X Maths A MP 2014 — Corrigé

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X Maths A MP 2014 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Florian Metzger (ENS Cachan) ; il a été relu par Kévin Destagnol (ENS Cachan) et Guillaume Batog (Professeur en CPGE).

Ce sujet est consacré à l’étude de l’ensembleQ(V)des formes quadratiques non dégénérées définies sur un K-espace vectoriel V de dimension finie n (où Kest un corps commutatif de caractéristique nulle) et de leurs groupes d’isométries, à savoir les ensemblesO(q) ={f ∈GL(V)|q◦f =q}.

• Dans les préliminaires, on démontre des résultats classiques sur les formes quadratiques généralisant les résultats du cours sur les espaces préhilbertiens réels ou complexes. On y prouve en particulier que deux formes quadratiques équi- valentes ont des groupes d’isométries isomorphes.

• La première partie établit que toute forme quadratique non dégénérée est équi- valente à la forme quadratique (x1, . . . , xn) 7→ Pⁿ

i=1

aixi2 pour un certain n- uplet(a1, . . . , an)∈(K r{0})ⁿ.

• La deuxième partie étudie spécifiquement, pourr∈[[ 0 ; n]], des propriétés al- gébriques et topologiques du groupe orthogonalOr,n−rde la forme quadratique

Qr,n−r(x1, . . . , xn) = P^r

i=1

xi2− Pⁿ

i=r+1

xi2

appelégroupe pseudo-euclidien de signature(r, n−r)et qui englobe le cas du groupe orthogonal euclidien pour r = n. Ces groupes apparaissent en phy- sique relativiste. Une attention particulière est portée au groupeO2,1 dont on dénombre les quatre composantes connexes par arcs et dont on exhibe des gé- nérateurs, avant d’en déduire un morphisme surjectif entre O2,1 et le groupe, dit de Klein,Z/2Z×Z/2Z.

• Enfin, la troisième et dernière partie introduit la notion desomme orthogonale de formes quadratiques non dégénéréesq∈ Q(V)et q^′∈ Q(V^′):

∀(x, x^′)∈V×V^′ q⊥q^′(x, x^′) =q(x) +q(x^′)

On y établit des propriétés de la loi⊥, puis la transitivité de l’action deO(q) sur toute ligne de niveau de q: si u, vsont deux vecteurs avecq(u) =q(v)6= 0 alors il existeg∈O(q)telle queg(u) =v. Ces résultats sont mis à profit pour obtenir que, trois formes quadratiques non dégénéréesq,q1,q2 étant données, q1⊥qest équivalente àq2⊥qsi et seulement siq1est équivalente àq2; résultat utile en vue de prouver la décomposition de Witt : toute forme quadratique non dégénérée est équivalente àqan⊥m·hoùqanestanisotrope, c’est-à-dire qu’elle ne s’annule qu’en0, etm·hest la somme orthogonale demcopies de la forme h: (x1, x2)7→x1x2.

Après une première partie abordable car proche du cours, le sujet est de difficulté croissante à l’intérieur des deuxième et troisième parties, dont les dernières questions supposent d’avoir bien compris les résultats précédents, et exigent une certaine matu- rité mathématique. Signalons que le sujet est complètement hors programme à partir de la rentrée 2014. L’énoncé est toutefois suffisamment guidé pour être théoriquement

« faisable » sans avoir suivi de cours sur les formes quadratiques...

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Indications

Préliminaires 2 Penser à la formule de polarisation.

3.a Utiliser l’expression matricielleeq(x, y) = ^tX ΦB(q)Ye oùXetYsont les matrices des vecteursxet y dans la base canoniqueBdeKⁿ. Penser ensuite à :

det A6= 0 ⇐⇒ A∈GLn(K) 4.a Pourf ∈ L(E)exprimerq]◦f.

4.b Utiliser le lien entre noyau d’une forme linéaire et hyperplan.

4.c Rappelons que F⊕G = V⇐⇒(F∩G ={0} et F + G = V).

5 Utiliser un isomorphismef : V→V^′ tel queq^′◦f =q.

Partie 1

6.b Écrire la matrice de hdans la base canonique de K². Fixer ensuite un vecteur isotrope et utiliser la non dégénérescence de qpour construire l’isométrie de q àh; il suffit de la définir sur une base deVqui contient un vecteur isotrope.

6.c Comme en 6.b, fixer un vecteur isotrope et utiliser la non dégénérescence deq.

7.a Montrer queq_|{x}⊥ est non dégénérée.

Partie 2 8 DansRon dispose du signe.

9 ÉcrireQ^r,s◦f à l’aide de produits matriciels faisant intervenirMet Ir,s. 10 Utiliser la caractérisation séquentielle des fermés.

11 Commencer par montrer queO(n)est fermé, puis borné. Pour la bijection montrer que toute matrice deKr,s s’écrit par blocs sous la forme

Mr A B Ms

avec (Mr,Ms)∈O(r)×O(s),A = 0s,r et B = 0r,s

12 C’est une question de cours de première année.

13.a Remarquer queQ2,1(H) ={−1}.

13.b Pour la partie topologique, utiliser la continuité du déterminant.

14.a SiM =j(f), alorszf = M3,3.

14.b Calculer pour t, θ∈R le produit matricielj(rt)j(ρθ)j(f)oùρθ est la rotation d’angleθ et d’axeVect ((0,0,1))qui a pour matrice dans la base canonique

R_θ=



cosθ −sinθ 0 sinθ cosθ 0

0 0 1





Chercher alorst et θ tels quej(rtρθf)fixe le vecteur ^t( 0,0,1). Si M ∈SO⁺2,1

alorsM3,3= chtpour unt60.

14.c Montrer, par double inclusion, que SO⁺2,1=

j(ρθrtρα)|(θ, t, α)∈R³

et utiliser ce fait pour trouver un chemin continu dans SO⁺_2,1 entre deux ma- tricesMet M^′ fixées.

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16 En utilisant la partition deO2,1suivant ses quatre composantes connexes, trouver un ensemble Γ de quatre matrices « simples » de O2,1 telles que chaque composante soit égale à M(SO⁺_2,1) pour une certaine matrice M dans Γ. Puis vérifier queΓest un groupe.

Partie 3

17.b Sif : V^′→V^′′est un isomorphisme, considérer F :

(V×V^′ −→V×V^′′

(v, v^′) 7−→(v, f(v^′))

17.c SiV = V^′⊕V^′′trouver un isomorphisme deV^′×V^′′ surV.

18.c Montrer qu’alorsq(w+v)6= 0. Que dire de la conclusion siv=w?

19 C’est la question la plus difficile du sujet. Raisonner par récurrence surdim V3. L’initialisation est le point délicat : commencer par utiliser la question 6.a ainsi que l’hypothèse d’isométrie pour trouver deux vecteurs ayant même image par q2⊥q3 et utiliser la question 18.c en remarquant que le résultat qui y est dé- montré s’applique aussi dans le cas oùv=w. On pourra considérer l’orthogonal du sous-espaceZ = ({0V₂} ×Kv)^⊥, c’est-à-dire l’ensemble des vecteurs qui sont orthogonaux à tout vecteur de Zet montrer que toute isométrie préserve l’or- thogonalité des sous-espaces vectoriels. Le schéma global est de trouver une isométrie deV1×V3 surV2×V3 qui « fixe »V3, puis en montrant une stabi- lité des orthogonaux, d’établir qu’on a l’isomorphisme attendu. Pour l’hérédité, utiliser la diagonalisation.

20 Pour l’existence, raisonner par récurrence surn= dim Vet faire l’initialisation pour n= 1et n= 2avant de montrer que la propriété au rangn−1entraîne celle au rangn+ 1. En dimension>2on pourra montrer, lorsqueqest isotrope, l’existence d’un plan sur lequel q est isotrope, puis considérer son orthogonal.

Pour l’unicité, montrer d’abord quemest uniquement déterminé en utilisant la simplification démontrée à la question19ainsi que l’isotropie deh.

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Préliminaires sur les formes quadratiques et les isométries

1 Soit(a1, . . . , an)∈(K r{0})ⁿ. En notant q=ha1, . . . , anion a alors pour tous x= (x1, . . . , xn)∈Kⁿ,y= (y1, . . . , yn)∈Kⁿ ainsi queλ∈K

q(λx) = Pn i=1

ai(λxi)²=λ² Pn i=1

aixi2

=λ²q(x)

De plus, il est possible d’utiliser l’identité remarquable(a+b)²=a²+ 2ab+b²grâce à la commutativité deKpour obtenir

2eq(x, y) = Pn i=1

ai(xi+yi)²− Pn i=1

aixi2− Pn i=1

aiyi2= 2 Pn i=1

aixiyi

Comme la caractéristique est nulle,2est inversible dansK, ce qui permet de simplifier l’égalité précédente par2.

C’est ce fait qu’utilise implicitement l’énoncé pour définir q. En caractéris-e tique2, la théorie des formes quadratiques est totalement différente.

De la commutativité de K on déduit la symétrie de eq. Puis les règles de priorité d’opérations surKfournissent pour toutz= (z1, . . . , zn)∈Kⁿ,

e

q(x+λy, z) = Pⁿ

i=1

aixizi+λPⁿ

i=1

aiyizi =q(x, z) +e λq(y, z)e

La linéarité à gauche est établie et entraîne la linéarité à droite par symétrie deq.e Ce fait général est désormais tenu pour acquis dans la suite du corrigé.

Finalement, Pour tout(a1, . . . , an)∈(K r{0})ⁿ, l’application ha1, . . . , aniest une forme quadratique surKⁿ.

2 Notons FBS(respectivement FQ) l’ensemble des formes bilinéaires symétriques surV(respectivement quadratiques). Posons pourϕ∈FBS

qϕ:x7−→ϕ(x, x)

Soient maintenantϕ∈FBS, λ∈Ket(x, y)∈V². Montrons queqϕ ∈FQ. Il vient, en utilisant la bilinéarité deϕ,

qϕ(λx) =ϕ(λx, λx) =λ²ϕ(x, x) =λ²qϕ(x)

puis fqϕ(x, y) = 1

2(qϕ(x+y)−qϕ(x)−qϕ(y))

= 1

2(ϕ(x+y, x+y)−ϕ(x, x)−ϕ(y, y)) f

qϕ(x, y) = ϕ(x, y) (carϕ∈FBS)