I.U.T. de Brest Ann´ee 2020-21
G.M.P. 2. (PE) Devoir du 09/04/2021
Compl´ements de maths (M4322) Dur´ee : 1h30
• Seul document autoris´e : le formulaire distribu´e en d´ebut de premi`ere ann´ee
• Calculatrice et t´el´ephone portable interdits
• Toutes les r´eponses devront ˆetre justifi´ees
Exercice 1 ( ≃10 points).
1. On consid`ere le polynˆomeB d´efini par :
B(x) =x4−x3−5x2−3x.
a) Calculer B(−1).
b) En d´eduire la factorisation du polynˆome B en produit de facteurs irr´eductibles surR. 2. On consid`ere la fraction rationnelle F d´efinie par
F(x) = 2x5+x4−11x3−21x2−13x+ 6 x4−x3 −5x2−3x · a) D´ecomposer en ´el´ements simples sur Rla fraction rationnelle F. b) Calculer l’int´egrale
I = Z 2
1
F(x) dx= Z 2
1
2x5+x4−11x3−21x2−13x+ 6 x4−x3−5x2−3x dx . On donnera le r´esultat en simplifiant au maximum l’expression trouv´ee.
Exercice 2 ( ≃10 points). On consid`ere la fraction rationnelleF d´efinie par F(x) = −10
(x+ 1)(x2−2x+ 2) · 1. D´ecomposer en ´el´ements simples surR la fraction rationnelle F. 2. Calculer l’int´egrale
J = Z 1
0
arctan(x−1) (x+ 1)2 dx .
On donnera le r´esultat en simplifiant au maximum l’expression trouv´ee.
Fin du devoir
