G.M.P. 1 Corrigedu devoirdu 19/12/2014
Outils math
ematiques (M1301)
Exerie 1 ('4 points).
1. L'eetif total n verie la relation f
1
= n
1
n
, 'est-a-dire n = n
1
f
1
. Or le tableau nous donne n
1
= 23
et f
1
=0;115. Don n= 23
0;115
=200.
2. Determinons n
2
. On a n=n
1 +n
2 +n
3 +n
4 +n
5 +n
6 .
Don n
2
=n (n
1 +n
3 +n
4 +n
5 +n
6
)=200 (23+44+37+33+36)=27.
Determinons x
5
.On saitquela moyenne xde ette serie statistique estegale a19;373. Or
x= n
1 x
1 +n
2 x
2 +n
3 x
3 +n
4 x
4 +n
5 x
5 +n
6 x
6
n
Don
x
5
=
nx (n
1 x
1 +n
2 x
2 +n
3 x
3 +n
4 x
4 +n
6 x
6 )
n
5
D'ou
x
5
=
20019;373 (233;13+277;2+4414;5+3721+3635;1)
33
Finalementx
5
=28;17.
Determinons les frequenes f
i
par la formulef
i
= n
i
n
, puis deduisons-en les frequenes umulees
F
i
. Apres aluls ontrouve :
Valeur (x
i
pour 16i66) 3,13 7,2 14,5 21 28,17 35,1
Eetifs(n
i
) 23 27 44 37 33 36
Frequene (f
i
) 0,115 0,135 0,22 0,185 0,165 0,18
Frequeneumulee (F
i
) 0,115 0,25 0,47 0,655 0,82 1
3. La medianeest lepremier x
i
pour lequel F
i
>0;5. Lamediane est don iix
4
=21.
Le premier quartileq
1
est le premierx
i
pour lequel F
i
>0;25.Don q
1
=x
2
=7;2.
Le troisieme quartile q
3
est le premierx
i
pour lequel F
i
>0;75.Don q
3
=x
5
=28;17.
L'eart interquartile vaut q
3 q
1
=28;17 7;2=20;97.
les notations de l'enone :
A
1
designe l'evenement la boule tiree la premiere fois porte un numero inferieurouegal a6;
etA
2
l'evenement la boule tiree la seonde fois porte un numero inferieurouegal a 6.
Partie A. Tiragessuessifs ave remise.
On note X la variable aleatoire omptant, apres deux tirages, le nombre de boules tirees portant un
numero inferieurouegal a6.
1. Remarquons d'abord que X peut prendre les valeurs 0, 1 et 2. Determiner la loi de probabilite de
X, 'est don aluler P[X =0℄,P[X =1℄ etP[X =2℄.
Vu queles tirages sont eetues ave remise, leseond tirage est independant du premier.On peut
resumer lasituation par l'arbresuivant :
A
1
A
1
A
2
A
2
A
2
A
2 6
10
4
10
6
10
4
10
6
10
4
10
Expliations des probas indiquees sur l'arbre : il est faile de voir qu'au premier tirage P(A
1 ) =
6
10
et don P(A
1 )=
4
10
; omme les tiragessont independants, onretrouveevidemment lesm^emes pro-
babilitesauseond tirage.
Paronsequent on obtient :
k 0 1 2
P[X =k℄
4
10
4
10
= 4
25 6
10
4
10
2= 12
25 6
10
6
10
= 9
25
Remarque. On aurait pu diretement dire que X suit la loi binomiale B(n;p) de parametres n = 2
(le nombre de tirages) et p= 6
10
= 3
5
(laprobabilite de tirer une boule portant un numero inferieur
ouegal a6). Ainsipour tout entier k omprisentre 0 et 2:
P[X =k℄=
n
k
p k
(1 p) n k
=
2
k
3
5
k
2
5
2 k
=
2
k
3
k
2 2 k
5 2
:
2. L'esperanede X est don : E(X)=np=2 3
5
= 6
5 .
On note Y la variable aleatoire omptant, apres deux tirages, le nombre de boules tirees portant un
numero inferieurouegal a6.
1. Remarquons d'abord queY peut prendre lesvaleurs 0,1 et2.Determinerla loide probabilitede
Y, 'est don aluler P[Y = 0℄, P[Y = 1℄ et P[Y = 2℄. On peut resumer la situation par l'arbre
suivant :
A
1
A
1
A
2
A
2
A
2
A
2 6
10
4
10
5
9
4
9
6
9
3
9
Expliations :
* ona sans problemeP(A
1 )=
6
10
etdon P(A
1 )=
4
10
;
* la probabilite de la branhe rouge de l'arbre est P(A
2
=A
1
). Lorsque A
1
est realise, il reste parmi
les 9 boules restantes 5boulesportant un numero inferieur ouegal a 6. D'ouP(A
2
=A
1 )=
5
9
;
*laprobabilitedelabranhebleuedel'arbreestP(A
2
=A
1
).LorsqueA
1
estrealise,ilresteparmiles9
boulesrestantes 4boules portantun numeroquin'est pasinferieurouegal a6.D'ouP(A
2
=A
1 )=
4
9
;
* laprobabilitede labranhe rose de l'arbre est P(A
2
=A
1
).Lorsque A
1
est realise,ilreste parmi les
9 boules restantes 6 boules portantun numero inferieurouegal a 6.D'ou P(A
2
=A
1 )=
6
9
;
*laprobabilitedelabranheverte de l'arbreestP(A
2
=A
1
).Lorsque A
1
est realise,ilreste parmiles
9boulesrestantes3boulesportantunnumeroquin'estpasinferieurouegala6.D'ouP(A
2
=A
1 )=
3
9 .
Loi de Y :
P(Y =2)=P(A
1
\A
2
)=P(A
1
)P(A
2
=A
1 )=
6
10
5
9
= 3
5
5
9
= 1
3
;
P(Y =1)=P(A
1
\A
2
)+P(A
1
\A
2 )=
6
10
4
9 +
4
10
6
9
=2 46
109
= 8
15
;
P(Y =0)=P(A
1
\A
2 )=
4
10
3
9
= 2
5
1
3
= 2
15 .
Remarque. Il n'etait pas obligatoirede passer par l'intermediairedes notations i-dessus sur lespro-
bas onditionnelles; iletait parfaitementorret de n'utiliser quel'arbre pondere dessineplus haut.
En resume,on obtient :
k 0 1 2
P[Y =k℄
2
15
8
15
1
3
2. L'esperanede Y est don :
E(Y)=0 2
+1 8
+2 1
=
8+10
= 18
= 4
:
epreuves independantes E
1 etE
2 .
La probabilitede remporter E
1
est egale a 0;1; etla probabilite de remporterE
2
est egale a0;2.
1. LesepreuvesE
1 etE
2
etantindependantes, laprobabilitequ'un andidatgagne 1000eurosest egale
a 0;10;2=0;02.
2. On onsidere maintenant n andidats qui partiipent aujeu independammentles uns des autres.
a) On note X lenombre de andidats (parmi lesn andidats) ayant gagne1000 euros. AlorsX suit
la loi binomialeB(n;p) de parametres n (lenombre de andidats) et p=0;02 (laprobabilitequ'un
andidat gagne1000 euros).
Ainsilaprobabilitep
n
qu'au moinsun andidat(parmilesnandidats)gagne 1000eurosest donnee
par :
p
n
=P[X >1℄=1 P[X =0℄=1 (0;98) n
:
b) D'apresla questionpreedente, onobtient
p
n
>0;99si et seulement si 1 (0;98) n
>0;99,
ssi 1 0;99>0;98 n
,
ssi 0;98 n
<0;01,
ssi ln(0;98 n
)<ln(0;01) ar la fontionln est stritement roissantesur ℄0;+1[,
ssi nln(0;98)<ln(0;01) ar ln(x n
)=nln(x)pour tout x>0,
ssi n >
ln(0;01)
ln(0;98)
ar on a divise par ln(0;98) qui est negatif puisque 0;98 < 1 (et don ln(0;98) <
ln(1)=0).
Or en utilisantlaalulatrie on obtient ln(0;01)
ln(0;98)
'227;9.
Conlusion. La plus petite valeur de n telle que p
n
>0;99 est n =228.
Exerie 4 ('8 points). Probleme de sur-reservation (ou de surbooking).Pour eetuer un vol
entre Paris et Marseille, une ompagnie aerienne deide d'utiliser un avion de 140 plaes. La reservation
est obligatoire.L'experienea montre que laprobabilitequ'une personne onrme sa reservation etretire
son billetestegalea0;8.On noteX lavariablealeatoireomptantlenombrede personnes ayantonrme
leur reservation et retireleur billet.
Partie A. On suppose dans ette partie que laompagnie aeriennea aepte 170 reservations.
1. X suit la loi binomiale B(n;p) de parametres n = 170 (le nombre de reservations) et p = 0;8 (la
probabilitequ'une personne onrme sa reservation et retireson billet).
2. L'esperane de X est don E(X) =np =1700;8= 136. Cela signie que la ompagnie aerienne
peut s'attendre a avoir en moyenne 136 passagers sepresentant au depart de l'avion.
3. Ii n =170>30 etnp=136>5.La loide X peut don^etreapprohee par laloinormaleN(m;)
ave m=np=136 et = p
np(1 p)= p
1360;2= p
27;2.
4. La probabilite quelespersonnes ayantonrmeleur reservation etretire leurbillet aienttoutes une
plae dans l'avionest egale a P[X 6140℄.
Option 1.0nutiliselaquestion1etlaalulatriefaitlealulpouruneloibinomialedeparametres
n =170 etp=0;8; onobtient alors diretementle resultat: P[X 6 140℄'0;80456.
Option 2. 0n utilise la question 3; on fait l'approximation P[X 6 140℄ ' P[Y 6 140℄ ou Y suit
la loi normaleN(136;
p
27;2). Dans e as, soit en utilisantla alulatrie, soit en revenant a la loi
normale entree reduiteet asa table, onobtient
P[X 6140℄ 'P[Y 6140℄'0;7784:
5. Ilyadonenviron80%(ou78%selonl'optionhoisie)dehanesquetouslespassagerssepresentant
audepartduvolaientuneplaedansl'avion.Autrementdit,ilyaenviron20%(ou22%selonl'option
hoisie) de hanes qu'au moins un passager se presentant au depart du vol ne puisse monter dans
1. X suit laloibinomialeB(n;p)deparametresn (lenombrede reservations)etp=0;8(laprobabilite
qu'une personne onrme sa reservation et retire son billet).
2. Ii n > 140 > 30 et np > 1400;8 > 112 > 5. La loi de X peut don ^etre approhee par la loi
normale N(m;)ave m=np=0;8n et = p
np(1 p)= p
0;8n0;2= p
0;16n=0;4 p
n.
3. La ompagnie aerienne souhaite determiner la valeur de n an que la probabilite que les personnes
ayant onrmeleur reservationetretireleur billetaienttoutesune plaedans l'avionsoitsuperieure
ouegale a0;97.
a) La ondition preedente setraduit par P[X 6140℄>0;97:
En utilisant l'approximation de la question B.2), ela se traduit par P[Y 6 140℄ >0;97; ou Y suit
la loinormale N(0;8n;0;4 p
n).
Posons Z =
Y 0;8n
0;4 p
n
de sorte queZ suit laloi normaleentree reduiteN(0;1). Alors
P[Y 6140℄ >0;97 ssi P[ Y 0;8n
0;4 p
n 6
140 0;8n
0;4 p
n
℄>0;97
ssi P[Z 6
140 0;8n
0;4 p
n
℄>0;97
En utilisant soit la alulatrie, soit la table de la loi normale entree reduite, on obtient P[Z 6
1;88℄ '0;97 (laalulatrie donnem^eme 1;8807).D'ou
P[Y 6140℄>0;97 ssi
140 0;8n
0;4 p
n
>1;88
ssi 140 0;8n>1;880;4 p
n
ssi 140 0;8n>0;752 p
n
ssi 0> 140+0;8n+0;752 p
n
ssi 0;8n+0;752 p
n 14060
Ainsi n est bien solutiond'une inequation de la forme an+b p
n+60 ave a=0;8 et b=0;752
et = 140.
b) On pose x= p
n. L'inequation devient 0;8x 2
+0;752x 14060.
On alule le disriminant du trin^ome 0;8x 2
+0;752x 140 : = 0;752 2
40;8( 140) =
448;565504.D'ou deux raines :
x
1
=
0;752+ p
20;8
'12;77 etx
2
=
0;752 p
20;8
' 13;71
Paronsequent 0;8x 2
+0;752x 140 estdu signede a,'est-a-direpositif(ara=0;8),al'exterieur
des rainesx
1 et x
2
. Il est don negatifentre les raines.Quand onrevient an, ona don :
0;8n+0;752 p
n 14060 ssi x
2 6
p
n6x
1
'est-a-dire enore, puisque x
2
<0,
0;8n+0;752 p
n 140 60 ssi p
n 6x
1
e qui donne
0;8n+0;752 p
n 14060 ssi n6(x
1 )
2
:
Or (x
1 )
2
'162;99(a laalulatrie).D'ounalement
0;8n+0;752 p
n 14060 ssi n 6162:
) D'apres e qui preede, la valeur maximale de n an que la probabilite que les personnes ayant
onrme leur reservation et retire leur billet aient toutes une plae dans l'avion soit superieure ou
egale a 0;97est n =162.
