I.U.T. de Brest Ann´ee 2017-18
G.M.P. 2. (PE) Devoir du 12/04/2018
Compl´ements de maths (M4322) Dur´ee : 1h30
Seul document autoris´e : le formulaire distribu´e en d´ebut de premi`ere ann´ee Calculatrice, polycopi´e de cours, TD non autoris´es
Toutes les r´eponses devront ˆetre justifi´ees
Exercice 1 ( ≃3,5 points). Calculer l’int´egrale I =
Z 1
0
x2ln(1 +x2) dx .
Exercice 2 ( ≃4,5 points). A l’aide du changement de variable` t =√
x+ 1 , calculer l’int´egrale J =
Z 0
−1
6 x−2−2√
x+ 1 dx .
Exercice 3 ( ≃12 points).
1. On consid`ere le polynˆomeB d´efini par :
B(x) = (x2−x+ 1)2+ 1.
a) Calculer B(i).
b) En d´eduire la factorisation du polynˆome B en produit de facteurs irr´eductibles surR. 2. On consid`ere la fraction rationnelle F d´efinie par
F(x) = 8x−9
(x2 −x+ 1)2+ 1 · a) D´ecomposer en ´el´ements simples sur Rla fraction rationnelle F. b) D´eterminer une primitive G de la fonction F sur R.
3. Le nombre t d´esignant un r´eel quelconque, on d´efinit l’int´egrale I(t) par I(t) =
Z t
0
F(x) dx= Z t
0
8x−9
(x2−x+ 1)2+ 1 dx .
Calculer la limite de I(t) lorsque t tend vers +∞ (donner le r´esultat en simplifiant au maximum l’expression trouv´ee).
Fin du devoir
