Plan de la partie 3

Equations différentielles ordinaires Equations aux dérivées partielles

Partie 3 : EDP elliptiques

Franck Boyer

franck.boyer@math.univ-toulouse.fr Bureau 204 - Bât. 1R3

Master 1 Mathématiques - Enseignement Supérieur et Recherche 2019/2020

Institut de Mathématiques de Toulouse

Menu de l’UE

Plan général

• Partie 1 : Equations différentielles ordinaires

• Partie 2 : Equations de transport

• Partie 3 : Problèmes aux limites elliptiques Evaluation

• Un devoir à la maison

• Un partiel

• Un examen terminal

• Note de CC“1{3DM`2{3P

• Note finale“0.4CC`0.6CT Remarque

• Contenu de base

• Contenu plus avancé

Plan de la partie 3

1. Motivations

1.1 Le problème de la membrane élastique 1.2 Premiers pas vers la résolution mathématique

2. Espaces de Sobolev en dimension 1 2.1 L’espaceH¹pIq

2.2 L’espaceH¹₀pIq

2.3 Résolution du problème de la corde élastique

3. Formulations variationnelles d’un problème aux limites 3.1 Principes généraux

3.2 Exemples en dimension 1

3

Partie 3 : EDP elliptiques

1. Motivations

Partie 3 : EDP elliptiques

1. Motivations

1.1. Le problème de la membrane élastique

Le problème physique

Introduction

On considère une membrane élastique plane au repos

• Le bord de la membrane est fixé à un cadre.

• On applique une force verticale en chaque point de la membrane (par exemple en posant un objet dessus).

• On veut savoir quelle forme va prendre la membrane sous l’effet de cette force.

Le problème physique

Introduction

On considère une membrane élastique plane au repos

Mise en forme mathématique

• La membrane au repos est représentée par un ouvertΩĂR² (plus exactement c’est l’ensembleΩˆ t0udansR³).

• La densité de forces enxPΩest un nombre notéfpxq. La force verticale exercée sur le pointpx,0q,xPΩest donc

¨

˚

˝ 0 0 fpxq

˛

‹

‚.

4

Le problème physique

Introduction

On considère une membrane élastique plane au repos

Mise en forme mathématique

• Sous l’effet de la force exercée, la membrane va s’étirer et se déformer.

• But du jeu :Trouver la forme que va prendre la membrane à l’équilibre.

• On cherche donc une fonction

u: ΩÑRdont la surface représentative est solution du problème.

Le problème physique

Mise en équations 1/3

Déformations admissibles On va introduire l’ensemble

X“ tuPC¹pΩ,Rq, t.q.u“0 surBΩu, dont voici quelques éléments

Le principe physique fondamental

La position d’équilibre adoptée par la membrane sous l’effet des forces appliquées est celle qui vaminimiser l’énergie totale. On va chercheruPXtelle que

Epuq “inf

vPXEpvq. C’est un problème d’optimisation

5

Le problème physique

Mise en équations 1/3

Déformations admissibles On va introduire l’ensemble

X“ tuPC¹pΩ,Rq, t.q.u“0 surBΩu,

Le principe physique fondamental

La position d’équilibre adoptée par la membrane sous l’effet des forces appliquées est celle qui vaminimiser l’énergie totale.

On va chercheruPXtelle que Epuq “inf

vPXEpvq. C’est un problème d’optimisation

Le problème physique

Mise en équations 2/3

X“ tuPC¹pΩ,Rq, t.q.u“0 surBΩu. Calcul de l’énergie pour unuPXdonné

Il y a deux contributions à l’énergieEpuq “E1puq `E2puq.

• Energie potentielle liée à la forcef : E₁puq:“ ´

ż

Ω

upxqfpxqdx.

• Energie élastique : E2puq:“k

ż

Ω

ˆb

1` |∇u|²´1

˙ dx, oùką0 est un coefficient de rigidité du matériau.

6

Le problème physique

Mise en équations 2/3

X“ tuPC¹pΩ,Rq, t.q.u“0 surBΩu. Calcul de l’énergie pour unuPXdonné

Epuq “k ż

Ω

ˆb

1` |∇u|²´1

˙ dx´

ż

Ω

upxqfpxqdx.

Le problème physique

Mise en équations 2/3

X“ tuPC¹pΩ,Rq, t.q.u“0 surBΩu. Calcul de l’énergie pour unuPXdonné

Epuq “kż

Ω

ˆb1` |∇u|²´1

˙ dx´

ż

Ω

upxqfpxqdx.

Hypothèse des petits déplacements

On suppose que la force exercée estpetiteet donc que le déplacementurecherché estpetit!

Conséquence a

1` |∇u|<sup>2</sup>«1`2¹|∇u|²`. . . Dorénavant on prendra l’énergie simplifiée

Epuq “ k 2 ż

Ω|∇u|²dx´ ż

Ω

upxqfpxqdx.

6

Le problème physique

Mise en équations 3/3

Résumé

X“ tuPC¹pΩ,Rq, t.q.u“0 surBΩu. On chercheuPXqui vérifie

Epuq “inf

vPXEpvq, (‹)

avecE:XÑRdéfinie par Epvq “ k

2 ż

Ω|∇v|²dx´ ż

Ω

fpxqvpxqdx.

Les questions à résoudre :

1. Le problème (‹) admet-il une solution ? 2. Si oui, cette solution est-elle unique ?

3. Si oui, peut-on la caractériser à l’aide d’une équation plus

pratique à manipuler que le problème (‹) ? ⁷

Le problème physique

Le cas monodimensionnel

Pour simplifier, regardons le même problème mais en dimension 1.

Membrane élastiqueùñCorde élastique Ωouvert deR² ùñI“s0,1rintervalle deR.

Le problème 1D

X“ tuPC¹pr0,1s,Rq, t.q.up0q “up1q “0. On chercheuPXqui vérifie

Epuq “inf

vPXEpvq, (‹)

avecE:XÑRdéfinie par Epvq “k

2 ż1

0|v¹|²dx´ ż1

0fv dx.

8

Le problème physique

Le cas monodimensionnel

Pour simplifier, regardons le même problème mais en dimension 1.

Membrane élastiqueùñCorde élastique Ωouvert deR² ùñI“s0,1rintervalle deR.

Le problème 1D

X“ tuPC¹pr0,1s,Rq, t.q.up0q “up1q “0.

On chercheuPXqui vérifie

Epuq “inf

vPXEpvq, (‹)

avecE:XÑRdéfinie par Epvq “k

2 ż1

0|v¹|²dx´ ż1

0fv dx.

Partie 3 : EDP elliptiques

1. Motivations

1.2. Premiers pas vers la résolution mathématique

Unicité

Avant même d’étudier l’existence de la solution on peut montrer Proposition

Si u₁,u₂PX vérifient Epu₁q “Epu₂q “inf

vPXEpvq, ðùon note IEcetinf, alors u1“u2.

Argument général de convexité :

• Eeststrictementconvexe

• Xest un ensemble convexe

Unicité

Avant même d’étudier l’existence de la solution on peut montrer Proposition

Si u₁,u₂PX vérifient Epu₁q “Epu₂q “inf

vPXEpvq, ðùon note IEcetinf, alors u1“u2.

Preuve :

• On poseu“^u1`u2 ² et on constate queuPX.

• On calcule Epuq “E

ˆu₁`u₂ 2

˙

“ 1

2Epu1q ` 1

2Epu2q ´k 8

ż1

0|u¹₁´u¹₂|²dx

• Par définition de l’infimum on doit avoirEpuq ěIEet donc ż1

0|u¹₁´u¹₂|²dx“0 ñ pu1´u2q¹“0 ñ u1 “u2, cond. bord !. Argument général de convexité :

• Eeststrictementconvexe

• Xest un ensemble convexe

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Unicité

Avant même d’étudier l’existence de la solution on peut montrer Proposition

Si u₁,u₂PX vérifient Epu₁q “Epu₂q “inf

vPXEpvq, ðùon note IEcetinf, alors u1“u2.

Preuve :

• On poseu“^u1`u2 ² et on constate queuPX.

• On calcule Epuq “E

ˆu₁`u₂ 2

˙

“IE´k 8

ż1

0|u¹₁´u¹₂|²dx.

• Par définition de l’infimum on doit avoirEpuq ěIEet donc ż1

0|u¹₁´u¹₂|²dx“0 ñ pu1´u2q¹“0 ñ u1 “u2, cond. bord !. Argument général de convexité :

• Eeststrictementconvexe

• Xest un ensemble convexe

Unicité

Avant même d’étudier l’existence de la solution on peut montrer Proposition

Si u₁,u₂PX vérifient Epu₁q “Epu₂q “inf

vPXEpvq, ðùon note IEcetinf, alors u1“u2.

Preuve :

• On poseu“^u1`u2 ² et on constate queuPX.

• On calcule Epuq “E

ˆu₁`u₂ 2

˙

“IE´k 8

ż1

0|u¹₁´u¹₂|²dx.

• Par définition de l’infimum on doit avoirEpuq ěIEet donc ż1

0|u¹₁´u¹₂|²dx“0 ñ pu1´u2q¹“0 ñ u1“u2, cond. bord !.

Argument général de convexité :

• Eeststrictementconvexe

• Xest un ensemble convexe

9

Unicité

Avant même d’étudier l’existence de la solution on peut montrer Proposition

Si u₁,u₂PX vérifient Epu₁q “Epu₂q “inf

vPXEpvq, ðùon note IEcetinf, alors u1“u2.

Argument général de convexité :

• Eeststrictementconvexe

• Xest un ensemble convexe

Caractérisation de la solution

On suppose encore qu’il existe une solutionuPXdu problème Epuq “inf

vPXEpvq. (‹)

Lemme (Résultat fondamental de l’analyse)

Soitϕ:RÑRune fonction dérivable et t^˚PR. On suppose que Si on a ϕpt^˚q “inf

R ϕptq, alorsϕ¹pt^˚q “0.

Ce lemme est à la base de toute l’analyse réelle ou presque :

• Lemme de Rolle

• Théorème des accroissements finis

• Formules de Taylor. Développements limités.

• Interpolation de Lagrange

• etc ...

10

Caractérisation de la solution

On suppose encore qu’il existe une solutionuPXdu problème Epuq “inf

vPXEpvq. (‹)

Lemme (Résultat fondamental de l’analyse)

Soitϕ:RÑRune fonction dérivable et t^˚PR. On suppose que Si on a ϕpt^˚q “inf

R ϕptq, alorsϕ¹pt^˚q “0.

Preuve :

• On prendhą0 et on écrit

ϕpt^˚`hq ´ϕpt^˚q ě0,

• On prendhă0 et on écrit

Caractérisation de la solution

On suppose encore qu’il existe une solutionuPXdu problème Epuq “inf

vPXEpvq. (‹)

Lemme (Résultat fondamental de l’analyse)

Soitϕ:RÑRune fonction dérivable et t^˚PR. On suppose que Si on a ϕpt^˚q “inf

R ϕptq, alorsϕ¹pt^˚q “0.

Preuve :

• On prendhą0 et on écrit

ϕpt^˚`hq ´ϕpt^˚q

h ě0,

• On prendhă0 et on écrit

10

Caractérisation de la solution

On suppose encore qu’il existe une solutionuPXdu problème Epuq “inf

vPXEpvq. (‹)

Lemme (Résultat fondamental de l’analyse)

Soitϕ:RÑRune fonction dérivable et t^˚PR. On suppose que Si on a ϕpt^˚q “inf

R ϕptq, alorsϕ¹pt^˚q “0.

Preuve :

• On prendhą0 et on écrit ϕ¹pt^˚q “ lim

hÑ0^`

ϕpt^˚`hq ´ϕpt^˚q

h ě0,

• On prendhă0 et on écrit

Caractérisation de la solution

On suppose encore qu’il existe une solutionuPXdu problème Epuq “inf

vPXEpvq. (‹)

Lemme (Résultat fondamental de l’analyse)

Soitϕ:RÑRune fonction dérivable et t^˚PR. On suppose que Si on a ϕpt^˚q “inf

R ϕptq, alorsϕ¹pt^˚q “0.

Preuve :

• On prendhą0 et on écrit ϕ¹pt^˚q “ lim

hÑ0^`

ϕpt^˚`hq ´ϕpt^˚q

h ě0,

• On prendhă0 et on écrit

ϕpt^˚`hq ´ϕpt^˚q ě0,

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Caractérisation de la solution

On suppose encore qu’il existe une solutionuPXdu problème Epuq “inf

vPXEpvq. (‹)

Lemme (Résultat fondamental de l’analyse)

Soitϕ:RÑRune fonction dérivable et t^˚PR. On suppose que Si on a ϕpt^˚q “inf

R ϕptq, alorsϕ¹pt^˚q “0.

Preuve :

• On prendhą0 et on écrit ϕ¹pt^˚q “ lim

hÑ0^`

ϕpt^˚`hq ´ϕpt^˚q

h ě0,

• On prendhă0 et on écrit

ϕpt^˚`hq ´ϕpt^˚q

h ď0,

Caractérisation de la solution

On suppose encore qu’il existe une solutionuPXdu problème Epuq “inf

vPXEpvq. (‹)

Lemme (Résultat fondamental de l’analyse)

Soitϕ:RÑRune fonction dérivable et t^˚PR. On suppose que Si on a ϕpt^˚q “inf

R ϕptq, alorsϕ¹pt^˚q “0.

Preuve :

• On prendhą0 et on écrit ϕ¹pt^˚q “ lim

hÑ0^`

ϕpt^˚`hq ´ϕpt^˚q

h ě0,

• On prendhă0 et on écrit ϕ¹pt^˚q “ lim

hÑ0^´

ϕpt^˚`hq ´ϕpt^˚q

h ď0,

10

Caractérisation de la solution

On suppose encore qu’il existe une solutionuPXdu problème Epuq “inf

vPXEpvq. (‹)

Lemme (Résultat fondamental de l’analyse)

Soitϕ:RÑRune fonction dérivable et t^˚PR. On suppose que Si on a ϕpt^˚q “inf

R ϕptq, alorsϕ¹pt^˚q “0.

Proposition (Equations d’Euler-Lagrange) Si uPX vérifie(‹), alors on a

kż1 0

u¹pxqv¹pxq ´ ż1

0

fpxqvpxqdx“0, @vPX. (‹‹)

Preuve :On fixevPX.

On posetÞÑϕptq “Epu`tvqet on applique le lemme àt^˚“0. ¹⁰

Caractérisation de la solution

On suppose encore qu’il existe une solutionuPXdu problème Epuq “inf

vPXEpvq. (‹)

Lemme (Résultat fondamental de l’analyse)

Soitϕ:RÑRune fonction dérivable et t^˚PR. On suppose que Si on a ϕpt^˚q “inf

R ϕptq, alorsϕ¹pt^˚q “0.

Proposition (Equations d’Euler-Lagrange) Si uPX vérifie(‹), alors on a

kż1 0

u¹pxqv¹pxq ´ ż1

0

fpxqvpxqdx“0, @vPX. (‹‹)

Dans ce cas particulier, on peut vérifier que la réciproque est vraie : uPXvérifiep‹‹q ùñuvérifiep‹q. ¹⁰

Caractérisation de la solution

Proposition (Equations d’Euler-Lagrange) Si uPX vérifie(‹), alors on a

k ż1

0

u¹pxqv¹pxq ´ ż1

0

fpxqvpxqdx“0, @vPX. (‹‹)

Théorème

Si uPX vérifie(‹‹)et que de plus uPC²pr0,1sq, alors on a

# ´ku²pxq “fpxq, pour tout xPs0,1r,

up0q “up1q “0. (‹ ‹ ‹) La réciproque est vraie.

Caractérisation de la solution

Proposition (Equations d’Euler-Lagrange) Si uPX vérifie(‹), alors on a

k ż1

0

u¹pxqv¹pxq ´ ż1

0

fpxqvpxqdx“0, @vPX. (‹‹)

Théorème

Si uPX vérifie(‹‹)et que de plus uPC²pr0,1sq, alors on a

# ´ku²pxq “fpxq, pour tout xPs0,1r,

up0q “up1q “0. (‹ ‹ ‹) La réciproque est vraie.

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Caractérisation de la solution

Proposition (Equations d’Euler-Lagrange) Si uPX vérifie(‹), alors on a

k ż1

0

u¹pxqv¹pxq ´ ż1

0

fpxqvpxqdx“0, @vPX. (‹‹)

Théorème

Si uPX vérifie(‹‹)et que de plus uPC²pr0,1sq, alors on a

# ´ku²pxq “fpxq, pour tout xPs0,1r,

up0q “up1q “0. (‹ ‹ ‹) La réciproque est vraie.

Vocabulaire :(‹ ‹ ‹) est appelé un problème aux limites

= 1 EDP + des conditions au bord (ou aux limites)

Résumé

Epuq “inf

vPXEpvq, (‹)

kż1 0

u¹pxqv¹pxq ´ ż1

0

fpxqvpxqdx“0, @vPX, (‹‹)

# ´ku²pxq “fpxq, pour toutxPs0,1r,

up0q “up1q “0. (‹ ‹ ‹) Relations

p‹q ñ p‹‹q, et p‹‹q ñ p‹q, p‹‹qðùùùñ p‹ ‹ ‹q^siuPC2

• p‹‹qsont les équations d’Euler-Lagrange associées au problème d’optimisationp‹q.

• p‹‹qest une formulation variationnelle associée au problème

aux limitesp‹ ‹ ‹q. ₁₂

Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?

Stratégie en 4 étapes

1. On démontre que I_E :“inf

vPXEpvq ą ´8.

2. On prend une suite minimisantepu_nqⁿĂX pour cet infimum, c’est-à-dire une suite qui vérifie

nÑ8lim Epu_nq “I_E.

3. On essaie de montrer que cette suite (ou une sous-suite) converge en un certain sens vers une limiteuPX.

4. On essaie de montrer queEsatisfait une propriété de continuité pour établir queEpunq ÝÝÝÑ_nÑ8 Epuq.

Conclusion

On aura bien résolu le problème Epuq “ lim

nÑ8Epunq “IE “inf

vPXEpvq.

Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?

Stratégie en 4 étapes

1. On démontre que I_E :“inf

vPXEpvq ą ´8.

2. On prend une suite minimisantepu_nqⁿĂXpour cet infimum, c’est-à-dire une suite qui vérifie

nÑ8lim Epu_nq “I_E.

Remarque

Une telle suite existe toujours !

Sans hypothèse surEetXautre que la finitude de l’infimum.

3. On essaie de montrer que cette suite (ou une sous-suite) converge en un certain sens vers une limiteuPX.

4. On essaie de montrer queEsatisfait une propriété de continuité pour établir queEpu_nq ÝÝÝÑ_nÑ8 Epuq.

Conclusion

On aura bien résolu le problème Epuq “ lim

nÑ8Epunq “IE “inf

vPXEpvq.

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Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?

Stratégie en 4 étapes

1. On démontre que I_E :“inf

vPXEpvq ą ´8.

2. On prend une suite minimisantepu_nqⁿĂXpour cet infimum, c’est-à-dire une suite qui vérifie

nÑ8lim Epu_nq “I_E.

3. On essaie de montrer que cette suite (ou une sous-suite) converge en un certain sens vers une limiteuPX.

4. On essaie de montrer queEsatisfait une propriété de continuité pour établir queEpunq ÝÝÝÑ_nÑ8 Epuq.

Conclusion

On aura bien résolu le problème Epuq “ lim

nÑ8Epunq “IE “inf

vPXEpvq.

Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?

Stratégie en 4 étapes

1. On démontre que I_E :“inf

vPXEpvq ą ´8.

2. On prend une suite minimisantepu_nqⁿĂXpour cet infimum, c’est-à-dire une suite qui vérifie

nÑ8lim Epu_nq “I_E.

3. On essaie de montrer que cette suite (ou une sous-suite) converge en un certain sens vers une limiteuPX.

4. On essaie de montrer queEsatisfait une propriété de continuité pour établir queEpunq ÝÝÝÑ_nÑ8 Epuq.

Conclusion

On aura bien résolu le problème Epuq “ lim

nÑ8Epunq “IE “inf

vPXEpvq.

13

Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?

Etape 1

Rappels : X“ tvPC¹pr0,1s,Rq, vp0q “vp1qu, Epvq “k

2 ż1

0|v¹|²dx´ ż1

0

fv dx.

Proposition

On a la propriété : infvPXEpvq ě ´^}f}2k^2L1. Analysons la définition deE :Nous avons

• Un « gentil » terme (le premier) qui est toujours positif,

• Un terme qui n’a pas de signe (le second).

Morale :Le premier terme va prendre le dessus sur le second car il estquadratiquealors que le second est seulementlinéaire : pour v« grand », le premier terme va dominer le second.

Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?

Etape 1

Rappels : X“ tvPC¹pr0,1s,Rq, vp0q “vp1qu, Epvq “k

2 ż1

0|v¹|²dx´ ż1

0

fv dx.

Proposition

On a la propriété : infvPXEpvq ě ´^}f}2k^2L1. Lemme

Pour tout vPX, on a}v}^L8 ď }v¹}L².

Preuve de la proposition :Pour toutvPX, on a ˇ

ˇ ˇ ˇ ˇ

ż1 0

fv dx ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

ď }f}L¹}v}^L8Lem.ď }f}L¹}v¹}L² Young

ď 1

2k²}f}²L¹`k 2}v<sup>1</sup>}<sup>2</sup>L<sup>2</sup>. Inégalité de Young :pour touta,bPR,εą0 :abď2<sup>ε</sup>a<sup>2</sup>`2ε¹ b²

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Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?

Etape 1

Rappels : X“ tvPC¹pr0,1s,Rq, vp0q “vp1qu, Epvq “k

2 ż1

0|v¹|²dx´ ż1

0

fv dx.

Proposition

On a la propriété : infvPXEpvq ě ´^}f}2k^2L1. Lemme

Pour tout vPX, on a}v}^L8 ď }v¹}L².

Preuve du Lemme :Pour toutvPX, etxP r0,1s, on peut écrire

|vpxq| “ ˇ ˇ ˇ ˇ

vp0q ljhn

“0

` żx

0

v¹ptqdt ˇ ˇ ˇ ˇď

ż1

0|v¹ptq|dt^C.´S.ď }v¹}L².

Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?

Etape 2

Il existe (toujours) une suite minimisante !

• CommeI_E ą ´8, pour toutně1, le nombre I_E` 1

n

n’est pas un minorant de l’ensemble des valeurs deEsurX. Rappel :La borne inférieure est le plus grand des minorants !

• Comme ce n’est pas un minorant, il existe au moins un élément deX(notéu_n) tel que

I_EďEpu_nq ďI_E` 1 n.

• Par le théorème des gendarmes on a bien Epu_nq ÝÝÝÑ_nÑ8 I_E. Remarque

Pas besoin de topologie surXni de propriétés deE.

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Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?

Etape 2

Il existe (toujours) une suite minimisante !

• CommeI_E ą ´8, pour toutně1, le nombre I_E` 1

n

n’est pas un minorant de l’ensemble des valeurs deEsurX. Rappel :La borne inférieure est le plus grand des minorants !

• Comme ce n’est pas un minorant, il existe au moins un élément deX(notéu_n) tel que

I_EďEpu_nq ďI_E` 1 n.

• Par le théorème des gendarmes on a bien Epu_nq ÝÝÝÑ_nÑ8 I_E. Remarque

Pas besoin de topologie surXni de propriétés deE.

Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?

Etape 2

Il existe (toujours) une suite minimisante !

• CommeI_E ą ´8, pour toutně1, le nombre I_E` 1

n

n’est pas un minorant de l’ensemble des valeurs deEsurX. Rappel :La borne inférieure est le plus grand des minorants !

• Comme ce n’est pas un minorant, il existe au moins un élément deX(notéu_n) tel que

I_EďEpu_nq ďI_E` 1 n.

• Par le théorème des gendarmes on a bien Epu_nq ÝÝÝÑ_nÑ8 I_E. Remarque

Pas besoin de topologie surXni de propriétés deE.

15

Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?

Etape 3

Rappels : X“ tvPC¹pr0,1s,Rq, vp0q “vp1qu, Epvq “k

2 ż1

0|v¹|²dx´ ż1

0

fv dx.

Objectif

Montrer quepunqⁿ, ou une de ses sous-suites, converge en un certain sens.

Difficulté :la seule information dont on dispose suru_nc’est Epunq ÝÝÝÑ_nÑ8 IE.

Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?

Etape 3

Rappels : X“ tvPC¹pr0,1s,Rq, vp0q “vp1qu, Epvq “k

2 ż1

0|v¹|²dx´ ż1

0

fv dx.

Objectif

Montrer quepunqⁿ, ou une de ses sous-suites, converge en un certain sens.

Difficulté :la seule information dont on dispose suru_nc’est Epu_nq ÝÝÝÑ_nÑ8 I_E.

Une question plus simple

Est-ce que la suitepunqⁿest bornée ?

La réponse dépend de la norme qu’on prend surX !

• Norme usuelle surX : }v}C¹ “ }v}L⁸` }v¹}L⁸

Problème :Il existe des suitespvnqⁿtelles quepEpvnqqⁿest bornée dansRmais}v_n}C¹ n’est pas bornée !

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Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?

Etape 3

Rappels : X“ tvPC¹pr0,1s,Rq, vp0q “vp1qu, Epvq “k

2 ż1

0|v¹|²dx´ ż1

0

fv dx.

Objectif

Montrer quepunqⁿ, ou une de ses sous-suites, converge en un certain sens.

Difficulté :la seule information dont on dispose suru_nc’est Epu_nq ÝÝÝÑ_nÑ8 I_E.

Une question plus simple

Est-ce que la suitepunqⁿest bornée ?

La réponse dépend de la norme qu’on prend surX !

• Norme usuelle surX : }v}C¹ “ }v}L⁸` }v¹}L⁸

Problème :Il existe des suitespvnqⁿtelles quepEpvnqqⁿest

bornée dansRmais}v_n} ¹ n’est pas bornée ! ¹⁶

Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?

Etape 3

Rappels : X“ tvPC¹pr0,1s,Rq, vp0q “vp1qu, Epvq “k

2 ż1

0|v¹|²dx´ ż1

0

fv dx.

Objectif

Montrer quepunqⁿ, ou une de ses sous-suites, converge en un certain sens.

Difficulté :la seule information dont on dispose suru_nc’est Epu_nq ÝÝÝÑ_nÑ8 I_E.

Une question plus simple

Est-ce que la suitepunqⁿest bornée ?

La réponse dépend de la norme qu’on prend surX !

• Norme surXadaptée au problème : }v}²_H1 :“ }v}²_L2` }v¹}²_L2

C’est gagné !Toute suite vérifiantpEpvnqqⁿest bornée dansR, vérifiepv_nqⁿest bornée danspX,}.}H¹q. ¹⁶

Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?

Etape 3

Rappels : X“ tvPC¹pr0,1s,Rq, vp0q “vp1qu, Epvq “k

2 ż1

0|v¹|²dx´ ż1

0

fv dx.

Objectif

Montrer quepunqⁿ, ou une de ses sous-suites, converge en un certain sens.

Difficulté :la seule information dont on dispose suru_nc’est Epu_nq ÝÝÝÑ_nÑ8 I_E.

Proposition

La suite minimisantepunqⁿpourp‹qest de Cauchy danspX,}.}H¹q. Preuve Rappel :}v}²H¹ “ }v}²L² ` }v¹}²L².

k 8

ż1

|u¹_n´u¹<sub>n`p</sub>|<sup>2</sup>dx“Epunq `Epun`pq

2 ´E

ˆun`un`p

2

˙

. ₁₆

Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?

Etape 3

Rappels : X“ tvPC¹pr0,1s,Rq, vp0q “vp1qu, Epvq “k

2 ż1

0|v¹|²dx´ ż1

0

fv dx.

Objectif

Montrer quepunqⁿ, ou une de ses sous-suites, converge en un certain sens.

Difficulté :la seule information dont on dispose suru_nc’est Epu_nq ÝÝÝÑ_nÑ8 I_E.

Proposition

La suite minimisantepunqⁿpourp‹qest de Cauchy danspX,}.}H¹q. Preuve Rappel :}v}²H¹ “ }v}²L² ` }v¹}²L².

k 8

ż1

0|u¹_n´u¹<sub>n`p</sub>|<sup>2</sup>dxď Epunq `Epun`pq

2 ´IE. ₁₆

Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?

Etape 3

Rappels : X“ tvPC¹pr0,1s,Rq, vp0q “vp1qu, Epvq “k

2 ż1

0|v¹|²dx´ ż1

0

fv dx.

Objectif

Montrer quepunqⁿ, ou une de ses sous-suites, converge en un certain sens.

Difficulté :la seule information dont on dispose suru_nc’est Epu_nq ÝÝÝÑ_nÑ8 I_E.

Proposition

La suite minimisantepunqⁿpourp‹qest de Cauchy danspX,}.}H¹q. Preuve Rappel :}v}²H¹ “ }v}²L²` }v¹}²L².

}u_n´u_{n`p</sub>}L<sup>2</sup> ď }u<sub>n</sub>´u<sub>n`p}}^L8 ď

}u¹_n´u¹_n`p}L² ÝÝÝÑ_nÑ8 0, unif. enp.

Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?

Etape 3

Rappels : X“ tvPC¹pr0,1s,Rq, vp0q “vp1qu, Epvq “k

2 ż1

0|v¹|²dx´ ż1

0

fv dx.

Objectif

Montrer quepunqⁿ, ou une de ses sous-suites, converge en un certain sens.

Difficulté :la seule information dont on dispose suru_nc’est Epu_nq ÝÝÝÑ_nÑ8 I_E.

Proposition

La suite minimisantepunqⁿpourp‹qest de Cauchy danspX,}.}H¹q. Preuve Rappel :}v}²H¹ “ }v}²L²` }v¹}²L².

}u_n´u_n`p}L² ď

}u_n´u_{n`p</sub>}<sup>L8</sup>ď }u<sup>1</sup><sub>n</sub>´u<sup>1</sup><sub>n`p}}L² ÝÝÝÑ_nÑ8 0, unif. enp.

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Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?

Etape 3

Rappels : X“ tvPC¹pr0,1s,Rq, vp0q “vp1qu, Epvq “k

2 ż1

0|v¹|²dx´ ż1

0

fv dx.

Objectif

Montrer quepunqⁿ, ou une de ses sous-suites, converge en un certain sens.

Difficulté :la seule information dont on dispose suru_nc’est Epu_nq ÝÝÝÑ_nÑ8 I_E.

Proposition

La suite minimisantepunqⁿpourp‹qest de Cauchy danspX,}.}H¹q. Preuve Rappel :}v}²H¹ “ }v}²L²` }v¹}²L².

}u_n´u_{n`p</sub>}L<sup>2</sup> ď }u<sub>n</sub>´u<sub>n`p}}^L8ď }u¹_n´u¹_n`p}L² ÝÝÝÑ_nÑ8 0, unif. enp.

Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?

Etape 3

Rappels : X“ tvPC¹pr0,1s,Rq, vp0q “vp1qu, Epvq “k

2 ż1

0|v¹|²dx´ ż1

0

fv dx.

Objectif

Montrer quepunqⁿ, ou une de ses sous-suites, converge en un certain sens.

Difficulté :la seule information dont on dispose suru_nc’est Epu_nq ÝÝÝÑ_nÑ8 I_E.

Proposition

La suite minimisantepunqⁿpourp‹qest de Cauchy danspX,}.}H¹q. Preuve Rappel :}v}²H¹ “ }v}²L²` }v¹}²L².

}u_n´u_{n`p</sub>}L<sup>2</sup> ď }u<sub>n</sub>´u<sub>n`p}}^L8ď}u¹_n´u¹_n`p}L² ÝÝÝÑ_nÑ8 0, unif. enp.

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Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?

Etape 3

Rappels : X“ tvPC¹pr0,1s,Rq, vp0q “vp1qu, Epvq “k

2 ż1

0|v¹|²dx´ ż1

0

fv dx.

Objectif

Montrer quepunqⁿ, ou une de ses sous-suites, converge en un certain sens.

Difficulté :la seule information dont on dispose suru_nc’est Epu_nq ÝÝÝÑ_nÑ8 I_E.

Proposition

La suite minimisantepunqⁿpourp‹qest de Cauchy danspX,}.}H¹q. Problème

L’espacepX,}.}H¹qn’est pas complet !

FIN DE LA SéANCE 10

Partie 3 : EDP elliptiques

2. Espaces de Sobolev en dimension 1

Partie 3 : EDP elliptiques

2. Espaces de Sobolev en dimension 1

2.1. L’espace H

pIq

L’espace de Sobolev H

pIq

Définition

SoitI“sa,brun intervalle ouvertbornédeR. Définition

On appelleespace de SobolevH¹pIq, l’ensemble des fonctions u de L²pIqdont la dérivée au sens des distrib. est une fonction de L²pIq.

L’espace de Sobolev H

pIq

Définition

SoitI“sa,brun intervalle ouvertbornédeR. Définition

On appelleespace de SobolevH¹pIq, l’ensemble des fonctions u de L²pIqdont la dérivée au sens des distrib. est une fonction de L²pIq. Explication / Interprétation

Une fonctionuPL²pIqest dansH¹pIqsi et seulement siil existe gPL²pIqtelle que

żb a

upxqϕ¹pxqdx“ ´ żb

a

gpxqϕpxqdx, @ϕPC_c⁸pIq.

Cette fonctiongest nécessairement unique. On la noteB^xuouu¹. On peut donc définirH¹pIqsans utiliser les distributions !

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L’espace de Sobolev H

pIq

Définition

SoitI“sa,brun intervalle ouvertbornédeR. Définition

On appelleespace de SobolevH¹pIq, l’ensemble des fonctions u de L²pIqdont la dérivée au sens des distrib. est une fonction de L²pIq. Définition

On munit l’espace vectoriel H¹pIqdu produit scalaire pu,vqH¹ :“ pu,vqL²` pB^xu,B^xvqL² “

ż

Ipu v` B^xuB^xvqdx, et de la norme associée}u}H¹:“b

}u}²_L2` }B^xu}²_L2.

´u_nÝÝÝÑ_nÑ8 udansH¹pIq¯ ðñ

¨

˝

unÝÝÝÑ_nÑ8 udansL²pIq B^xunÝÝÝÑ_nÑ8 B^xudansL²pIq

˛

‚

L’espace de Sobolev H

pIq

Définition

SoitI“sa,brun intervalle ouvertbornédeR. Définition

On appelleespace de SobolevH¹pIq, l’ensemble des fonctions u de L²pIqdont la dérivée au sens des distrib. est une fonction de L²pIq. Commentaires

• La lettreHvient du fait que, comme on va le voir, ces espaces sont des Hilbert.

• L’exposant 1 renvoie au nombre de dérivées.

On peut, en effet, définirH^kpIqpour toutkě1 comme par exemple

H²pIq:“ tuPL²pIq, tel queB^xu,B²xuPL²pIqu.

• Par extension, certains auteurs posentH⁰pIq:“L²pIq.

18

L’espace de Sobolev H

pIq

Lien avec les espaces usuels 1/3

Proposition

On a l’inclusiontopologique

C¹p¯Iq ĂH¹pIq. (‹)

Cela signifie que, dansC¹p¯Iqla notion de dérivée faible coïncide avec la notion de dérivée usuelle et que l’inclusion(‹)est continue au sens suivant

}u}H¹ďa

2|I| }u}C¹, @uPC¹p¯Iq. Concrètement :

ˆ

u_nÝÝÝÑ_nÑ8 udansC¹p¯Iq

˙ ùñ

ˆ

u_nÝÝÝÑ_nÑ8 udansH¹pIq

˙

L’espace de Sobolev H

pIq

Lien avec les espaces usuels 1/3

Proposition

On a l’inclusiontopologique

C¹p¯Iq ĂH¹pIq. (‹) Cela signifie que, dansC¹p¯Iqla notion de dérivée faible coïncide avec la notion de dérivée usuelle et que l’inclusion(‹)est continue au sens suivant

}u}H¹ ďa

2|I| }u}C¹, @uPC¹p¯Iq. Rappel :

}u}C⁰p¯Iq:“ }u}^L8pIq, }u}C¹p¯Iq:“ }u}^L8pIq` }B^xu}^L8pIq.

Concrètement : ˆ

u_nÝÝÝÑ_nÑ8 udansC¹p¯Iq

˙ ùñ

ˆ

u_nÝÝÝÑ_nÑ8 udansH¹pIq

˙

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L’espace de Sobolev H

pIq

Lien avec les espaces usuels 1/3

Proposition

On a l’inclusiontopologique

C¹p¯Iq ĂH¹pIq. (‹) Cela signifie que, dansC¹p¯Iqla notion de dérivée faible coïncide avec la notion de dérivée usuelle et que l’inclusion(‹)est continue au sens suivant

}u}H¹ ďa

2|I| }u}C¹, @uPC¹p¯Iq. Preuve

• Intégration par parties !

SiuestC¹alors sa dérivée au sens des distributions est la dérivée au sens usuel ...

• }f}L²pIqďa

|I|}f}^L8.

Concrètement : ˆ

unÝÝÝÑ_nÑ8 udansC¹p¯Iq

˙ ùñ

ˆ

unÝÝÝÑ_nÑ8 udansH¹pIq

˙

L’espace de Sobolev H

pIq

Lien avec les espaces usuels 1/3

Proposition

On a l’inclusiontopologique

C¹p¯Iq ĂH¹pIq. (‹) Cela signifie que, dansC¹p¯Iqla notion de dérivée faible coïncide avec la notion de dérivée usuelle et que l’inclusion(‹)est continue au sens suivant

}u}H¹ ďa

2|I| }u}C¹, @uPC¹p¯Iq. Concrètement :

ˆ

u_nÝÝÝÑ_nÑ8 udansC¹p¯Iq

˙ ùñ

ˆ

u_nÝÝÝÑ_nÑ8 udansH¹pIq

˙

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