X Maths B MP 2012 — Corrigé

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X Maths B MP 2012 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Jules Svartz (ENS Cachan) ; il a été relu par Yvon Vignaud (Professeur en CPGE) et Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à l’uni- versité).

Toute série entière converge absolument à l’intérieur de son disque ouvert de convergence. Sur le bord peut apparaître chacune des situations de convergence ab- solue, de convergence simple ou de divergence. Le problème porte essentiellement sur des outils pour étudier la divergence de séries entières en des points de ce bord.

• La première partie introduit la convergence au sens de Césaro, appelée C- convergence, d’une suite ou d’une série, qui est plus générale que la convergence usuelle. Une série entière P

cnzⁿ est C-convergente en z0 et de C-limite ℓ si la suite des moyennes desnpremières sommes partielles enz0converge versℓ.

Le sujet pose des questions classiques sur les suites et les séries entières. La der- nière question demande une certaine technicité calculatoire pour déterminer le domaine deC-convergence sur trois exemples.

• La seconde partie, indépendante de la première, propose d’établir le théorème de Kronecker qui généralise àncomplexes le résultat classique suivant : siz∈C est de module 1 sans être une racine de l’unité, alors l’ensemble{z^k|k∈N}est dense dans U={z∈C| |z|= 1}. On y trouve de nombreuses manipulations de sommes et d’exponentielles complexes. C’est la partie la plus longue et la plus technique du problème alors qu’elle porte essentiellement sur les suites numériques.

• La troisième partie reprend les trois exemples de la première partie. À l’aide du théorème de Kronecker, on détermine l’ensemble des valeurs d’adhérence des sommes partielles d’une série entière en un point deC-convergence se trouvant sur le bord du disque de convergence. Cette partie demande une grande part d’autonomie pour répondre aux questions.

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Indications

Partie I

1 La suite(mn)_n∈Na en fait la même limite que(an)_n∈N. Choisirε >0et couper la sommemn en deux parties.

2 Exprimeran en fonction de mn et demn−1. 3 L’expression Pⁿ

k=0

ak est une somme alternée dans le sens où les termes sont alternativement positifs et négatifs. Utiliser en outre la croissance de(|ak|)k∈N

pour majorer

Pn k=0

ak

.

4 Appliquer deux fois le résultat de la question 2. Que peut-on dire des rayons de convergence des sériesPcn

nzⁿ etP cnzⁿ? Partie II

6.a Pour toute fonction f dansE, introduire la fonctionx7→ 1 2x

Z x

−x

f(t) dt, et se ramener par combinaisons linéaires au cas des fonctionsx7→e^iλx.

6.b Pour montrer que les coefficients d’une combinaison linéaire S = P

aλeλ sup- posée nulle sont nuls, on pourra utiliser astucieusement la forme linéaire M, en remarquant que multiplier S par une fonction eλ0 permet de translater les indices, puisqueeλeλ0 =eλ+λ0.

7.b Partir de P^N

k=0

eⁱ⁽^N²^−k)tet remarquer que1−e^−ia=e⁻îa²(eîa² −e⁻îa²).

7.c Utiliser la question précédente en partant du terme de droite.

8.a Développer le produit !

8.b Dans le produit f gN, on ne s’intéresse en fait qu’aux produits de termes coli- néaires àe0.

9 Appliquer l’identité du parallélogramme àuk etuj. 10.a Utiliser le résultat de la question 8.c.

10.b Exploiter la question 9.

10.c Montrer tout d’abord quesin(πym)−−−−→

m→∞ 0 et utiliser ensuite la concavité de la fonctionsinsur[ 0 ;π/2 ]pour conclure.

11.b L’égalité lim

m→⁺∞N^′_m=⁺−∞est à comprendre comme

m→lim+∞N^′m=⁺∞ ou lim

m→+∞N^′m=⁻∞.

On pourra d’abord montrer que la suite(xm)_m∈Nn’est pas bornée, et procéder à une extraction.

12 Utiliser les deux suites construites dans les questions 10.c et 11.b. On pourra encore une fois procéder à une extraction, et s’assurer que la suite (Nm)_m∈N ainsi construite est strictement croissante, ce qui est utile dans la partie III.

Partie III

13.a Appliquer le théorème de Kronecker à la famille{x, π}.

13.b Appliquer le théorème de Kronecker à la famille{x, λ, π}.

13.c Appliquer le théorème de Kronecker à la famille{x, λ+x, π}.

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I. Convergence au sens de Césaro

Dans tout le corrigé, on désigne par U l’ensemble {z ∈ C | |z| = 1} des complexes de module 1.

1 Supposons(an)_n∈Nconvergente de limiteℓ∈C. Montrons que(mn)_n∈Nconverge elle aussi versℓ. Soientn∈Net ε >0. L’inégalité triangulaire donne

|mn−ℓ|6 1 n+ 1

Pn j=0

|aj−ℓ|

Puisque(an)_n∈Nconverge versℓ,

∃n1∈N ∀n>n1 |an−ℓ|6 ε 2 Par conséquent, pour toutn>n1

|mn−ℓ|6 1 n+ 1

n1−1

P

j=0

|aj−ℓ|+ 1 n+ 1

Pn j=n1

|aj−ℓ|

6 1

n+ 1

n1−1

P

j=0

|aj−ℓ|+ 1 n+ 1

(n−n1+ 1)ε 2

|mn−ℓ|6 1 n+ 1

n1−1

P

j=0

|aj−ℓ|+ε 2 De plus, lorsque n tend vers ⁺∞, la quantité 1

n+ 1

n1−1

P

j=0

|aj−ℓ| décroît vers 0 puisque la somme est constante par rapport à n et que 1/(n+ 1) tend vers 0 en décroissant. Par suite,

∃n2∈N ∀n>n2 1 n+ 1

n1−1

P

j=0

|aj−ℓ|6 ε 2 Prenonsn0= Max (n1, n2), on a donc montré

∃n0∈N ∀n>n0 |mn−ℓ|6ε Autrement dit, La suite(mn)_n∈Nconverge versℓ.

Cette démonstration est un classique à maîtriser.

Considérons maintenant la suite (an)_n∈N telle que an = (−1)ⁿ pour tout n.

Cette suite n’est pas convergente, mais (n+ 1)mn=a0+· · ·+an =

( 1 sinest pair 0 sinest impair Ainsi,mn−−−−→

n→∞ 0.

La suite((−1)ⁿ)n∈Nest C-convergente mais n’est pas convergente.

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2 Remarquons que pour toutnsupérieur ou égal à 1, an

n+ 1 =mn− n

n+ 1mn−1

et donc an

n =n+ 1 n

mn− n n+ 1mn−1

Si(an)_n∈Nest C-convergente versℓ, les deux suites(mn)_n∈Net(mn−1)n∈N^∗ont même limiteℓ. De plus, n

n+ 1 −−−−→

n→∞ 1 et n+ 1 n −−−−→

n→∞ 1donc

n→lim+∞

an

n = 0

3 Remarquons que la suite(an)_n∈Nproposée a ses termes alternativement positifs et négatifs. De plus, pour toutα >0, la fonctionf:

(R+−→R+

x 7−→x^α est strictement croissante. Soitn∈N.

• Sin= 2pest pair, on a, d’une part, P2p

k=0

ak=

p−1P

k=0

(a2k+a2k+1) +an=

p−1P

k=0

(f(2k)−f(2k+ 1))

| {z }

60car fcroissante

+an

donc P^2p

k=0

ak 6an. D’autre part, P2p

k=0

ak=a0+

p−1P

k=0

(a2k+1+a2k+2) =

p−1P

k=0

(−f(2k+ 1) +f(2k+ 2))

| {z }

>0carf croissante

>0

Par conséquent, sinest pair, 06 Pn k=0

ak 6n^α

• Sin= 2p+ 1 est impair, écrivons^2p+1P

k=0

ak= P2p k=0

ak+a2p+1. D’après le cas pair,

06 P2p k=0

ak 6(n−1)^α

donc −n^α= 0 +a2p+16

2p+1P

k=0

ak 6(n−1)^α−n^α60

Ainsi, sinest impair, −n^α6 Pn k=0

ak60

Par suite, pour toutes les valeurs den, paires ou impaires,

|mn|6 n^α

n+ 1 6 1

n^1−α −−−−→

n→∞ 0 carα∈] 0 ; 1 [ La suite de terme généralan= (−1)ⁿn^αest C-convergente de C-limite 0.