∞[

, ln(ab) = ln(a) + ln(b), ∀t > 0, ln

(t) = 1 t Preuve. En eet

exp(ln(ab)) = ab = exp(ln(a)) exp(ln(b)) = exp(ln(a) + ln(b))

et on conclut par bijectivité de l'exponentielle réelle. L'expression de la dérivée vient du théorème de la dérivabilité de la bijection réciproque

ln

(t) = 1

exp

(ln(t)) = 1

exp(ln(t)) = 1 t .

Proposition 9. La restriction de la fonction cos à l'intervalle [0, π] est strictement décroissante, la fonction sin est strictement positive dans ]0, π[ , .

Preuve. On a vu en Proposition 6 que les zéros de sin sont les multiples entiers de π donc sin ne s'annule pas dans l'ouvert ]0, π[ . D'après P4, la dérivée de cos est − sin qui est de signe constant dans ]0, π[ . D'après le théorème du tableau de variations, la fonction cos est strictement monotone dans [0, π] . Or cos(0) = 1 et cos(π) = −1 , la fonction cos est donc décroissante ce qui entraîne que − sin est négative et permet de conclure.

Proposition 10.

exp(i π

2 ) = i ⇒





 cos π

2 = 0 sin π

2 = 1 Preuve. Comme (exp(i π

2 ))

= (i)

= −1 , le complexe exp(i π

2 ) est une solution de l'équation z

= −1

d'inconnue z . Les deux solutions de cette équation sont i et −i . De plus exp(i π

2 ) 6= −i car sin( π

2 ) > 0 d'après la proposition précédente.

4pour le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème du tableau de variations, voirglossaire de début d'année

Proposition 11 (Premières formules trigonométriques).

cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b, sin(a + b) = cos a sin b + sin a cos b cos(2a) = cos a − sin b = 1 − 2 sin

a = 2 cos

a − 1, sin(2a) = 2 sin a cos a

cos(π + t) = − cos(t) sin(π + t) = − sin(t) cos( π

2 + t) = − sin(t) sin( π

2 + t) = cos(t) cos( π

2 − t) = sin(t) sin( π

2 − t) = cos(t) Preuve. La première ligne s'obtient en prenant la partie réelle et la partie imaginaire de

exp(i(a + b)) = exp(ia) exp(ib)

La deuxième ligne s'obtient en prenant b = a dans la première ligne et en utilisant la somme des carrés. La troisième ligne vient de

exp(i(t + π)) = exp(it) exp(iπ) = − exp(it) La quatrième ligne vient de

exp(i(t + π

2 )) = exp(it) exp(i π

2 ) = (cos(t) + i sin(t))i = − sin(t) + i cos(t) Pour la dernière, on remplace t par −t dans la précédente.

Proposition 12 (surjectivité de l'exponentielle complexe). Pour tout nombre complexe z de module 1 , il existe des nombres réels y tels que exp(iy) = z . Pour tout nombre complexe non nul z , il existe des nombres complexes u tels que exp(u) = z .

Preuve. Soit z ∈ U, on note c = Re(z) et s = Im(z) . Ils sont tous les deux dans [0, 1] car c

+ s

= 1 . D'après la Proposition 9, la fonction cos dénit une bijection de [0, π] dans [−1, 1] , il existe donc un réel θ ∈ [0, π] tel que cos(θ) = c . Alors :

1 = cos

θ + sin

θ = c

+ s

⇒ sin θ = ±s Si sin θ = s , on pose y = θ et on vérie exp(iy) = z .

Si sin θ = −s , on pose y = −θ et on vérie exp(iy) = exp(i(−θ)) = z car cos(−θ)) = cos(θ) = c et sin(−θ) =

− sin θ) = s .

Lorsque z est un nombre complexe non nul, on peut écrire z = |z|u avec u =

z ∈ U. On vient de prouver qu'il existe un réel y tel que u = exp(iy) .

D'après son tableau de variations, l'exponentielle réelle dénit une bijection de R dans ]0, +∞[ . Il existe donc un réel x tel que exp

(x) = |z| . En fait x = ln(|z|) avec la fonction logarithme dénie plus haut. Comme l'exponentielle réelle n'est que la restriction de l'exponentielle complexe, on peut écrire

exp(x + iy) = exp(x) exp(iy) = |z| u = z ce qui prouve le résultat annoncé.

Remarque. D'après la propriété P3, si exp(u

) = z , alors l'ensemble des u tels que exp(u) = z est u

+ 2iπ Z = {u

+ 2ikπ, k ∈ Z }

2. Notation puissance

On se propose maintenant d'abandonner la notation exp(z) et de la remplacer par la notation "puissance" e

. Remarquons d'abord que, pour tout nombre complexe non nul z et tout entier relatif n on peut dénir z

par :

z

=



 

 

 

 

 

 

z × z × · · · × z

| {z }

nfois

si n > 0 z

× z

× · · · × z

| {z }

−nfois

si n < 0

1 si n = 0

Les formules suivantes se vérient pour tous les complexes non nuls u et v et tous les entiers relatifs m et n : (uv)

= u

v

, u

u

= u

, (u

)

= u

.

Ces formules traduisent le fait que les applications n ∈ Z xé

( ( C

, .) → ( C

, .)

z 7→ z

, z ∈ C

xé { ( Z , +) → ( C

, .) n 7→ z

sont des morphismes.

On se propose d'étendre cette dénition et ces formules pour d'autres valeurs de u et n . Cette dénition utilise la fonction logarithme réelle (notée ln ) dénie plus haut (pour les réels strictement positifs) comme bijection réciproque de la fonction exponentielle réelle.

On pose :

∀u ∈ R

, ∀z ∈ C : u

= exp(z ln u)

Les formules annoncées se vérient facilement avec les propriétés de ln (en particulier ln uv = ln u + ln v ). De plus, on rappelle que le nombre réel e a été déni par

e = exp(1) ⇒ ln e = 1 Pour la dénition précédente et pour tout nombre complexe z :

e

= exp(z ln e) = exp z

On peut remarque que la formule (u

)

= u

ne s'étend pas à u > 0 et n complexe car u

n'est pas forcément réel positif.

Dans la suite on utilisera plus souvent la notation puissance que la notation exp . On obtient en particulier les formules usuelles valables pour tous les t réels :

formules d'Euler e

= cos t + i sin t, ∀n ∈ Z : (cos t + i sin t)

= e

= cos nt + i sin nt formules de Moivre cos t = 1

2 (e

+ e

), sin t = 1

2i (e

− e

)

3. Arguments d'un nombre complexe

D'après la Proposition 12 (surjectivité de l'exponentielle), pour tout nombre complexe non nul z , il existe des nombres complexes u tel que z = e

. On peut alors écrire

z = e

| {z }

>0

e

| {z }

∈U

On en déduit |z| = e

ce qui prouve l'existence de nombres réels α = Im u comme dans la dénition suivante.

Dénition. Un argument d'un nombre complexe non nul z est un réel α tel que : z = |z|e

Remarques.

L'écriture précédente est appelée la forme trigonométrique de u .

D'après la propriété P3. de la fonction exponentielle, il existe une innité d'arguments pour u . Plus précisément, si α est un argument de u , l'ensemble des arguments de u est :

α + 2π Z = {α + 2kπ, k ∈ Z }

Si on considère tous les u tels que e

= z , ils ont tous la même partie réelle qui est : ln |z|

en revanche leurs parties imaginaires sont tous les arguments possibles de z .

Si on se xe un intervalle semi-ouvert de longueur 2π (notons le I ), chaque complexe u admet un unique argument dans I . C'est le cas en particulier pour I =] − π, +π] . On dénit ainsi une fonction qui à chaque u associe un argument particulier appelé argument principal et noté arg(u) .

Attention ! ! La somme de deux éléments dans I n'est pas forcément un élément de I . Imaginez par exemple deux éléments de ] − π, +π] et proches de π , leur somme sera forcément strictement supérieure à π . Donc en général

arg(uu

) 6= arg(u) arg(u

)

IL EST ABSOLUMENT DÉCONSEILLÉ D'UTILISER LA FONCTION arg (argument principal). Préférez la formulation suivante :

Soit α un argument de u ...

Dans ces conditions, on peut parfaitement écrire :

Soit α un argument de u et β un argument de v , alors α + β est un argument de uv En eet :

uv = |u|e

|v|e

= |u||v|e

Si λ et α sont deux nombres réels et

u = λe

alors

si λ > 0 : α est un argument de u

si λ < 0 : α + π est un argument de u car u = (−λ)e

Exemple. Le calcul suivant est à maitriser absolument :

e

+ e

= e

e

+ e

e

= e

e

+ e

= e

2 cos α − β 2 Il se retrouve sous diérentes formes comme

e

− e

= 2i sin α − β 2 e

4. Racines n-iemes d'un nombre complexe

Dénition. Soit n un entier naturel non nul, on note U

l'ensemble des nombres complexes u tels que u

= 1 . Les éléments de U

sont appelés les racines n-iemes de l'unité. La proposition suivante se démontre facilement à partir des propriétés de C.

Proposition. Soit n un entier naturel non nul :

U

⊂ U , 1 ∈ U

, ∀(u, v) ∈ U

: uv ∈ U

, ∀u ∈ U

: u

= u ∈ U

. Exemples.

U

= {1} U

= {1, −1} U

= 1, j, j

Proposition. Pour tout nombre complexe non nul z et tout entier naturel non nul n , il existe des nombres complexes u tels que

u

= z

Ces nombres sont appelés les racines n-iemes de z . De plus, si u

est une racine n-ieme de z , l'ensemble des racines n-iemes de z est :

u

U

= {u

v, v ∈ U

} Preuve. Soit u tel que e

= z , alors e

est une racine n-ieme de z .

Soit u

une racine n-ieme de z , alors u est une racine n-ieme de z si et seulement si : u

= u

⇔

u u

= 1 ⇔ u u

∈ U

⇔ u ∈ u

U

La proposition suivante précise l'ensemble des racines n-iemes de l'unité.

Proposition. Soit n un entier naturel non nul alors :

U

= {1, w, w

, · · · , w

} avec w = e

Remarque. Cette notation sous-entend que les puissances de w entre les accolades sont deux à deux distinctes.

L'ensemble U

contient donc n éléments.

Preuve. On raisonne en prouvant séparément les deux inclusions.

Soit u = w

avec k entre 0 et n − 1 , alors

(w

)

= w

= (w

)

= 1

= 1 Ce qui prouve la première inclusion.

Dans l'autre sens, comme en sait déjà que U

⊂ U, soit u = e

une racine n-ieme de l'unité quelconque.

Alors

nα ∈ 2π Z ⇒ ∃k ∈ Z tel que nα = 2kπ

Donc α =

ce qui montre que u est bien de la forme w

mais pour un k dont on ne sait rien (sinon qu'il est entier). La suite du raisonnement utilise la division euclidienne de k par n . Il existe un entier m et un naturel r ∈ {0, 1, · · · , n − 1} tels que :

k = mn + r On peut alors écrire :

u = w

= (w

)

w

= w

Ce qui achève la démonstration.

Remarque. La somme (notée s

) des racines nièmes de l'unité est nulle. En eet : (1 − w)s

= (1 − w)(1 + w + · · · + w

) = 1 − w

= 0 et w 6= 1 .

Théorème (théorème de d'Alembert). Soit n un entier naturel non nul, soient a

, a

, · · · , a

des nombres com- plexes ( a

6= 0 ). Il existe des nombres complexes z vériant :

a

+ a

z + a

z

+ · · · + a

z

= 0

Ce théorème est admis pour le moment. Sa démonstration repose sur les outils suivants

l'existence de racines n-ièmes d'un nombre complexe (surjectivité de la fonction exponentielle) le théorème de Bolzano-Weirstrass pour les suites complexes

une étude locale

Une démonstration complète sera donnée sous la forme de plusieurs exercices traités au long de l'année.

V. Nombres complexes et géométrie plane

Lorsqu'on xe un repère orthonormé direct dans un plan ane euclidien orienté P , on peut dénir une appli- cation bijective appelée axe entre P et C. Cette application associe à chaque point du plan le nombre complexe dont la partie réelle est la première coordonnée du point et dont la partie imaginaire est la deuxième coordonnée.

Si on désigne par x et y les fonctions coordonnées dans le repère, l'axe d'un point M est le nombre complexe x(M ) + iy(M ) . Traditionnellement, on note un point par une lettre d'imprimerie ( A, B, M, · · · ) et son axe par la même lettre minuscule ( a, b, m, · · · ). On dénit de même l'axe d'un vecteur. Il est à noter que l'on peut dénir un point par son axe.

L'objet de cette section est de présenter sous forme complexe les calculs avec les coordonnées que l'on peut faire dans certaines situations géométriques.

Notation de l'objet géométrique Notation de l'axe complexe points : A, B, C, . . . a, b, c, · · ·

vecteurs : − → u , − → v u, v vecteur : − − →

AB b − a

1. Dictionnaire

On peut former un dictionnaire pour les notions de produit scalaire, distance, angles.

norme k− → u k = |u|

distance d(A, B) = k − − →

ABk = |b − a|

produit scalaire − → u · − → v = ( − → u / − → v ) = Re(uv) θ une mesure de l'angle orienté de − → u vers − → v θ un argument de

ou de uv A , B , C alignés (distincts)

réel

− − → AB et −→

AC orthogonaux

imaginaire pur

2. Exemple : somme des angles d'un triangle.

A(a) α

B (b) β

C(c) γ

Fig. 1: Somme des angles d'un triangle

Suivant le dictionnaire précédent, on peut interpréter les angles de la gure 1 comme des arguments de nombres

complexes. angles α β γ

nombres complexes

En introduisant les modules ρ

, ρ

, ρ

, on peut écrire

c − a

b − a = ρ

e

a − b

c − b = ρ

e

b − c

a − c = ρ

e



 

 

 



 

 

 



⇒ ρ

ρ

ρ

e

= c − a b − a

a − b c − b

b − c

a − c = −1 ⇒ α + β + γ ≡ 0 mod (2π)

3. Interprétations géométriques de certaines fonctions.

Soit u un nombre complexe xé. La transformation du plan qui à tout point M associe le point d'axe m +u est une translation de vecteur − → u .

Soit θ un nombre réel xé non congru à 0 modulo 2π et a un nombre complexe xé. La transformation du plan qui à tout point M associe le point d'axe me

+ a est une rotation d'angle θ et de centre le point d'axe

.

Soit u unitaire et α un argument de u , soit a complexe. L'application z → u(z − a) + a

s'interprète géométriquement comme la rotation d'angle α et de centre a .

O(0)

A(a) B(b)

| b |

| b − a |

| a | θ

Fig. 2: Forme complexe d'Al Kashi

Soit a et b complexes avec a 6= 0 . La transformation géométrique associée à la transformation complexe z → az + b

est une translation lorsque a = 1 , une rotation lorsque |a| = 1 , une homothétie lorsque a est réel et 6= 1 , une similitude dont le rapport est le module de a et l'angle un argument de a lorsque |a| 6= 1 . Lorsque a 6= 1 ,le centre est le point xe de la transformation c'est à dire l'unique solution de z = az + b .

4. Forme complexe de la formule dite d'Al Kashi.

On considère le triangle formé par les points O , A , B respectivement d'axes 0 , a , b . Notons θ une mesure de l'angle orienté ( −→

OA, − − →

OB) c'est aussi un argument de

ou de ba . L'identité remarquable suivante s'interprète alors comme la forme complexe du théorème d'Al Kashi de terminale :

|b − a|

= |a|

+ |b|

− 2 Re(ab) = |a|

+ |b|

− 2|a||b| cos θ

5. Droites

1. Équation de droite.

Si x et y désignent les fonctions coordonnées relatives à un repère orthonormé et a , b , c sont trois nombres réels tels que (a, b) 6= (0, 0) . L'équation

ax + by + c = 0

est l'équation d'une droite. C'est à dire que l'ensemble des points M vériant ax(M ) + by(M ) + c = 0 est une droite.

Réciproquement, si D est une droite, il existe a , b , c réels tels que (a, b) 6= (0, 0) et que M ∈ D ⇔ ax(M ) + by(M ) + c = 0

Soit a , b , c , x , y des nombres réels quelconques. Alors

ax + by + c = Re(zu − c) avec z = x + iy et u = a + ib On en déduit que la forme complexe d'une équation de droite est

Re(zu − c) = 0

2. Dénition paramétrique d'une droite.

On peut dénir une droite D par un point A axe a et un vecteur − → u non nul d'axe u . On peut caractériser l'appartenance à cette droite d'un point quelconque Z d'axe z .

Z ∈ D ⇔ ∃t ∈ R tq z − a = tu ⇔ z − a

u ∈ R ⇔ les arguments de z − a

u ≡ 0 mod π On peut compléter la condition générale d'alignement citée plus haut

C sur la demi droite d'origine A et passant par b si et seulement si

∈ R

. C sur le segment d'extrémités A et B si et seulement si

∈ [0, 1] .

3. Alignement de 3 points.

Proposition. Trois points distincts A , B , C d'axes a , b , c sont alignés si et seulement si b − a

c − a ∈ R Preuve. La condition signie que l'angle entre les vecteurs −→

AC et − − →

AB est congru à 0 modulo π .

6. Cercles.

1. Équation.

La forme complexe d'une équation de cercle est complètement naturelle. Un point quelconque Z d'axe z est sur le cercle de centre C d'axe c et de rayon r si et seulement si

|z − c| = R

En posant x = Re z et y = Im z , on obtient une équation du second degré de la forme x

+ y

+ Ax + By + C = 0

où A , B , C sont des paramètres réels. On remarque qu'il n'y a pas de terme en xy et que les coecients de x et de y sont égaux.

Réciproquement, lorsqu'une équation de cette forme admet des solutions. Les représentants de ses solutions forment un cercle. Pour l'obtenir, il sut d'écrire des débuts de carrés :

x

+ y

+ Ax + By + · · · = (x + A

2 )

+ (y + B

2 )

− A

4 − B

4 + · · · pour faire intervenir le carré d'un module.

2. Inversion et cocyclicité de quatre points.

Les résultats présentés dans cette section ne sont pas au programme de MPSI mais constituent de bons exemples de mise en ÷uvre des éléments du programme.

Proposition. Quatre nombres complexes A , B , C , D d'axes a , b , c , d sont cocycliques (sur un même cercle) si et seulement si :

(c − b)(d − a) (c − a)(d − b) ∈ R Preuve. La preuve de cette proposition se déduit des résultats suivants.

On note I (inversion) l'application du plan privé de l'origine dans le plan privé de l'origine et qui, à tout nombre complexe z 6= 0 associe

.

Cette application est clairement une involution c'est à dire qu'elle vérie I ◦ I = Id .

Proposition. L'image par I d'une droite qui ne passe pas par l'origine O est un cercle passant par O mais privé

de O . L'image par I d'un cercle passant par O mais privé de O est une droite qui ne passe pas par l'origine O .

Preuve. Soit D une droite ne passant pas par O . Son équation est de la forme ax + by + c avec c 6= 0 caractérisant le fait que O 6∈ D .

Soit Z 6= O d'axe z un point quelconque du plan. Alors Z ∈ I (D) ⇔ I (Z) ∈ D ⇔ a Re(z)

|z|

− b Im(z)

|z|

+ c = 0 car l'axe de I(Z) est

=

.

Notons u = a + ib . On a alors a Re(z)

|z|

− b Im(z)

|z|

+ c = Re(zu)

|z|

+ c = 1

|z|

Re(zu) + c|z|

= c

|z|

Re(z u

c ) + |z|

= c

|z|

|z + u 2c |

−

u 2c

2

!

On en déduit que I(D) est le cercle de centre le point d'axe

et de rayon |

. Ce cercle passe par l'origine car le rayon est le module de l'axe du centre. L'origine n'est pas atteinte par I .

Application à la cocyclicité de quatre points.

A , B , C , D sont cocycliques si et seulement si les points d'axes b − a , c − a , d − a sont sur un cercle qui passe par l'origine si et seulement si les points d'axes

,

,

sont alignés.

Or

c−a

−

1

d−a

−

= (b − c)(d − a)

(c − a)(b − d) = (c − b)(d − a) (c − a)(d − b) =

c−b c−a d−b d−a

Finalement : les quatre points A , B , C , D sont cocycliques si et seulement si les arguments de

et de

sont congrus modulo π .

A

C B

D

Fig. 3: points cocycliques

On en déduit la proposition annoncée au début.