I.U.T. de Brest Ann´ee 2020-2021
G.M.P. 2 Devoir du 20/11/2020
Fonctions de plusieurs variables (M3301) Dur´ee : 1h30
• Seul document autoris´e : le formulaire distribu´e en premi`ere ann´ee
• Calculatrice et t´el´ephone portable interdits
• Toutes les r´eponses devront ˆetre justifi´ees
• Tous les r´esultats d’int´egrales devront ˆetre simplifi´es au maximum
• La r´edaction comptera pour une part non n´egligeable de la note
• Enonc´´ e `a rendre avec la copie
Nom : Pr´enom :
Exercice 1 (' 3,75 points). Dans un rep`ere orthonorm´e (O,~i,~j) du plan, on consid`ere les trois points dont les coordonn´ees sont les suivantes :
P (1; 1) ; Q(1; 2) ; R(3; 2).
On note D l’int´erieur du triangle P QR.
1. Repr´esenter le domaineD dans un rep`ere orthonorm´e du plan.
2. Calculer
I = Z Z
D
(2x−8y) dxdy.
Exercice 2 ('3,75 points). Consid´erons D le domaine du plan d´efini par :
D={(x, y)∈R2 / y 60 ; x+y60 ; x2+y2 64}.
1. Repr´esenter le domaineD dans un rep`ere orthonorm´e du plan (trac´e `a justifier).
2. Calculer
J = Z Z
D
(x+y)2 dxdy.
Exercice 3 ('4 points). Consid´erons D le domaine du plan d´efini par :
D={(x, y)∈R2 / x60 ; x2+y2 61}.
1. Repr´esenter le domaineD dans un rep`ere orthonorm´e du plan (trac´e `a justifier).
2. Calculer
K = Z Z
D
xey dxdy.
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Exercice 4 (' 4 points). Dans un rep`ere orthonorm´e
O,~i,~j
du plan, on consid`ere les deux points dont les coordonn´ees sont les suivantes :
A(1; 4) ; B(1;−1).
On note D l’int´erieur du triangle OAB.
1. Repr´esenter le domaineD dans un rep`ere orthonorm´e du plan.
2. Calculer
L= Z Z
D
x(x+ 2)
(xy+ 4)2 dxdy.
Exercice 5 (' 4,5 points). Dans un rep`ere orthonorm´e (O,~i,~j, ~k) de l’espace, on consid`ere les trois points dont les coordonn´ees sont les suivantes :
A(3; 0; 0) ; B(0; 2; 0) ; C(0; 0; 6).
On note Ω la r´egion de l’espace correspondant `a l’ensemble des points situ´es `a l’int´erieur du t´etra`edre de sommetsO, A, B, C.
Calculer M = Z Z Z
Ω
z2dxdydz.
Indication. Si besoin, on pourra utiliser (sans avoir `a le d´emontrer) le r´esultat suivant : une ´equation du plan (ABC) est 2x+ 3y+z = 6.
Fin du devoir
