I.U.T. de Brest Ann´ee 2020-2021
G.M.P. 2 Devoir du 20/10/2020
Fonctions de plusieurs variables (M3301) Dur´ee : 1h
• Seul document autoris´e : le formulaire distribu´e en premi`ere ann´ee
• Calculatrice et t´el´ephone portable interdits
• Toutes les r´eponses devront ˆetre justifi´ees
• Enonc´e `a rendre avec la copie´
Nom : Pr´enom :
Exercice 1 (≃7 points). On consid`ere f la fonction de deux variables d´efinie sur R2\ {(0,0)}par : f(x, y) = ln(x2+y2) +x2+ 5x
1. Calculer les d´eriv´ees partielles premi`eres de f.
2. D´eterminer les ´eventuels points critiques de f. Combien y a-t-il de points critiques ? 3. Calculer les d´eriv´ees partielles secondes de f.
4. Parmi les points critiques trouv´es `a la question 2, choisir celui dont l’abscisse est la plus petite et d´eterminer sa nature (maximum local, minimum local...).
Exercice 2 ( ≃7,5 points). On consid`ere f la fonction de deux variables d´efinie par :
f(x, y) =
px(3x−4y+ 4) 2x−y
1. D´eterminer puis repr´esenter dans un rep`ere orthonorm´e le domaine de d´efinition de la fonction f.
2. D´eterminer puis repr´esenter, sur le dessin effectu´e `a la question 1, la ligne de niveau 1 de la fonc- tion f.
Exercice 3 ( ≃5,5 points). On consid`ere f la fonction de deux variables d´efinie sur R2 par : f(x, y) = (x2+y2−8)(x2+y2)
1. Calculer et factoriser les d´eriv´ees partielles premi`eres de f.
2. D´eterminer les points critiques de f. Combien y a-t-il de points critiques ? Repr´esenter ces points critiques dans un rep`ere orthonorm´e du plan.
3. V´erifier que (2; 0) est un point critique de f. On admet que, pour ce point critique, rt−s2 = 0 (avec les notations habituellement utilis´ees en cours).
D´eterminer alors la nature du point critique (2; 0) : maximum local, minimum local...
Fin du devoir
