I.U.T. de Brest Ann´ee 2018-19
G.M.P. 2. (PE) Corrig´e du devoir du 29/03/2019
Compl´ements de maths (M4322)
Exercice 1 ( ≃8,25 points). On consid`ere la fraction rationnelle F d´efinie par
F(x) = 2x−7
(x−3)(x2−7x+ 12) ·
1. D´ecomposition en ´el´ements simples sur R de la fraction rationnelleF.
Le degr´e de F est n´egatif strict car ´egal `a 1−3 =−2. Donc pas de division euclidienne `a effectuer.
Il s’agit maintenant de factoriser au maximum le d´enominateur B(x) = (x−3)(x2−7x+ 12).
Pour le trinˆome du second degr´e x2 −7x+ 12, son discriminant vaut 1 et on trouve 3 et 4 pour racines. Donc x2−7x+ 12 = (x−3)(x−4).
Ainsi B(x) = (x−3)(x−3)(x−4) = (x−4)(x−3)2. On peut donc ´ecrire
F(x) = 2x−7
(x−4)(x−3)2 = a
x−4+ b
x−3 + c (x−3)2 o`u a, b, csont des constantes r´eelles.
Notons (∗) l’´egalit´e suivante :
2x−7
(x−4)(x−3)2 = a
x−4+ b
x−3 + c (x−3)2· Pour trouver a, on multiplie l’´egalit´e (∗) parx−4 :
2x−7
(x−3)2 =a+b(x−4)
x−3 +c(x−4) (x−3)2, et on ´evalue cette nouvelle ´egalit´e en x:= 4 pour obtenir a= 8−7
12 = 1.
Pour trouver c, on multiplie l’´egalit´e (∗) par (x−3)2 : 2x−7
(x−4) = a(x−3)2
x−4 +b(x−3) +c, et on ´evalue cette nouvelle ´egalit´e en x:= 3 pour obtenir c= 6−7
3−4 = 1.
L’´egalit´e (∗) s’´ecrit donc maintenant : 2x−7
(x−4)(x−3)2 = 1
x−4+ b
x−3 + 1 (x−3)2· Pour trouver b, on ´evalue l’´egalit´e (∗) enx := 0 pour obtenir −7
−4×9 = 1
−4 + b
−3 + 1
9. On multi- plie cette ´equation par 36 pour obtenir 7 =−9−12b+4. Cela donne 12b=−12, c’est-`a-direb=−1.
Remarque. Pour trouver b, on aurait aussi pu multiplier l’´egalit´e (∗) par x puis prendre la limite quand x tend vers +∞. Cela aurait donn´e 0 = 1 +b+ 0. Ainsi b=−1.
Finalement
F(x) = 2x−7
(x−4)(x−3)2 = 1
x−4− 1
x−3 + 1 (x−3)2· 2. Calcul de l’int´egrale
I = Z 1
0
ln(x2−7x+ 12)
(x−3)2 dx= Z 1
0
1
(x−3)2 ×ln(x2−7x+ 12) dx . Par IPP : on pose u(x) = ln(x2−7x+ 12) et v′(x) = (x−3)1 2.
Tout d’abord, comme u = lnw avec w(x) = x2 −7x+ 12 (et donc w′(x) = 2x−7), on obtient u′(x) = x2−2x7−7x+12.
De plus, comme v′ = hh2′ avec h(x) =x−3 (et donc h′(x) = 1), on prend v(x) = −h(1x) =−x−31 . D’o`u, en appliquant la formule d’IPP
Z b
a
u(x)v′(x) dx= [u(x)v(x)]ba− Z b
a
u′(x)v(x) dx, on obtient :
I =
− 1
x−3ln(x2−7x+ 12) 1
0
− Z 1
0
−1
x−3× 2x−7 x2−7x+ 12dx Puis par lin´earit´e,
I = ln 6
2 −ln(12)
3 +
Z 1
0
2x−7
(x−3)(x2−7x+ 12) dx Donc, avec les notations de la question 1,
I = ln 6
2 −ln(12)
3 +
Z 1
0
F(x) dx.
Ainsi :
I = ln 6
2 −ln(12)
3 +
Z 1
0
1
x−4− 1
x−3+ 1 (x−3)2
dx.
I = ln 6
2 − ln(12)
3 +
ln|x−4| −ln|x−3| − 1 x−3
1
0
.
I = ln 2 + ln 3
2 − 2 ln 2 + ln 3
3 + ln 3−ln 2 + 1
2−2 ln 2 + ln 3− 1 3. D’o`u
I = 1
2− 2
3 −1−2
ln 2 + 1
2 − 1
3+ 1 + 1
ln 3 + 1 2− 1
3. Finalement
I =−19
6 ln 2 + 13
6 ln 3 + 1 6.
Exercice 2 ( ≃11,75 points).
1. On consid`ere le polynˆomeB d´efini par :
B(x) =x3+ 2x2+ 5x−26.
a) B(2) = 8 + 8 + 10−26 = 0.
b) D’apr`es la question pr´ec´edente, 2 est une racine de B. Doncx−2 divise B(x).
On effectue la division euclidienne de B(x) par x−2 pour factoriser B(x). Apr`es calculs (`a faire
´evidemment sur sa copie), on obtient pour quotientx2+ 4x+ 13 et pour reste 0 ; autrement dit : B(x) =x3+ 2x2+ 5x−26 = (x−2)×(x2 + 4x+ 13).
Le discriminant du trinˆome du second degr´e x2 + 4x+ 13 ´etant n´egatif strict (car ´egal `a −36), x2 + 4x+ 13 est irr´eductible sur R. Donc B(x) = x3+ 2x2 + 5x−26 = (x−2)(x2+ 4x+ 13) est bien la factorisation de B(x) en produit de facteurs irr´eductibles sur R.
2. On consid`ere la fraction rationnelle F d´efinie par
F(x) = x4−47x+ 3 x3+ 2x2+ 5x−26 ·
a) D´ecomposition en ´el´ements simples sur R de la fraction rationnelle F.
Le degr´e de F est positif ou nul car ´egal `a 4−3 = 1. On doit donc effectuer la division euclidienne du num´erateur par le d´enominateur. Apr`es calculs (`a faire ´evidemment sur sa copie), on obtient pour quotient x−2 et pour reste−x2 −11x−49 ; autrement dit :
x4 −47x+ 3 = (x−2)×(x3+ 2x2+ 5x−26)−x2−11x−49.
Ainsi
F(x) = x−2 + −x2−11x−49 x3+ 2x2+ 5x−26 · On peut donc ´ecrire :
F(x) =x−2− x2+ 11x+ 49
x3+ 2x2+ 5x−26 =x−2− x2 + 11x+ 49 (x−2)(x2+ 4x+ 13) ·
F(x) =x−2−
a
x−2+ bx+c x2+ 4x+ 13
,
o`u a, b, csont des constantes r´eelles.
Notons (∗) l’´egalit´e suivante :
x2+ 11x+ 49
(x−2)(x2+ 4x+ 13) = a
x−2 + bx+c x2+ 4x+ 13· Pour trouver a, on multiplie l’´egalit´e (∗) parx−2 :
x2+ 11x+ 49
(x2+ 4x+ 13) =a+ (bx+c)(x−2) x2+ 4x+ 13 , et on ´evalue cette nouvelle ´egalit´e en x:= 2 pour obtenir a= 75
25 = 3.
Pour trouver c, on commence par ´evaluer l’´egalit´e (∗) en x:= 0 pour obtenir 49
−2×13 = a
−2+ c 13. En multipliant cette derni`ere ´egalit´e par 26, on obtient −49 =−39 + 2c, ce qui donne 2c=−10 et donc c=−5.
Pour trouver b, on multiplie l’´egalit´e (∗) par x: x(x2+ 11x+ 49)
(x−2)(x2+ 4x+ 13) = ax
x−2+ bx2+cx x2+ 4x+ 13
puis on prend la limite quand xtend vers +∞. En utilisant la r`egle des termes de plus haut degr´e, cela donne 1 =a+b. Ainsi b= 1−a= 1−3 =−2.
Remarque.Pour trouverbetc, on aurait aussi pu faire ainsi : on multiplie l’´egalit´e (∗) parx2+4x+13 et on ´evalue cette nouvelle ´egalit´e enx:=−2 + 3i(car−2 + 3iet−2−3isont les racines complexes de x2 + 4x+ 13) pour obtenir, apr`es calculs, −6i−1 = b(−2 + 3i) +c. Cela permet d’en d´eduire que −1−6i= (c−2b) + 3bi. D’o`u un syst`eme `a r´esoudre avec les deux ´equations : c−2b=−1 et 3b=−6. D’o`ub =−2 puis c=−1 + 2b =−5.
Finalement,
F(x) =x−2− 3
x−2 + −2x−5 x2+ 4x+ 13
=x−2− 3
x−2+ 2x+ 5 x2+ 4x+ 13·
b) D´etermination de la primitive G de la fonction F, qui est d´efinie sur ]− ∞; 2[ et qui v´erifie G(1) =−3
2.
Int´eressons-nous d’abord `a la fraction 2x+ 5 x2+ 4x+ 13.
D’une part, la d´eriv´ee de x2 + 4x+ 13 ´etant 2x+ 4, on ´ecrit : 2x+ 5
x2+ 4x+ 13 = 2x+ 4 + 1
x2 + 4x+ 13 = 2x+ 4
x2 + 4x+ 13 + 1
x2+ 4x+ 13· D’autre part, la forme canonique de x2+ 4x+ 13 est :
x2+ 4x+ 13 = (x+ 2)2+ 9 = 9 1
9(x+ 2)2+ 1
= 9
"
x+ 2 3
2
+ 1
# .
On a alors
1
x2+ 4x+ 13 = 1 9h
x+2 3
2
+ 1i = 1
9 × 1
x+2 3
2
+ 1
Pour int´egrer, on va utiliser la formule 1+u′u2 avec ici u(x) = x+23 . Comme dans ce cas u′(x) = 13, on
´ecrit :
1
x2+ 4x+ 13 = 3 9 ×
1 3 x+2
3
2
+ 1 = 1 3×
1 3 x+2
3
2
+ 1 Avec la question 2a, on obtient :
F(x) =x−2− 3
x−2+ 2x+ 5 x2+ 4x+ 13 puis
F(x) =x−2−3× 1
x−2 + 2x+ 4
x2+ 4x+ 13 + 1 x2+ 4x+ 13
et enfin
F(x) =x−2−3× 1
x−2 + 2x+ 4
x2+ 4x+ 13 + 1 3×
1 3 x+2
3
2
+ 1
Les deux premi`eres fractions sont de la forme uu′ et la troisi`eme est de la forme 1+u′u2. Par cons´equent toutes les primitives G de F sur ]− ∞; 2[ sont donn´ees par :
G(x) = x2
2 −2x−3 ln|x−2|+ ln|x2+ 4x+ 13|+1
3arctan
x+ 2 3
+k, o`u k est une constante r´eelle quelconque.
Comme on cherche la primitive G deF qui v´erifie G(1) =−3
2, on r´esout : 12
2 −2−3 ln 1 + ln(18) + 1
3arctan (1) +k=−3 2 ce qui donne
−3
2 −0 + ln(18) + 1 3× π
4 +k =−3 2· D’o`u
k =−ln(18)− π 12·
Conclusion. La primitive G de la fonctionF, qui est d´efinie sur ]− ∞; 2[ et qui v´erifie G(1) =−3 2, est la fonction d´efinie par :
G(x) = x2
2 −2x−3 ln|x−2|+ ln|x2+ 4x+ 13|+1
3arctan
x+ 2 3
−ln(18)− π 12·
Fin du corrig´e
