X Maths 1 MP 2010 — Corrigé

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/20

X Maths 1 MP 2010 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (Chercheur à l’INRIA) ; il a été relu par Emmanuel Cornet (ENS Lyon) et Guillaume Batog (ENS Cachan).

Cette épreuve se propose de répondre à quelques questions de calcul différentiel, principalement dans M_n(R). Elle se compose de trois parties précédées de deux questions préliminaires.

• Les questions préliminaires ont pour but de montrer un résultat concernant des formes linéaires surRⁿ, qui sera utilisé à de nombreuses reprises dans le reste de l’épreuve.

• Dans la première partie, on considère une matrice symétrique réelle A et on montre que la fonction x7→ hx|Axidéfinie sur la sphère unité de Rⁿ atteint son maximum en un vecteur qui est nécessairement un vecteur propre deA.

• On montre dans la deuxième partie que la norme usuelle, définie surM_n(R)par

kMk=

P

16i,j6n

mij2

1/2

est minorée sur SLn(R) et atteint son minimum exactement en les matrices orthogonales, où elle vaut√n.

• Enfin, dans la troisième partie, on démontre notamment la formule classique (et hors-programme) donnant l’expression de la différentielle de la fonction exponentielle en toute matriceX∈M_n(R):

d exp_X(Y) = exp(X)

+P∞ n=0

(−1)ⁿ ϕ(X)ⁿ (n+ 1)!(Y)

oùϕ(X)est l’endomorphisme deM_n(R)défini parϕ(X)(Y) = XY−YX.

Rédigé de manière attentive, ce sujet guidait les candidats dans la démonstra- tion progressive de plusieurs résultats intéressants en eux-mêmes, à l’aide des seuls outils du programme. Comme il parcourt une très large partie du programme de MP, il permet à la fois de réviser et d’enrichir sa culture mathématique.

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Indications

1.a Discuter en fonction du rang deα.

1.b Montrer le résultat plus général suivant : pour tout r > 1 et toutes formes linéairesα, β1, . . . , βrdéfinies sur unR-espace vectoriel de dimension finie, on a

Tr i=1

Kerβi ⊂Kerα =⇒ α∈Vect (β1, . . . , βr)

2 Différentier la relationkγ(t)k²= 1.

3 PoserΓ(t) =x+tvpuisγ(t) = Γ(t)/kΓ(t)k.

4 Justifier queKerhx| ·i ⊂Ker dfx et utiliser la question 1.a.

5.a Écrire un développement limité à l’ordre 1 def(x+h).

5.b Appliquer à f le résultat de la question 4.

6.c Développer l’expressionq(M + H)pour(M,H)∈ Mⁿ(R)². 7 Montrer quedet(M +tEij) = det(M) +tmeij.

8 Utiliser la relationSLn(R) =f⁻¹({0}).

9 Montrer la formule pourM∈M_n(C)triangulaire, puisM∈M_n(C)quelconque.

10 Utiliser la question précédente et la question 7 pour montrer que det(γ(t)) = e^t^{Tr (M}⁻¹^H)= 1

11.b Montrer qu’il existeλ∈Rtel quedqM=λdfM, puis que ^tM M = (λ/2) In. 13.a PoserA(t) = C1(αt)C2(βt)

14.b Justifier que pourHsuffisamment petit, In+ Hest inversible et

(In+ H)⁻¹=

+P∞ n=0

(−H)ⁿ= In−H +O(N(H)²) oùNest la norme subordonnée à la norme euclidienne.

15.b Montrer quea et b sont de classe C¹ sur Ret sont solutions du problème de Cauchy

(Y^′(t) = Y(t)dfIn(X) Y(0) = 0

15.c Prendre pour f la fonction déterminant et utiliser le résultat de la question 7 et l’égalitéa(1) =b(1).

15.d Utiliser la question 15.b ent= 1pour de bonnes fonctionsaet b.

16.b Admettre que la fonction exponentielle est de classeC² surM_n(R)et utiliser l’identité de Schwarz en(t, s)pour u.

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Préliminaires

1.a Rappelons que la dimension de l’image d’une forme linéaire sur Rⁿ est soit 0 soit 1 suivant que la forme linéaire est nulle ou non. Le théorème du rang certifie alors que la dimension de son noyau estnsi elle est nulle oun−1sinon.

Considérons deux formes linéaires α et β sur Rⁿ telles que Kerβ ⊂ Ker α et construisons un réelλvérifiant α=λβ. Si α= 0, alorsλ= 0convient. Supposons désormais queα 6= 0. Dans ce cas,dim Kerα=n−1. Puisque Kerβ ⊂Kerα et dim Kerβ >n−1, on adim Kerβ=n−1. Par suite,

Kerα= Kerβ

Soitx0∈Rⁿ un vecteur directeur d’un supplémentaire deKerαde sorte que Rⁿ= Kerα⊕Rx0

Puisqueα(x0)6= 0, on aβ(x0)6= 0carαetβ ont le même noyau. Posonsλ= α(x0) β(x0). Soitx∈Rⁿ. Écrivons

x=xk+µ x0

avecxk∈Kerαet µ∈R. Calculons

α(x) =α(xk+µx0)

=α(xk) +µα(x0)

=µα(x0) carα(xk) = 0

=λµβ(x0) par définition deλ

=λβ(xk) +λµβ(x0) carβ(xk) = 0

=λβ(xk+µx0) α(x) =λβ(x)

En conclusion, α=λβ

1.b Montrons par récurrence surr∈N^∗ la propriété

P(r) : « Pour toutR-espace vectorielEde dimension finie, toute famille der+ 1formes linéairesα, λ1, . . . , λrdéfinies sur Etelle que

Tr i=1

Ker βi⊂Kerα

vérifie également α∈Vect (β1, . . . , βr) »

• P(1) : SoitEunR-espace vectoriel etαetβ deux formes linéaires surEtelles queKerβ⊂Kerα. SiEest de dimension nulle, alors toutes les formes linéaires sur E sont nulles et le résultat est trivial :α =β ∈Vect (β). Sinon, E est de dimension n ∈ N^∗. Dans ce cas, à l’aide d’une base de E, on construit un isomorphismeϕdeEdansRⁿ. Les applications

e

α=α◦ϕ⁻¹ et βe=β◦ϕ⁻¹ sont des formes linéaires surRⁿ qui vérifient

Ker αe=ϕ(Kerα) et Kerβe=ϕ(Kerβ)

Puisque Kerβ ⊂Kerαpar hypothèse, on aKer βe⊂Kerα. Le résultat de lae question précédente assure alors qu’il existe λ ∈ R tel que αe =λβ. Puisquee α=αe◦ϕet β=βe◦ϕ, on en déduit queα=λβ.

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• P(r) =⇒P(r+ 1): SoitEunR-espace vectoriel de dimension finie. Considé- ronsr+ 2formes linéaires définies sur E, notéesα, β1, . . . , βr+1telles que

r+1T

i=1

Kerβi⊂Kerα PosonsF =

Tr i=1

Kerβi et notonsαe et βer+1 les restrictions respectives de αet deβr+1 à F. Constatons que

Kerαe= Kerα∩F et Kerβer+1= Kerβr+1∩F L’inclusion précédente se réécrit

F∩Kerβr+1⊂Kerα Par conséquent, F∩Kerβr+1⊂Kerα∩F

soit Kerβer+1⊂Kerαe

En appliquant le résultatP(1) aux formes linéaires surFque sontαeet βer+1, on obtient l’existence deλr+1∈Rtel queαe=λr+1βer+1.

Définissons une nouvelle forme linéaire surEen posant γ=α−λr+1βr+1

Constatons que, pour x∈ T^r

i=1

Kerβi= F, on a

γ(x) = α(x)−λr+1βr+1(x)

=α(x)e −λr+1βer+1(x) carx∈F

γ(x) = 0 par définition deλr+1

Ceci montre que T^r

i=1

Kerβi ⊂Kerγ

On peut donc appliquer l’hypothèse de récurrence à la famille der+ 1formes linéaires γ, β1, . . . , βr sur E pour conclure qu’il existeλ1, . . . , λr ∈R tels que γ=λ1β1+· · ·+λrβr. Ceci s’écrit encore

α=λ1β1+· · ·+λr+1βr+1

On a ainsi démontré l’hérédité de la propriétéP.

• Conclusion : On a donc montré queP(r)est vraie pour toutr, c’est-à-dire Pour tout r > 1 et toutes formes linéaires α, β1, . . . , βr définies sur unR-espace vectoriel de dimension finie, on a

Tr i=1

Kerβi ⊂Kerα =⇒ α∈Vect (β1, . . . , βr)

Le résultat demandé par l’énoncé correspond au cas E =Rⁿ pour un certainn∈N^⋆.