I.U.T. de Brest Ann´ee 2015-16
G.M.P. 2. (PE) Devoir du 30/03/2016
Compl´ements de maths (M4322) Dur´ee : 1h30
Seul document autoris´e : le formulaire distribu´e en d´ebut de premi`ere ann´ee Calculatrice, polycopi´e de cours, TD non autoris´es
Toutes les r´eponses devront ˆetre justifi´ees
Exercice 1 ( ≃6,5 points). On consid`ere la fraction rationnelle F d´efinie par F(x) = 3x5−9x3−6x2+ 5
(x2+x)2 · D´ecomposer en ´el´ements simples sur R la fraction rationnelle F.
Exercice 2 ( ≃13,5 points).
1. On consid`ere les polynˆomes P etQ d´efinis par :
P(x) =x2+ 4x+ 3 et Q(x) =x4+ 4x2+ 3.
a) Factoriser le polynˆome P sur R.
b) En d´eduire la factorisation du polynˆome Qsur R. 2. On consid`ere la fraction rationnelle F d´efinie par
F(x) = −x2+ 4x+ 7 x4+ 4x2+ 3 · a) D´ecomposer en ´el´ements simples sur Rla fraction rationnelle F. b) D´eterminer une primitive G de la fonction F sur R.
3. Le nombre t d´esignant un r´eel quelconque, on d´efinit l’int´egrale I(t) par I(t) =
Z t
1
F(x) dx= Z t
1
−x2 + 4x+ 7 x4+ 4x2+ 3 dx·
Calculer la limite de I(t) lorsque t tend vers +∞ (donner le r´esultat en simplifiant au maximum l’expression trouv´ee).
Fin du devoir
