NOM enom : Groupe de TD :
I.U.T. de Brest Annee 2014-2015
G.M.P. 1 Devoirdu 19/12/2014
Outils
math
ematiques (M1301) Duree :1h30
Douments ou materiel autorises.1. formulaire distribue en debut de premiere annee { 2.formulaire
manusrit A4 reto-verso {3. table de Laplae-Gauss {4. alulatrie.
La qualite de la redation, notamment le soin apporte a justier ou expliquer un resultat,
sera prise en ompte dans l'attribution de la note.
Exerie 1 ('4 points). On donne letableau statistiqueinompletsuivant :
Valeur (x
i
pour 16i66) 3,13 7,2 14,5 21 35,1
Eetifs (n
i
) 23 44 37 33 36
Frequene (f
i
) 0,115
Frequeneumulee (F
i )
1.
A l'aide des donnees fournies dans le tableau,determiner l'eetiftotal n.
2. Sahantquelamoyennexde etteseriestatistiqueestegalea19;373ompleterletableaupreedent
en preisant sur laopie les dierentes etapes du raisonnement.
3. En deduirela medianeet l'eartinterquartile.
Exerie 2 ('4 points). Uneurne ontient10 boules indisernables numerotees de 1 a 10.
Dans et exerie, tous lesresultats seronterits sous formede frations irredutibles (auune valeur ap-
prohee n'est demandee).
Partie A. Tiragessuessifs ave remise.
On extrait auhasard une boule de l'urne, onnote son numero, et onremet la boule dans l'urne; puis
on extrait auhasard une nouvelle boule de l'urne eton note son numero.
On note A
1
l'evenement la boule tiree la premiere fois porte un numero inferieur ouegal a 6;
A
2
l'evenement laboule tiree laseonde fois porte un numero inferieur ouegal a 6.
On note X la variable aleatoire omptant, apres deux tirages, le nombre de boules tirees portant un
numero inferieurouegal a6.
1. Donner laloide probabilitede X.
2. Caluler l'esperane de X.
Partie B. Tirages suessifssans remise.
Onextrait auhasardune boulede l'urne,onnote sonnumero,etonneremetpas labouledans l'urne;
puis onextrait au hasardune nouvelle boule de l'urne et onnote son numero.
On garde lesnotations A
1 etA
2 .
On note Y la variable aleatoire omptant, apres deux tirages, le nombre de boules tirees portant un
numero inferieurouegal a6.
1. Determiner laloi de probabilitede Y.
2. Caluler l'esperane de Y.
epreuves independantes E
1 etE
2 .
La probabilitede remporter E
1
est egale a 0;1; etla probabilite de remporterE
2
est egale a0;2.
1. Caluler laprobabilitequ'un andidat gagne 1000 euros.
2. On onsidere maintenant n andidats qui partiipent aujeu independammentles uns des autres.
a) Determiner, en fontion de n, la probabilite p
n
qu'au moinsun andidat (parmi les n andidats)
gagne 1000 euros.
b) Quelleest laplus petite valeur de n telle quep
n
>0;99?
Exerie 4 ('8 points). Probleme de sur-reservation (ou de surbooking).Pour eetuer un vol
entre Paris et Marseille, une ompagnie aerienne deide d'utiliser un avion de 140 plaes. La reservation
est obligatoire.L'experienea montre que laprobabilitequ'une personne onrme sa reservation etretire
son billet est egale a 0;8.
On note X la variable aleatoire omptant le nombre de personnes ayant onrme leur reservation et
retireleur billet.
Partie A. On suppose dans ette partie que laompagnie aeriennea aepte 170 reservations.
1. Quelle est la loisuivie par lavariablealeatoireX?
2. Determiner l'esperane de X. Donner une interpretation de e resultat.
3. Montrer quela loide X peut^etre approhee par une autreloi, dont onpreisera lesparametres.
4. En utilisantsoit le resultat de la question 1, soitle resultat de la question 3, aluler laprobabilite
que les personnes ayant onrme leur reservation et retire leur billet aient toutes une plae dans
l'avion.
5. Interpreter le resultatde laquestion 4.
PartieB.Onsupposedansettepartiequelaompagnieaerienneaaeptenreservations(aven>140).
1. Quelle est la loisuivie par lavariablealeatoireX?
2. Montrer quela loide X peut^etre approhee par une autre loi, dont onpreisera lesparametres.
3. La ompagnie aerienne souhaite determiner la valeur de n an que la probabilite que les personnes
ayant onrmeleur reservationetretireleur billetaienttoutesune plaedans l'avionsoitsuperieure
ouegale a0;97.
a) Demontrer que n est solution d'une inequation de la forme
an+b p
n+60
ou a, b et sont des onstantes reelles a determiner.
b) Resoudre l'inequationde laquestion preedente.
) En deduire la valeur maximalede n an quela probabiliteque lespersonnes ayant onrme leur
reservation etretireleur billet aienttoutes une plae dans l'avionsoitsuperieure ouegalea 0;97.
