I.U.T. de Brest Ann´ee 2018-19
G.M.P. 1. Devoir du 29/03/2019
M2301 - Calcul int´egral et calcul matriciel Dur´ee : 1h30
• Seul document autoris´e : le formulaire distribu´e en d´ebut d’ann´ee
• Calculatrice et t´el´ephone portable interdits
• Toutes les r´eponses devront ˆetre justifi´ees
• La r´edaction comptera pour une part non n´egligeable de la note
• Enonc´e `a rendre avec la copie´
Nom : Pr´enom :
Rappels.Lorsqueaest une constante r´eelle, une solution particuli`ereyP de l’´equation (E) : y′+ay=f(x) peut ˆetre d´etermin´ee `a partir du tableau suivant :
Si f(x) est de la forme : alors une solution particuli`ere yP de (E) est de la forme : f(x) = P(x) ekx avec k constante 6=−a yP =Q(x) ekx avec Q polynˆome
etP polynˆome tel que degQ= degP
f(x) = P(x) ekx avec k constante =−a yP =Q(x) e−ax avec Q polynˆome
etP polynˆome tel que degQ= (degP) + 1
f(x) = λ1cos(ωx) +λ2sin(ωx) yP =αcos(ωx) +βsin(ωx)
avec λ1, λ2, ω des constantes r´eelles avec α, β des constantes r´eelles
Exercice 1 ( ≃5,5 points). On consid`ere l’´equation diff´erentielle : (E) : 3y′−2y= 8x2e2x. 1. R´esoudre l’´equation diff´erentielle (E) surR.
2. D´eterminer l’unique solution y de l’´equation diff´erentielle (E), d´efinie sur Ret telle que y(0) = 2.
Exercice 2 ( ≃4,5 points). R´esoudre sur
−1 2; +∞
l’´equation diff´erentielle : (E) : (2x+ 1)y′−2y= 6x+ 3.
Exercice 3 ( ≃5,5 points). R´esoudre sur ]0; +∞[ l’´equation diff´erentielle : (E) : xy′−3y= 5x5−3x4
1 + 4x2 . Exercice 4 ( ≃4,5 points). On consid`ere l’´equation diff´erentielle :
(E) : 3y′′−y′−4y= 10 cosx.
1. R´esoudre l’´equation diff´erentielle (H) : 3y′′−y′−4y = 0, qui est l’´equation homog`ene associ´ee `a (E).
2. D´eterminer une solution particuli`ere de l’´equation (E).
On pourra la chercher sous la formeαcosx+βsinxo`uαetβsont des constantes r´eelles `a d´eterminer.
3. D´eterminer toutes les solutions de l’´equation (E).
Fin du devoir.
