X Maths A MP 2012 — Corrigé

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X Maths A MP 2012 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Christophe Fiszka (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Ce sujet porte sur l’algèbre hermitienne, plus précisément sur l’ensembleSU(2,C) des matrices unitaires de taille2 dont le déterminant est égal à 1. Il se compose de trois parties. Les résultats de la première sont utilisés dans la deuxième, et la troisième est indépendante.

• Dans la première partie, on définit d’abord un sous-espace vectoriel, noté L, deSU(2,C), stable par passage à l’opérateur(M,N)7−→[M,N] = M N−N M, que l’on appelle le crochet de Lie. On démontre ensuite des propriétés classiques de l’exponentielle matricielle et on établit la formuledet(exp(A)) = exp(Tr A), valable pour toute matrice complexeA, qui sera utile dans la suite.

• Dans la deuxième partie, on établit un théorème de réduction des matrices de SU(2,C), puis on démontre que l’exponentielle est une application surjec- tive mais non injective de l’espace vectoriel L sur SU(2,C). Enfin, on prouve que les seuls sous-groupes G de SU(2,C) tels que, si g appartient à G, alors P⁻¹gP est dans G pour tout P dans SU(2,C), appelés sous-groupes distin- gués deSU(2,C), sont{I2;−I2} et les sous-groupes triviaux {I2} et SU(2,C).

Le début de cette partie est assez simple et proche du cours, sans en être (les propriétés de l’exponentielle et la réduction des matrices unitaires sont plutôt des exercices classiques), mais sa fin est constituée des deux questions les plus délicates du problème.

• Enfin, la troisième partie commence par des calculs aisés de crochets de Lie pour aborder ensuite des questions de réduction.

Ce sujet n’est ni très long, ni très difficile ; il convenait donc d’être soigneux et rigoureux dans les raisonnements et les rédactions pour faire la différence avec les autres candidats. Présentant de nombreuses questions classiques, mais aussi d’autres demandant davantage de réflexion, il permet de réviser et d’approfondir l’ensemble du programme d’algèbre de deuxième année.

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Indications

Première partie

2.d TrigonaliserAet utiliser les résultats des questions 2.b et 2.c.

Deuxième partie 5.a CalculerkM Xk2 de deux façons.

6.a Pour M dans SU(2,C), commencer par diagonaliser M en base orthonormée à l’aide des éléments démontrés dans les questions 5.a et 5.b ; vérifier que la matrice de passage obtenue est dansU(2,C).

6.b Que vaut le produitF

eⁱ^θ 0 0 e⁻ⁱ^θ

F⁻¹? 7.a Transformer la différence et se servir de l’égalité

exp(|||A|||+|||B|||) = exp(|||A|||) exp(|||B|||).

7.b Utiliser les résultats des questions 2.d et 7.a.

7.c Faire appel aux propriétés établies dans les questions 2.b, 2.c et 6.a.

8.a Partir d’un élément deGdifférent deI2et−I2 et lui appliquer le résultat de la question 6.a.

8.c Construire des éléments de [

g∈G

{Tr g} à l’aide des propriétés démontrées aux questions 8.a et 8.b.

9 Remarquer que pour tout M ∈ SU(2,C), il suffit de démontrer que Tr M est dans l’union définie dans l’indication précédente, que l’on notera Tr G, pour prouver queMest dansG.

Troisième partie

12 Combien de valeurs propres distinctes un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie peut-il posséder ?

13 Montrer par récurrence quee(vk)est colinéaire àvkpour toutk∈Net quez(vk) est colinéaire àvk−1, pour toutk∈N^∗.

14.a Effectuer un raisonnement similaire à celui de la question 12.

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Première partie

1.a Notons E11=

1 0 0 0

E12= 0 1

0 0

E21= 0 0

1 0

et E22= 0 0

0 1

les matrices de la base canonique du C-espace vectoriel M₂(C). Alors, la famille (E11,E12,E21,E22,i E11,i E12,i E21,i E22)est une base du R-espace vectorielM₂(C) et par conséquent

dimRM₂(C) = 8 Démontrons que l’ensemble

L=n

A∈M₂(C)| ^tA +A = 0M₂(C) et Tr A = 0o

est un sous-espace vectoriel duR-espace vectorielM₂(C). Par définition,Lest inclus dansM₂(C)et, pour toute matriceM =

a b c d

dansM₂(C), M∈ L ⇐⇒ ^tM +M = 0M₂(C) et Tr M = 0

⇐⇒

a c b d

+ a b

c d

= 0 0

0 0

et a+d= 0

⇐⇒ a+a= 0, c+b= 0, b+c= 0, d+d= 0 et a+d= 0

⇐⇒ Re(a) = 0, d=−a, b=−c

⇐⇒ ∃(α, β, γ)∈R³ M =

iα −β+ iγ β+ iγ −iα

M∈ L ⇐⇒ ∃(α, β, γ)∈R³ M =α i 0

0 −i

+β

0 −1 1 0

+γ

0 i i 0

Avec les notations de l’énoncé, ceci prouve que L= VectR(E,F,G)

L’ensembleLest donc un sous-espace vectoriel de M₂(C)sur R, de dimension infé- rieure ou égale à3. Vérifions que la famille(E,F,G)est libre surR. Soit(α, β, γ)∈R³. Supposons queαE +βF +γG = 0M₂(C). Alors

iα −β+ iγ β+ iγ −iα

= 0 0

0 0

Il vientα= 0et β+ iγ= 0. Commeβ et γsont des réels, ils sont nuls. On conclut que la famille(E,F,G)estR-libre. Finalement

(E,F,G)est une base du R-espace vectorielLetdimRL= 3.

Notons que la famille(E,F,G) est égalementC-libre, mais ce n’était pas la question posée ici.

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1.b Calculons[E,F],[F,G]et [G,E]. Par définition, [E,F] =

i 0 0 −i

0 −1 1 0

−

0 −1 1 0

i 0 0 −i

=

0 −i

−i 0

− 0 i

i 0

[E,F] =

0 −2 i

−2 i 0

[E,F] =−2 G En outre, [F,G] =

0 −1 1 0

0 i i 0

− 0 i

i 0

0 −1 1 0

=

−i 0 0 i

− i 0

0 −i

[F,G] =

−2 i 0 0 2 i

d’où [F,G] =−2 E

Enfin, [G,E] =

0 i i 0

i 0 0 −i

− i 0

0 −i

0 i i 0

=

0 1

−1 0

−

0 −1 1 0

[G,E] =

0 2

−2 0

c’est-à-dire [G,E] =−2 F

On constate que [E,F], [F,G] et [G,E] sont dans L. Leurs opposés [F,E], [G,F] et [E,G] sont alors également des éléments de l’espace vectoriel L.

Il en découle, par stabilité par combinaisons linéaires, que L est stable par l’opérateur[·,·], ce qui n’était pas évident a priori.

2.a SoitA∈M_n(C). Pour tout entier naturelk, puisque d’après le cours||| · |||est une norme d’algèbre surM_n(C),

A^k k!

6|||A|||^k k!

Rappelons qu’une norme N sur une algèbreAest dite une norme d’algèbre lorsque N(1A) = 1et

∀(x, y)∈ A² N(x y)6N(x) N(y) La sérieP

|||A|||^k/k!étant une série numérique convergente, la sérieP

A^k/k!converge absolument. Comme(M₂(C),||| · |||)est un espace vectoriel normé de dimension finie donc un espace de Banach, on conclut

La sériePA^k/k!converge.