I.U.T. de Brest Ann´ee 2020-21
G.M.P. 2. Devoir du 05/03/2021
Courbes param´etr´ees (M4301) Dur´ee : 1h30
• Seul document autoris´e : le formulaire distribu´e en premi`ere ann´ee
• Calculatrice et t´el´ephone portable interdits
• Toutes les r´eponses devront ˆetre justifi´ees
• Enonc´e `a rendre avec la copie´
Nom : Pr´enom :
Exercice 1 (≃11,5 points). On consid`ere la courbe param´etr´ee d´efinie pour tout t∈ R par :
x(t) = 2t3+ 3t2 y(t) = 3t2+ 6t
On noteM(t) le point de coordonn´ees cart´esiennes (x(t);y(t)) dans un rep`ere orthonorm´e (O,~ı, ~) du plan.
On souhaite d´eterminer le lieu des points M(t) lorsque le param`etre t d´ecrit R. 1. a) Calculer les d´eriv´ees des fonctionsx et y sur R.
b) Calculer les limites suivantes : lim
t→+∞x(t) et lim
t→+∞y(t).
c) Calculer les limites suivantes : lim
t→−∞x(t) et lim
t→−∞y(t).
d) Dresser le tableau de variations des fonctions x et y sur R. On calculera ´egalement les valeurs `a mettre au bout des fl`eches.
2. a) Donner les coordonn´ees cart´esiennes du point M(0) puis d´eterminer un vecteur directeur de la tangente `a la courbe en ce point.
b) Mˆeme question avec les points M(1) et M(−1).
3. ´Etudier les ´eventuelles branches infinies.
4. D´eterminer les coordonn´ees cart´esiennes des ´eventuels points o`u la courbe coupe l’axe des abscisses.
5. Tracer l’allure de cette courbe en respectant particuli`erement les r´esultats trouv´es aux questions pr´ec´edentes.
• Pour le trac´e, il faudra absolument respecter les consignes suivantes :
◮ le rep`ere doit ˆetre orthonorm´e avec 1 cm correspondant `a 1 ;
◮ l’axe des abscisses sera gradu´e de −8 `a 8 ;
◮ l’axe des ordonn´ees sera gradu´e de −5 `a 15.
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Exercice 2 (≃8,5 points). On se place dans un rep`ere orthonorm´e (O,~ı, ~) du plan.
Pour tout r´eel θ, on note −→
uθ le vecteur d´efini par −→
uθ = cos(θ)~ı+ sin(θ)~. On consid`ere la courbe d´efinie en polaires par
r(θ) = 1−2 cos(θ) pour tout r´eel θ.
Si on note M(θ) le point de coordonn´ees polaires (r(θ);θ), on souhaite d´eterminer le lieu des points M(θ) lorsque le param`etre θ d´ecritR.
On rappelle qu’ici −−−−→
OM(θ) = (1−2 cos(θ)) −→
uθ pour tout θ ∈R.
1. a) Par quelle transformation g´eom´etrique passe-t-on du point M(θ+ 2π) au point M(θ) ? b) Par quelle transformation g´eom´etrique passe-t-on du point M(−θ) au point M(θ) ?
c) Expliquer pr´ecis´ement pourquoi on peut restreindre l’´etude de la courbe `a l’intervalle [0;π].
2. Dresser le tableau de variations de la fonction r sur [0;π]. On calculera ´egalement les valeurs au bout des fl`eches.
3. R´esoudre l’´equation r(θ) = 0 sur [0;π].
4. a) Calculer les coordonn´ees polaires du point M(0) puis d´eterminer un vecteur directeur de la tangente en ce point.
b) Mˆeme question avec les points Mπ 3
, Mπ 2
etM(π).
5. Tracer l’allure de la courbe en respectant particuli`erement les r´esultats trouv´es aux questions pr´ec´edentes.
• Pour le trac´e, il faudra absolument respecter les consignes suivantes :
◮ le rep`ere doit ˆetre orthonorm´e avec 3 cm correspondant `a 1 ;
◮ l’axe des abscisses sera gradu´e de −4 `a 2 ;
◮ l’axe des ordonn´ees sera gradu´e de −2 `a 2.
Fin du devoir
