X Maths A MP 2013 — Corrigé

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X Maths A MP 2013 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Jules Svartz (ENS Cachan) ; il a été relu par Pierre- Elliott Bécue (ENS Cachan) et Guillaume Batog (Professeur en CPGE).

Ce sujet d’algèbre porte sur l’étude de 3 opérateurs « quantiques » E, F et H et leurs relations : ce sont des endomorphismes de l’espace vectorielVde dimension infinie des fonctions de Zvers Ctelles que l’ensemble {k ∈Z |f(k) 6= 0} soit fini.

C’est un sujet long, composé de quatre parties qui totalisent 43 questions.

• La première partie a d’abord pour objet de définir une base deVet de construire les opérateursE,FetHpar leurs valeurs sur les éléments de cette base. La suite est consacrée à la détermination de conditions surFetHpour que les relations H◦E = E◦H + 2EpuisE◦F = F◦E + Hsoient vérifiées. En fin de partie, il est demandé de démontrer que la sous-algèbre d’endomorphismes engendrée par l’un des opérateursE,FouHest isomorphe à une algèbre de polynômes.

• La deuxième partie introduit des objets qui seront utiles dans la quatrième partie : d’une part, un endomorphisme sur un sous-espace vectoriel de V de dimension finie, d’autre part un projecteur deV sur ce sous-espace.

• La troisième partie propose de déterminer des conditions surFet Hpour que les relationsH◦E = q²E◦H puis E◦F = F◦E + H + H⁻¹ soient vérifiées.

Elle est, comme la première partie, assez calculatoire.

• Enfin, dans la quatrième partie, on s’aperçoit que sous les conditions trouvées dans la troisième partie, les opérateurs E, F et H vérifient une condition de compatibilité avec le projecteur défini dans la deuxième partie. On se place essentiellement dans le cadre rassurant de la dimension finie ; encore fallait-il parvenir jusque-là.

Ce long sujet d’algèbre linéaire porte sur une large part du programme d’algèbre de première et deuxième années, avec en plus quelques questions d’arithmétique.

L’ensemble est abordable, mais le cadre inhabituel de la dimension infinie a certai- nement dérouté nombre de candidats.

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Indications

Partie I 2 Déterminer explicitement l’inverse.

3.a Montrer que{vi}i∈Z est une famille libre et génératrice deV.

3.b CalculerE(vi)(k)pour tousi, k∈Z.

6.a Se restreindre à l’espaceVect{vi |i∈Supp(f)}.

6.b Pour W un sous-espace comme dans l’énoncé, montrer tout d’abord que H possède une valeur propre dans W en utilisant la question précédente, puis montrer qu’un vecteur propre associé est colinéaire à l’un des{vi}i∈Z.

7.b CalculerEⁱ(v0)et Fⁱ(v0)pour touti∈Z.

8.a Il existe un morphisme d’algèbre surjectifC[X]→C[E]. Il ne reste qu’à montrer l’injectivité !

8.c Utiliser le fait que les valeurs propres deHannulent tout polynôme annulateur deH.

Partie II 9 Utiliser le théorème de Gauss.

10.b Résoudre le système induit par l’équationGaw=λw, pourwun vecteur colonne de tailleℓetλ=bqⁱ avec06i < ℓ.

11 Vérifier que l’image dePa est contenue dansWℓ et quePa induit l’identité sur ce sous-espace.

Partie III

15.b L’énoncé parle ici de la plus petite période strictement positive deλ.

15.c Calculerµ(i+t)−µ(i). Montrer que si cette quantité est nulle pour touti∈Z, un certain polynôme admet tous les complexesq²ⁱ comme racines.

16.c Montrer que toutes les valeurs propres obtenues en question 16.b sont égales.

16.e L’équationR(λ(0), µ(0), q) =zse ramène à une équation de degré 2 enλ(0).

Partie IV 17.b Utiliser le fait queλestℓ-périodique.

19 Montrer quePa◦E◦PaetPa◦Ecoïncident sur les vecteurs de la base{vi}i∈Z. 20.a Pour que la question ait un sens, on pourra supposer quePaest dorénavant une

application dont l’espace d’arrivée estWℓ.

20.b Montrer que le sous-espace considéré est le noyau dePa.

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I. Opérateurs sur les fonctions à support fini

1.a La fonction nulle ayant un support vide, celui-ci est en particulier fini donc V6=∅. De plus, pour tout(λ, f, g)∈C×V²,

Supp(λf+g)⊂Supp(λf)∪Supp(g)⊂Supp(f)∪Supp(g)

Ainsi Supp(λf+g)est un ensemble fini etλf+g appartient àV. Par conséquent, Vest un sous-espace vectoriel deC^Z.

1.b Soit(λ, f, g)∈C×C^Z×C^Z. Alors pour tout k∈Z E(λf+g)(k) = (λf+g)(k+ 1)

=λf(k+ 1) +g(k+ 1) E(λf+g)(k) = λE(f)(k) + E(g)(k) de sorte queE(λf+g) =λE(f) + E(g). Par conséquent,

E∈ L(C^Z) De plus, pour toutf ∈C^Zet toutk∈Z,

E(f)(k)6= 0 ⇐⇒ f(k+ 1)6= 0 ⇐⇒ k+ 1∈Supp(f)

Ainsi, Supp(E(f)) = {k−1 | k ∈ Supp(f)}. En particulier si f ∈ V, Supp(f) et Supp(E(f))sont tous deux finis. Par suite,

Vest stable par E.

2 Considérons E^′:

(C^Z −→C^Z

f 7−→(k7→f(k−1))

En raisonnant de manière similaire à la question précédente, on montre que E^′ est un élément deL(C^Z)et que, de plus,V est stable parE^′. Notons toujoursE^′ l’endomorphisme induit surV, alors pour toute fonctionf ∈V,E^′◦E(f) = E◦E^′(f) =f. Par conséquentEest inversible d’inverseE^′ et en particulier

E∈GL(V)

Notons que comme V est de dimension infinie (ce qui est un corollaire du résultat de la question suivante), il ne suffit pas de montrer queEest injectif ou surjectif pour conclure que c’est un endomorphisme inversible.

3.a Pour montrer que la famille {vi}i∈Z est une base de V, il suffit de montrer qu’elle est libre et génératrice.

SoitIun ensemble fini deZ, et(λi)i∈I∈C^I. Supposons queP

i∈I

λivi = 0. Alors

∀k∈I 0 =

P

i∈I

λivi

(k) =λk

Par suite, la famille{vi}i∈Z est libre.

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Soit f ∈ V. Puisque Supp(f) est fini, on peut écriref = P

i∈Supp(f)

f(i)vi. Ainsi, la famille{vi}i∈Z est une famille génératrice deV.

La famille {vi}i∈Z est une base deV.

3.b Pourk∈Z, E(vi)(k) =vi(k+ 1) =

( 1 sik=i−1

0 sinon

Par conséquent, E(vi) =vi−1

4 Soiti∈Z. On a H◦E(vi) = H(vi−1) =λ(i−1)vi−1

et (E◦H + 2E)(vi) = E(λ(i)vi) + 2vi−1=λ(i)E(vi) + 2vi−1= (λ(i) + 2)vi−1

Deux applications linéaires sont égales si et seulement si elles coïncident sur une base de l’espace de définition. Par suite,

H◦E = E◦H + 2E ⇔ ∀i∈Z λ(i−1) =λ(i) + 2

⇔ ∀i>0 λ(i) =λ(i−1)−2 et λ(−i) =λ(−i+ 1) + 2

⇔ ∀i>0 λ(i) =λ(0)−2i et λ(−i) =λ(0) + 2i H◦E = E◦H + 2E ⇔ ∀i∈Z λ(i) =λ(0)−2i

5 Soiti∈Z. On a E◦F(vi) = E(µ(i)vi+1) =µ(i)E(vi+1) =µ(i)vi

et (F◦E + H)(vi) = F(vi−1) +λ(i)vi= (µ(i−1) +λ(0)−2i)vi (question 4) d’où E◦F = F◦E + H ⇐⇒ ∀i∈Z µ(i) =µ(i−1) +λ(0)−2i

Montrons l’équivalence entre cette dernière proposition et celle de l’énoncé. Suppo- sonsµ(i)−µ(i−1) =λ(0)−2ipour touti∈Z. Alors pour tout i>0

µ(i) =µ(0) +

i

P

k=1

(λ(0)−2k)

=µ(0) +iλ(0)−i(i+ 1) µ(i) =µ(0) +i(λ(0)−1)−i²

de plus µ(−i) =µ(0) +

i

P

k=1

(µ(−k)−µ(−k+ 1))

=µ(0) +

i

P

k=1

(−2(k−1)−λ(0))

=µ(0)−i(i−1)−λ(0)i µ(−i) =µ(0)−i(λ(0)−1)−i²

Par suite, pour touti∈Z,µ(i) =µ(0) +i(λ(0)−1)−i². En conclusion, E◦F = F◦E + H ⇐⇒ ∀i∈Z µ(i) =µ(0) +i(λ(0)−1)−i²