Devoir de déc. 2012 et corrigé (Probas-Stats)

I.U.T. de Brest

G.M.P. 1 Corrig´e du devoir du 14/12/2012

Probabilit´es et statistiques (F115 - Maths 1.2) Exercice 1 ('2,5 points).

1. Le premier quartile q₁ est le premier x_k pour lequel f_k >0,25. Donc q₁ = 175.

Le deuxi`eme quartile q<sub>2</sub>, c’est-`a-dire la m´ediane, est le premierx_k pour lequelf_k >0,5. La m´ediane est donc ici q2 = 200.

Le troisi`eme quartile q₃ est le premier x_k pour lequelf_k >0,75. Donc q₃ = 225.

L’´ecart interquartile vaut q₃−q₁ = 225−175 = 50.

2. Pour calculer l’esp´erance de la s´erie statistique, c’est-`a-dire la moyenne x, on calcule d’abord les fr´equences :

x_k : charges en grammes 100 150 175 200

f_k : fr´equence cumul´ee 0,1 0,24 0,33 0,70

fr´equence 0,1 0,24−0,1 = 0,14 0,33−0,24 = 0,09 0,70−0,33 = 0,37

charges 225 250 300

fr´equence cumul´ee 0,75 0,9 1

fr´equence 0,75−0,70 = 0,05 0,9−0,75 = 0,15 1−0,9 = 0,1 Alors

x= 0,1×100 + 0,14×150 + 0,09×175 + 0,37×200 + 0,05×225 + 0,15×250 + 0,1×300 = 199,5.

Pour l’´ecart-typeσ_x on calcule d’abord

σ_x² = 0,1×100²+0,14×150²+0,09×175²+0,37×200²+0,05×225²+0,15×250²+0,1×300²−(199,5)², puis en prenant la racine carr´ee, on obtient σ_x '53,03.

1.

Ann´eeX_i 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

Rang x_i 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

yi en milliers 201 231 290 361 423 498 567 684 874 1079 1267 z_i = lny_i 5,303 5,442 5,670 5,889 6,047 6,211 6,340 6,528 6,773 6,984 7,144 2. `A l’aide de la calculatrice et en arrondissant comme demand´e, on obtient z = 0,037x+ 5,291 pour

´

equation de la droite de r´egression lin´eaire dez enx, obtenue par la m´ethode des moindres carr´es.

3. Le coefficient de corr´elation lin´eaire entre x et z est aussi donn´e par la calculatrice ; on obtient r '0,999. Comme ce coefficient est proche de 1, on peut affirmer que la droite de r´egression lin´eaire trouv´ee `a la question pr´ec´edente approche bien les points de coordonn´ees (x_i;z_i) du tableau.

4. `A l’aide de cet ajustement, on a z = 0,037x+ 5,291. Or z = lny. Donc y= e^z = e0,037x+5,291

=f(x).

5. Le rang de l’ann´ee 2012 est x = 2012−1950 = 62. Le nombre, en milliers, de personnes ˆag´ees de plus de 85 ans devrait ˆetre en 2012 :

y=f(62) = e0,037×62+5,291'1968,447.

6. Quand le nombre de personnes ˆag´ees de plus de 85 ans d´epassera-t-il 3 millions ? Compte tenu du fait que 3 millions est ´egal `a 3000 milliers, on doit r´esoudre l’in´equation :

y>3000 ⇐⇒ e0,037x+5,291 >3000

⇐⇒ 0,037x+ 5,291>ln(3000) car ln croissante sur R^∗+

⇐⇒ 0,037x>ln(3000)−5,291

⇐⇒ x> ln(3000)−5,291 0,037

Or ln(3000)−5,291

0,037 '73,4.

Ainsi, si l’on croit en cet ajustement, le nombre de personnes ˆag´ees de plus de 85 ans d´epassera les 3 millions au cours de l’ann´ee 1950 + 73 = 2023.

1. On note X la variable al´eatoire repr´esentant le nombre de bonnes r´eponses du candidat au QCM.

Alors X suit la loi binomiale B(n, p) de param`etres n = 6 (le nombre de questions) et p = <sup>1</sup><sub>2</sub> (la probabilit´e d’avoir une bonne r´eponse `a une question, qui est ´egale `a 0,5 car le candidat r´epond au hasard).

Ainsi pour tout entier k compris entre 0 et 6 : P[X =k] =

n k

p^k(1−p)^n−k = 6

k

× 1

2 k

× 1

2 ^6−k

= 6

k

× 1

2 6

= 6

k

× 1 64. Par cons´equent on obtient :

k 0 1 2 3 4 5 6

P[X =k] ₆₄¹ ₆₄^{6 15}₆₄ ²⁰₆₄ ¹⁵_{64 64}⁶ ₆₄¹

• Si X = 0, il y a 6 mauvaises r´eponses, le total de points vaut 1×0−0,5×6 = −3 et N = 0.

• Si X = 1, il y a 5 mauvaises r´eponses, le total de points vaut 1×1−0,5×5 = −1,5 et N = 0.

• Si X = 2, il y a 4 mauvaises r´eponses, le total de points vaut 1×2−0,5×4 = 0 et N = 0.

• Si X = 3, il y a 3 mauvaises r´eponses, le total de points vaut 1×3−0,5×3 = 1,5 et N = 1,5.

• Si X = 4, il y a 2 mauvaises r´eponses, le total de points vaut 1×4−0,5×2 = 3 et N = 3.

• Si X = 5, il y a 1 mauvaise r´eponse, le total de points vaut 1×5−0,5×1 = 4,5 et N = 4,5.

• Si X = 6, il y a 0 mauvaise r´eponse, le total de points vaut 1×6−0,5×0 = 6 et N = 6.

La loi de probabilit´e de N se d´eduit facilement de celle de X. Il suffit de remarquer que P[N = 0] =P[X = 0] +P[X = 1] +P[X = 2] = 1 + 6 + 15

64 = 22

64· D’o`u la loi pour N :

x_i 0 1,5 3 4,5 6

P[N =x_i] ²²₆₄ ²⁰₆₄ ¹⁵_{64 64}⁶ ₆₄¹

2. L’esp´erance de N est ´egale `a :

E(N) = 0×P[N = 0] + 1,5×P[N = 1,5] + 3×P[N = 3] + 4,5×P[N = 4,5] + 6×P[N = 6]

E(N) = 20

64×1,5 + 15

64×3 + 6

64×4,5 + 1 64 ×6 D’o`u

E(N) = 108

64 = 1,6875.

Exercice 4 ('4 points). Dans tout l’exercice on va consid´erer Y =

40 . On sait que Y suit la loi normale N(0; 1).

1. Calcul de :

P[X>560] =P[Y >1,5] = 1−P[Y 61,5]'1−0,93319'0,06681.

La probabilit´e qu’un veau p`ese plus de 560 kg est donc d’environ 0,06681.

2. Calcul de :

P[X 6480] =P[Y 6−0,5] =P[Y >0,5] = 1−P[Y 60,5]'1−0,69146'0,30854.

La probabilit´e qu’un veau p`ese moins de 480 kg est donc d’environ 0,30854.

3. Calcul de :

P[4506X 6550] =P

450−500

40 6 X−500

40 6 550−500 40

=P[−1,256Y 61,25].

Or

P[−1,256Y 61,25] =P[Y 61,25]−P[Y 6−1,25] =P[Y 61,25]−(1−P[Y 61,25]).

Donc

P[−1,256Y 61,25] = 2×P[Y 61,25]−1'2×0,89435−1'0,7887.

Ainsi la probabilit´e pour que le poids d’un veau soit compris entre 450 kg et 550 kg est donc d’environ 0,7887.

4. On doit chercher a tel queP[X >a] = 0,15. Cela revient `a dire que P[X 6a] = 0,85, c’est-`a-dire encore

P

X−500

40 6 a−500 40

=P

Y 6 a−500 40

= 0,85.

On prend dans la table de Laplace-Gauss le nombre le plus proche de 0,85, c’est-`a-dire 0,85083, qui correspond `aP[Y 61,04]. D’o`u

a−500

40 '1,04 qui donne a'500 + 40×1,04'541,6.

On s´electionnera donc les veaux d’un poids sup´erieur `a 541,6 kg.

1. Posons Y = X−10

3 . On sait que Y suit la loi normaleN(0; 1). Alors P[10−a6X 610 +a] =P

10−a−10

3 6 X−10

3 6 10 +a−10 3

=P h

−a

3 6Y 6 a 3 i

. Or

P h

−a

3 6Y 6 a 3 i

=Ph Y 6 a

3

i−P h

Y 6−a 3 i

=P h Y 6 a

3

i−P h Y > a

3 i

Donc

P h

−a

3 6Y 6 a 3 i

=Ph Y 6 a

3 i−

1−P h Y 6 a

3 i

= 2P h Y 6 a

3 i−1.

Ainsi P[10−a6X 610 +a] = 0,762 ssi 2P[Y 6 ^a₃]−1 = 0,762, ssi P[Y 6 ^a₃] = ^1+0,762₂ = 0,881.

D’apr`es la table de Laplace-Gauss, on trouve P[Y 61,18] = 0,881.

On obtient donc a

3 = 1,18. D’o`u a= 3×1,18 = 3,54.

2. Posons Y = X−10

σ . On sait que Y suit la loi normaleN(0; 1). Alors P[X >8] = P

X−10 σ > −2

σ

=P

Y > −2 σ

.

Or, par sym´etrie,

P

Y > −2 σ

=P

Y 6 2 σ

.

La condition donn´ee dans l’´enonc´e s’´ecrit alors P

Y 6 2

σ

= 0,69146.

D’apr`es la table de Laplace-Gauss, on trouve P[Y 60,5] = 0,69146.

On obtient donc 2

σ = 0,5. D’o`uσ = 2 0,5 = 4.

Fin du corrig´e du ds