G.M.P. 1 DS du 19/12/2013
Outils math
ematiques (M1301) Duree :1h30
Exerie 1 ('4;5 points).
1.
instantst
i
(en s) 0 1 2 3 4 5 6 7
vitesse v
i
(en m=s) 215 140 85 57 36 29 27 22
y
i
=ln(v
i
15) 5,298 4,828 4,248 3,738 3,046 2,639 2,485 1,946
2.
A l'aide de la alulatrie,on obtient y= 0;485t+5;224 pour equationde la droite de regression
lineaire de y en t par la methode des moindres arres.
3. Le oeÆientde orrelationlineaireentre y ett vaut r' 0;993.Ce oeÆientetant prohe de 1,
ela signie qu'il est judiieux d'approher le nuage des points (t
i
;y
i
) par la droite de la question
preedente.
4. On ad'une part y=ln(v 15), etd'autre part y= 0;485t+5;224. D'ou
ln(v 15)= 0;485t+5;224:
Ainsi
v 15=e ln(v 15)
=e
0;485t+5;224
:
D'ou
v =15+e
0;485t+5;224
=f(t):
5. Pour t=9, ona
v =f(9)=15+e
0;4859+5;224
'17;36:
En se basant sur et ajustement, la vitesse atteinte aubout de 9 seondes serait de 17;36m=s:
6. Ondoit resoudre l'inequationv 615;2,'est-a-dire15+e
0;485t+5;224
615;2.Celaestsuessivement
equivalent a :
e
0;485t+5;224
615;2 15;
e
0;485t+5;224
60;2;
ln(e
0;485t+5;224
)6ln(0;2)ar ln est roissante sur ℄0;+1[;
0;485t+5;2246ln(0;2);
0;485t6ln(0;2) 5;224;
t6
ln(0;2) 5;224
0;485
ar 0;485 <0.
Or
ln(0;2) 5;224
0;485
'14;09.
Paronsequent, la vitesse deviendrainferieure a 15;2m=s aubout de 14;09s.
1. a) On va repesenter lasituationpar un arbre. Pour ela on note :
A l'evenement la piee tiree est une piee de 1euro;
B l'evenement la piee tiree est une piee de 2euros;
F l'evenement la piee tiree est fausse;
F l'evenement la piee tiree est vraie.
A
B
F
F
F
F 150
500
350
500
0;05
0;02
La probabilitequeette piee soit fausse est
P(F)=P(A\F)+P(B\F)= 150
500
0;05+ 350
500
0;02=0;029:
b)Sahantqueettepiee tiree auhasardestfausse, laprobabilitequ'elle soitde 1euroest egale a:
P(AjF)=
P(A\F)
P(F)
= 150
500
0;05
0;029
'0;5171:
2. On ontr^ole apresent un lotde 100 piees de 1euro.
On note X le nombre de piees fausses sur les 100 piees. Alors X suit la loi binomiale B(n;p) de
parametres n =100 etp=0;05.
Ainsi laprobabilitequ'il y aitentre 4et 6fausses piees dans e lotest egale a:
P[46X 66℄=P[X =4℄+P[X =5℄+P[X =6℄:
Comme P[X =k℄=C k
n p
k
(1 p) n k
,l'appliation numerique donne :
P[X =4℄=C 4
100
0;05 4
(1 0;05) 96
'0;17814;
de m^eme P[X =5℄'0;18001 etP[X =6℄'0;15001.D'ou,en arrondissanta 10 4
,
P[46X66℄'0;5082:
Remarque1. Silaalulatrieaquelquessouis pour alulerdiretementparexempleC 4
100
,onpeut
erire :
C 4
100
=
100!
4!96!
=
100999897
4!
=
100999897
432
=25334997=3921225:
Remarque2.SionveututiliserlafontiondelaalulatriequialuleP[X 6k℄pourlaloibinomiale
B(n;p),il faut ommenerpar erire :
P[46X 66℄=P[X =4℄+P[X =5℄+P[X =6℄=P[X 66℄ P[X 63℄:
variablealeatoire quiompte lenombre de trajets ouPierre aete ontr^ole.
1. On suppose quep=0;05.
a) X suit laloi binomialeB(n;p) de parametres n=40 etp=0;05.
La probabilitequePierre soit ontr^ole auplus 2 fois est donegale a:
P[X 62℄=P[X =0℄+P[X =1℄+P[X =2℄:
Comme P[X =k℄=C k
n p
k
(1 p) n k
,l'appliation numerique donne :
P[X =0℄=C 0
40
0;05 0
(1 0;05) 40
'0;12851;
de m^eme P[X =1℄'0;27055 etP[X =2℄'0;27767.D'ou,en arrondissanta 10 4
,
P[X 62℄'0;6767:
b) On note Y la variablealeatoire donnantle gain algebriquerealisepar Pierre.
Sur les 40 trajets, Pierre doit payer une amende de 100 euros pour les X trajets ouil est ontr^ole,
mais il eonomise le prixd'un tiket, soit 10euros, sur les 40trajetseetues. Son gain est don :
Y =1040 100X =400 100X:
Paronsequent l'esperane de Y est egale a:
E(Y)=E(400 100X)=400 100E(X):
Or pour la loibinomiale,E(X)=np. D'ou,
E(Y)=400 100np=400 100400;05=200:
Remarque. Sans faire des aluls savants, on pouvait aussi dire la hose suivante : etant donne
qu'il y a 40trajetset que laproba d'^etre ontr^olesur un trajetest de 0;05,on peut s'attendre a e
quePierre soitontr^ole400;05=2fois.Danseas ilpaierait200eurosd'amende,etonretrouve
que son gain est 4010 200=200 euros.
2. On ne onna^t plus lavaleur de p.
La fraude systematique est favorable a Pierre desque E(Y)>0.
Or, ave un raisonnementanalogue aelui de laquestion preedente, ona
E(Y)=400 100np=400 10040p=400 4000p:
Alors E(Y)>0 ssi400 4000p>0, ssip<
400
4000
,ssi p<0;1 .
Remarque.Enreprenantlaremarquedelaquestionpreedente,onpouvaitlaaussis'ensortirsansal-
uldiretd'esperane: Pierreeonomise globalement400 eurosen fraudantahaque fois.L'amende
etant de 100 euros, ilsera gagnants'il est ontr^ole moinsde 4fois.
Etantdonne qu'ily a 40trajets,
pourqu'ilrestegagnant,ildoit^etreontr^olemoinsde4foissur40.D'oup<
4
,'est-a-direp<0;1.
m =0et d'eart-type .
Dans toute la suite on pose Y = X
. On sait que Y suit une loi normale de moyenne m = 0 et
d'eart-type 1.
Conseil. Pour haque question i-dessous, faire un dessin de la ourbe de Gauss et in-
terpreter les aluls de proba omme des aires sous la ourbe.
1. On herhe de sorte que P[jXj>0;1℄=0;122.
Remarque. jXj>0;1signie queX >0;1 ouX 6 0;1.
P[jXj>0;1℄=0;122 revient a dire que P[jXj60;1℄=1 0;122 =0;878:
Or jXj60;1 ssi 0;16X 60;1;
ssi 0;1
6Y 6 0;1
.
Paronsequent
P[jXj60;1℄=P
0;1
6Y 6 0;1
=2P
Y 6 0;1
1=0;878:
D'ou
P
Y 6 0;1
=
1+0;878
2
=0;939:
En lisantdans latable de Laplae-Gauss, onobtient 0;1
=1;55.
D'ou = 0;1
1;55
'0;0645:
2. La probabilitepour que l'erreursoit en valeur absolue superieure a0;2 est :
P[jXj>0;2℄=1 P[jXj60;2℄=1 P[ 0;26 X60;2℄:
Comme ala question preedente, ela donne :
P[jXj>0;2℄=1 P
0;2
6Y 6 0;2
=1
2P
Y 6 0;2
1
:
Or d'apresla table,
P
Y 6 0;2
=P
Y 6
0;21;55
0;1
=P[Y 63;1℄'1:
D'ou
P[jXj>0;2℄'0:
3. On herhe a tel queP[jXj6a℄=0;99.Or
P[jXj6a℄=P[ a6X 6a℄=P h
a
6Y 6 a
i
=2P h
Y 6 a
i
1:
Paronsequent on doit avoir2P[Y 6 a
℄ 1=0;99,'est-a-dire P[Y 6 a
℄= 1+0;99
2
=0;995.
D'apres latable, onobtient a
=2;58:
D'oua=2;58 =2;58 0;1
' 0;17:
LadistributiondelamasseorporelledesFranaissuituneloinormaleN(m;)demoyenne(esperane)
m =75kg etd'eart-type =10kg.
On rappelle que si X est la variable aleatoiremesurant la masse orporelle moyenne d'un ehantillon
de n Franais, alors X suit laloi normaleN(m;
p
n ).
Dans toutela suite onpose
Y =
X m
p
n :
On saitque Y suit une loi normalede moyenne 0 etd'eart-type1.
Conseil. Pour haque question i-dessous, faire un dessin de la ourbe de Gauss et in-
terpreter les aluls de proba omme des aires sous la ourbe.
1. Ii n =25 etdon X N(75;
10
p
25
)'est-a-dire X N(75;2).
La probabilite pour que la moyenne des masses orporelles de es 25 Franais soit omprise entre
72;5kg et 80;5kg estegale a :
P[72;56X 680;5℄=P
72;5 75
2
6Y 6
80;5 75
2
=P[ 1;256Y 62;75℄:
Or P[ 1;256 Y 6 2;75℄= P[Y 6 2;75℄ P[Y 6 1;25℄ =P[Y 6 2;75℄ (1 P[Y 6 1;25℄) =
P[Y 62;75℄ 1+P[Y 61;25℄:
D'apres latable de Laplae-Gauss, onobtientdon
P[72;56X 680;5℄=0;99702 1+0;89435=0;89137:
2. On herhe n tel que P[74;56X 675;5℄=0;95.Cela est equivalent suessivement a :
P[ 74;5 m
p
n 6
X m
p
n 6
75;5 m
p
n
℄=0;95;
P[ 74;5 75
10
p
n
6Y 6
75;5 75
10
p
n
℄=0;95;
P[ 0;5
p
n
10
6Y 6 0;5
p
n
10
℄=0;95;
P[ 0;05 p
n 6Y 60;05 p
n℄=0;95;
2P[Y 60;05 p
n ℄ 1=0;95;
P[Y 60;05 p
n℄ = 1+0;95
2
=0;975.
D'apres latable de Laplae-Gauss, onobtientdon
0;05 p
n=1;96:
D'ou
p
n = 1;96
0;05
=39;2
Finalementn =39;2 2
=1536;64.
Il fautdon hoisir un ehantillonde taille1537.
