Stratégie en 4 étapes
1. On démontre que IE :“inf
vPXEpvq ą ´8.
2. On prend une suite minimisantepunqnĂX pour cet infimum, c’est-à-dire une suite qui vérifie
nÑ8lim Epunq “IE.
3. On essaie de montrer que cette suite (ou une sous-suite) converge en un certain sens vers une limiteuPX.
4. On essaie de montrer queEsatisfait une propriété de continuité pour établir queEpunq ÝÝÝÑnÑ8 Epuq.
Conclusion
On aura bien résolu le problème Epuq “ lim
nÑ8Epunq “IE “inf
vPXEpvq.
Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?
Stratégie en 4 étapes
1. On démontre que IE :“inf
vPXEpvq ą ´8.
2. On prend une suite minimisantepunqnĂXpour cet infimum, c’est-à-dire une suite qui vérifie
nÑ8lim Epunq “IE.
Remarque
Une telle suite existe toujours !
Sans hypothèse surEetXautre que la finitude de l’infimum.
3. On essaie de montrer que cette suite (ou une sous-suite) converge en un certain sens vers une limiteuPX.
4. On essaie de montrer queEsatisfait une propriété de continuité pour établir queEpunq ÝÝÝÑnÑ8 Epuq.
Conclusion
On aura bien résolu le problème Epuq “ lim
nÑ8Epunq “IE “inf
vPXEpvq.
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Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?
Stratégie en 4 étapes
1. On démontre que IE :“inf
vPXEpvq ą ´8.
2. On prend une suite minimisantepunqnĂXpour cet infimum, c’est-à-dire une suite qui vérifie
nÑ8lim Epunq “IE.
3. On essaie de montrer que cette suite (ou une sous-suite) converge en un certain sens vers une limiteuPX.
4. On essaie de montrer queEsatisfait une propriété de continuité pour établir queEpunq ÝÝÝÑnÑ8 Epuq.
Conclusion
On aura bien résolu le problème Epuq “ lim
nÑ8Epunq “IE “inf
vPXEpvq.
Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?
Stratégie en 4 étapes
1. On démontre que IE :“inf
vPXEpvq ą ´8.
2. On prend une suite minimisantepunqnĂXpour cet infimum, c’est-à-dire une suite qui vérifie
nÑ8lim Epunq “IE.
3. On essaie de montrer que cette suite (ou une sous-suite) converge en un certain sens vers une limiteuPX.
4. On essaie de montrer queEsatisfait une propriété de continuité pour établir queEpunq ÝÝÝÑnÑ8 Epuq.
Conclusion
On aura bien résolu le problème Epuq “ lim
nÑ8Epunq “IE “inf
vPXEpvq.
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Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?
Etape 1
Rappels : X“ tvPC1pr0,1s,Rq, vp0q “vp1qu, Epvq “k
2 ż1
0|v1|2dx´ ż1
0
fv dx.
Proposition
On a la propriété : infvPXEpvq ě ´}f}2k2L1. Analysons la définition deE :Nous avons
• Un « gentil » terme (le premier) qui est toujours positif,
• Un terme qui n’a pas de signe (le second).
Morale :Le premier terme va prendre le dessus sur le second car il estquadratiquealors que le second est seulementlinéaire : pour v« grand », le premier terme va dominer le second.
Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?
Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?
Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?
Etape 2
Il existe (toujours) une suite minimisante !
• CommeIE ą ´8, pour toutně1, le nombre IE` 1
n
n’est pas un minorant de l’ensemble des valeurs deEsurX. Rappel :La borne inférieure est le plus grand des minorants !
• Comme ce n’est pas un minorant, il existe au moins un élément deX(notéun) tel que
IEďEpunq ďIE` 1 n.
• Par le théorème des gendarmes on a bien Epunq ÝÝÝÑnÑ8 IE. Remarque
Pas besoin de topologie surXni de propriétés deE.
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Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?
Etape 2
Il existe (toujours) une suite minimisante !
• CommeIE ą ´8, pour toutně1, le nombre IE` 1
n
n’est pas un minorant de l’ensemble des valeurs deEsurX. Rappel :La borne inférieure est le plus grand des minorants !
• Comme ce n’est pas un minorant, il existe au moins un élément deX(notéun) tel que
IEďEpunq ďIE` 1 n.
• Par le théorème des gendarmes on a bien Epunq ÝÝÝÑnÑ8 IE. Remarque
Pas besoin de topologie surXni de propriétés deE.
Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?
Etape 2
Il existe (toujours) une suite minimisante !
• CommeIE ą ´8, pour toutně1, le nombre IE` 1
n
n’est pas un minorant de l’ensemble des valeurs deEsurX. Rappel :La borne inférieure est le plus grand des minorants !
• Comme ce n’est pas un minorant, il existe au moins un élément deX(notéun) tel que
IEďEpunq ďIE` 1 n.
• Par le théorème des gendarmes on a bien Epunq ÝÝÝÑnÑ8 IE. Remarque
Pas besoin de topologie surXni de propriétés deE.
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Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?
Etape 3
Rappels : X“ tvPC1pr0,1s,Rq, vp0q “vp1qu, Epvq “k
2 ż1
0|v1|2dx´ ż1
0
fv dx.
Objectif
Montrer quepunqn, ou une de ses sous-suites, converge en un certain sens.
Difficulté :la seule information dont on dispose surunc’est Epunq ÝÝÝÑnÑ8 IE.
Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?
Difficulté :la seule information dont on dispose surunc’est Epunq ÝÝÝÑnÑ8 IE.
Une question plus simple
Est-ce que la suitepunqnest bornée ?
La réponse dépend de la norme qu’on prend surX !
• Norme usuelle surX : }v}C1 “ }v}L8` }v1}L8
Problème :Il existe des suitespvnqntelles quepEpvnqqnest bornée dansRmais}vn}C1 n’est pas bornée !
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Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?
Etape 3
Rappels : X“ tvPC1pr0,1s,Rq, vp0q “vp1qu, Epvq “k
2 ż1
0|v1|2dx´ ż1
0
fv dx.
Objectif
Montrer quepunqn, ou une de ses sous-suites, converge en un certain sens.
Difficulté :la seule information dont on dispose surunc’est Epunq ÝÝÝÑnÑ8 IE.
Une question plus simple
Est-ce que la suitepunqnest bornée ?
La réponse dépend de la norme qu’on prend surX !
• Norme usuelle surX : }v}C1 “ }v}L8` }v1}L8
Problème :Il existe des suitespvnqntelles quepEpvnqqnest
bornée dansRmais}vn} 1 n’est pas bornée ! 16
Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?
Etape 3
Rappels : X“ tvPC1pr0,1s,Rq, vp0q “vp1qu, Epvq “k
2 ż1
0|v1|2dx´ ż1
0
fv dx.
Objectif
Montrer quepunqn, ou une de ses sous-suites, converge en un certain sens.
Difficulté :la seule information dont on dispose surunc’est Epunq ÝÝÝÑnÑ8 IE.
Une question plus simple
Est-ce que la suitepunqnest bornée ?
La réponse dépend de la norme qu’on prend surX !
• Norme surXadaptée au problème : }v}2H1 :“ }v}2L2` }v1}2L2
C’est gagné !Toute suite vérifiantpEpvnqqnest bornée dansR, vérifiepvnqnest bornée danspX,}.}H1q. 16
Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?
Difficulté :la seule information dont on dispose surunc’est Epunq ÝÝÝÑnÑ8 IE.
Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?
Difficulté :la seule information dont on dispose surunc’est Epunq ÝÝÝÑnÑ8 IE.
Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?
Etape 3
Rappels : X“ tvPC1pr0,1s,Rq, vp0q “vp1qu, Epvq “k
2 ż1
0|v1|2dx´ ż1
0
fv dx.
Objectif
Montrer quepunqn, ou une de ses sous-suites, converge en un certain sens.
Difficulté :la seule information dont on dispose surunc’est Epunq ÝÝÝÑnÑ8 IE.
Proposition
La suite minimisantepunqnpourp‹qest de Cauchy danspX,}.}H1q. Preuve Rappel :}v}2H1 “ }v}2L2` }v1}2L2.
}un´un`p}L2 ď }un´un`p}L8 ď
}u1n´u1n`p}L2 ÝÝÝÑnÑ8 0, unif. enp.
Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?
Etape 3
Rappels : X“ tvPC1pr0,1s,Rq, vp0q “vp1qu, Epvq “k
2 ż1
0|v1|2dx´ ż1
0
fv dx.
Objectif
Montrer quepunqn, ou une de ses sous-suites, converge en un certain sens.
Difficulté :la seule information dont on dispose surunc’est Epunq ÝÝÝÑnÑ8 IE.
Proposition
La suite minimisantepunqnpourp‹qest de Cauchy danspX,}.}H1q. Preuve Rappel :}v}2H1 “ }v}2L2` }v1}2L2.
}un´un`p}L2 ď
}un´un`p}L8ď }u1n´u1n`p}L2 ÝÝÝÑnÑ8 0, unif. enp.
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Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?
Etape 3
Rappels : X“ tvPC1pr0,1s,Rq, vp0q “vp1qu, Epvq “k
2 ż1
0|v1|2dx´ ż1
0
fv dx.
Objectif
Montrer quepunqn, ou une de ses sous-suites, converge en un certain sens.
Difficulté :la seule information dont on dispose surunc’est Epunq ÝÝÝÑnÑ8 IE.
Proposition
La suite minimisantepunqnpourp‹qest de Cauchy danspX,}.}H1q. Preuve Rappel :}v}2H1 “ }v}2L2` }v1}2L2.
}un´un`p}L2 ď }un´un`p}L8ď }u1n´u1n`p}L2 ÝÝÝÑnÑ8 0, unif. enp.
Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?
Etape 3
Rappels : X“ tvPC1pr0,1s,Rq, vp0q “vp1qu, Epvq “k
2 ż1
0|v1|2dx´ ż1
0
fv dx.
Objectif
Montrer quepunqn, ou une de ses sous-suites, converge en un certain sens.
Difficulté :la seule information dont on dispose surunc’est Epunq ÝÝÝÑnÑ8 IE.
Proposition
La suite minimisantepunqnpourp‹qest de Cauchy danspX,}.}H1q. Preuve Rappel :}v}2H1 “ }v}2L2` }v1}2L2.
}un´un`p}L2 ď }un´un`p}L8ď}u1n´u1n`p}L2 ÝÝÝÑnÑ8 0, unif. enp.
16
Comment montrer l’existence d’un minimiseur ?
Etape 3
Rappels : X“ tvPC1pr0,1s,Rq, vp0q “vp1qu, Epvq “k
2 ż1
0|v1|2dx´ ż1
0
fv dx.
Objectif
Montrer quepunqn, ou une de ses sous-suites, converge en un certain sens.
Difficulté :la seule information dont on dispose surunc’est Epunq ÝÝÝÑnÑ8 IE.
Proposition
La suite minimisantepunqnpourp‹qest de Cauchy danspX,}.}H1q. Problème
L’espacepX,}.}H1qn’est pas complet !