Aix Marseille Universit´e -
Licence Math´ematiques G´en´erales `eme ann´ee
Fonctions de plusieurs variables TD 4 : Formules de Taylor-Extrema
1 Un peu de cours
Exercice 1 (*)
1. Soitf(x, y) =x4+e−yx3 d´efinie surR2. Ecrire la formule de Taylor-Young en un point quelconque, `a l’ordre 2, puis `a l’ordre 3.
2. Mˆemes questions mais avec la formule de Taylor avec reste int´egrale.
3. Mˆemes questions (1 et 2) pour la fonction f(x, y, z) = x3z2+y−z2, d´efinie sur R3.
Exercice 2
(*) Soitn≥1 et Ω un ouvert de Rn. D´emontrer que toute application de classeC1 sur Ω est localement lipschitzienne.
Exercice 3
(*) Soit Ω un ouvert convexe de Rn et f : Ω → R. Montrer que f est convexe si et seulement si pour tout a, b∈Ω la fonction d’une variable r´eelle
F(t) :=f(t a+ (1−t)b) est convexe sur [0,1].
Exercice 4
Soit Ω un ouvert convexe de Rn et f : Ω → R une application de classe C2. Montrer que
f est convexe ⇔ ∀a∈Ω, Haf est une matrice semi-d´efinie positve.
Exercice 5 (Examen de mai 2016)
(*) Soit la fonction de deux variables d´efinie surR2 par f(x, y) :=
( x3y
x2+y4 si (x, y)6= (0,0), 0 si (x, y) = (0,0).
1. Calculer les d´eriv´ees partielles ∂f∂x(x, y) et ∂f∂x(x, y) en tout point (x, y)6= (0,0) et en (x, y) = (0,0).
2. Montrer quef est de classeC1(R2).
3. Ecrire la formule de Taylor avec reste int´egral l’ordre 1, au point (1,1).
4. Calculer ∂x∂2f2(1,1), ∂x∂y∂2f (1,1) et ∂∂y2f2(1,1).
5. Ecrire la formule Taylor-Young l’ordre 2 au point (1,1).
2 Recherche d’extrema
Exercice 6
(*) D´eterminer les extrema locaux de l’application f d´efinie surR2 par : f(x, y) =x2−xy+y2−3x−2y+ 1.
Exercice 7 (Examen de juin 2016)
(*) Soit l’applicationf d´efinie sur R2 parf(x, y) :=x4+y4−4xy+ 1.
1. D´eterminer les points critiques def.
2. Donner la nature de chacun de ces points critiques (maximum local, minimum local, ou point-selle).
Exercice 8 (Examen de mai 2017) (*) Soit l’application dfinie surR2 par
f(x, y) = 3xy−x3−y3. 1. (a) Trouver les points critiques def.
(b) Donner la nature de chacun des points critiques trouvs dans la question prc- dente.
(c) Justifier que f n’est pas minore surR2. 2. SoitA le sous-ensemble :
A={(x, y)∈[−1,2]×R; 0≤y≤x2+ 1}.
(a) Justifier que f est borne sur A et qu’il existe (x1, y1) ∈A et (x2, y2) ∈A tels que
f(x1, y1)≤f(x, y)≤f(x2, y2), ∀(x, y)∈A.
(b) En utilisant la question (1-b), montrer que (x1, y1) est sur la frontire deA.
Exercice 9 (Examen de juin 2017)
(*) On consid`ere la fonction f(x, y) =xey+yex.
2. Pourx <0, on poseϕ(x) =xex1 +ex. Montrer queϕ s’annule uniquement en−1 sur l’intervalle ]− ∞,0[.
3. En d´eduire que le seul point critique est le point (−1,−1).
4. D´eterminer la nature de (−1,−1).
Exercice 10
D´eterminer les extrema des fonctions d´efinies surR2 par : 1. f(x, y) =x3+ 3x2y−15x−12y;
2. f(x, y) =−2(x−y)2+x4+y4.
Exercice 11
Pour chacune des fonctions suivantes, ´etudier la nature du point critique donn´e : 1. f(x, y) =x2−xy+y2 au point critique (0,0) ;
2. f(x, y) =x2+ 2xy+y2+ 6 au point critique (0,0) ;
3. f(x, y) =x3+ 2xy2−y4+x2+ 3xy+y2+ 10 au point critique (0,0).
Exercice 12
(*) Soit l’applicationf d´efinie sur R2 par
f(x, y) = sinx+y2−2y+ 1.
1. D´eterminer les points critiques def.
2. Donner la nature de chacun de ces points critiques (maximum local, minimum local, ou point-selle).
Trouver les points critiques de la fonction f suivante et d´eterminer si ce sont des minima locaux, des maxima locaux ou des points selle.
Exercice 13 (*)
1. Soit f une fonction r´eelle d’une variable r´eelle de classe C2 dans un voisinage de 0 ∈ R telle que f(0) = 0 etf0(0) 6= 0. Montrer que la fonction r´eelle F des deux variables x ety d´efinie dans un voisinage de (0,0) parF(x, y) =f(x)f(y) n’a pas d’extremum relatif en (0,0). Est-ce que le point (0,0) est quand mˆeme critique ? Si oui caract´eriser sa nature.
2. D´eterminer les points critiques, puis les minima et les maxima locaux de f(x, y) = sin(2πx) sin(2πy).
Exercice 14
Trouver les extrema locaux des applications f d´efinies par : 1. 3xy−x3−y3;
2. −2(x−y)2+x4+y4; 3. x2y2(1 + 3x+ 2y) ; 4. 2x+y−x4−y4;
5. (x+y)(1+x)(1+y)xy , x, y >0 ; 6. xey +yex;
7. x(ln2x+y2),x >0 ;
8. »x2+ (1−y)2+»y2+ (1−x)2; 9. x2+xy+y2+ 2x+ 3y;
10. x4+y4−4xy; 11. x2(y−1)3(z+ 2)3.
Exercice 15
D´eterminer les extr´ema des fonctionsf d´efinies surR2 par : f(x, y) =x2−xy+y2+ 3x−2y+ 1,
f(x, y) =x3+ 2xy+y2−1, f(x, y) = 3xy−x3−y3, f(x, y) =x4+ 14x2y2−7y4−4x+ 6.
Exercice 16
(*) Soit f :R2→R d´efinie par
f(x, y) =x3y2−x4y2−x3y3.
1. Montrer quef est de classeC∞ et calculer ses d´eriv´ees partielles.
2. D´eterminer :
(a) la diff´erentielle de f au points (1,0) et (3,−2),
(b) l’´equation du plan tangent au graphe de la fonction f au point (1,1, f(1,1)) , (c) la d´eriv´ee de f en (−1,2) suivant le vecteur (−1,−3).
3. Ecrire la formule de Taylor-Young l’ordre 2 pour la fonctionf au point (0,0).
4. D´eterminer les points critiques de la fonction f.
5. Ecrire la matrice hessienne de la fonction. Peut-on utiliser le th´eor`eme de Schwartz dans le calcul de la matrice hessienne ? Si oui, comment peut-on l’utiliser ? Justifier.
6. Ecrire la formule de Taylor def l’ordre 2 en (0,0).
7. D´eterminer la nature des points critiques def.
8. Soit M1, M2, S respectivement l’ensemble des minima locaux, l’ensemble des
Exercice 17 (*) Soit
S={(x, y)∈R2|x2+y2= 1}, etf :R2→R d´efinie par
f(x, y) =
arctan 1
(x2+y2−1)2, (x, y)∈/S π
2, (x, y)∈S
.
1. Montrer quef est continue.
2. Montrer quef est born´ee.
3. D´eterminer l’image de f. 4. Est-ce quef est diff´erentiable ?
5. D´eterminer les points critiques def et leur nature.
Exercice 18 (*) Soit
f(x, y) :=x2+xy+y2, (x, y)∈R2. 1. Justifier quef qu’il existe a1, a2∈ B(0,1) tels que
f(a1)≤f(x, y)≤f(a2) ∀(x, y)∈ B(0,1).
2. Montrer quea1 ∈ B(0,1) et que a2∈ S(0,1).
3. Trouvera2.
