NOM Pr´enom : Groupe de TD :
I.U.T. de Brest Ann´ee 2012-13
G.M.P. 1 Devoir du 14/12/2013
Probabilit´es et statistiques (F115 - Maths 1.2) Dur´ee : 1h30 Exercice 1 ('2,5 points).
Lors d’une ´etude sur la r´esistance d’un m´etal, on a r´ealis´en exp´eriences de rupture en charge d’un fil.
Le tableau ci-dessous donne le poids de rupture et les fr´equences cumul´ees :
xk : charges en grammes 100 150 175 200 225 250 300 fk : fr´equence cumul´ee 0,1 0,24 0,33 0,70 0,75 0,9 1 1. D´eterminer les quartiles de cette s´erie statistique. En d´eduire l’´ecart inter-quartile.
2. Calculer l’esp´erance et l’´ecart-type de cette s´erie statistique.
Exercice 2 (' 5,5 points). Le tableau ci-dessous donne l’´evolution du nombre de personnes ˆag´ees de plus de 85 ans, en France m´etropolitaine, de 1950 `a 2000.
On note Xi l’ann´ee, l’indice i variant de 1 `a 11. On posexi =Xi−1950.
yi d´esigne, en milliers, le nombre de personnes ˆag´ees de plus de 85 ans au 1er janvier de l’ann´eeXi.
Ann´ee Xi 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
Rang xi de l’ann´ee 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
yi en milliers 201 231 290 361 423 498 567 684 874 1079 1267 zi = lnyi
On posez = lny.
1. Compl´eter la derni`ere ligne du tableau ci-dessus. Arrondir les r´esultats au milli`eme.
2. D´eterminer, `a l’aide de la calculatrice, une ´equation de la droite d’ajustement affine dez enx par la m´ethode des moindres carr´es. Les coefficients de l’´equation de droite seront arrondis au milli`eme.
3. Calculer le coefficient de corr´elation lin´eaire entre z etx. Que peut-on en dire ?
4. En d´eduire que l’on peut mod´eliser une expression de y en fonction de x sous la formey =f(x) o`u f est une fonction `a d´eterminer.
5. `A l’aide de cet ajustement, quel serait le nombre de personnes ˆag´ees de plus de 85 ans en 2012 ? 6. En r´esolvant une in´equation, d´eterminer `a partir de quelle ann´ee on peut s’attendre `a voir le nombre
de personnes ˆag´ees de plus de 85 ans d´epasser les 3 millions.
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Exercice 3 ('4,5 points). Un QCM de type «Vrai ou Faux» propose six questions.
Un candidat r´epond au hasard aux six questions.
Une r´eponse juste rapporte 1 point et une r´eponse fausse retire 0,5 point. Si le total des points est n´egatif, la note z´ero est attribu´ee.
On note N la variable al´eatoire donnant la note du candidat pour l’exercice.
D´eterminer la loi de probabilit´e de N et calculer son esp´erance.
Exercice 4 (' 4 points). Dans une population de veaux, la masse d’un animal pris au hasard est une variable al´eatoireX qui suit la loi normaleN(m;σ) d’esp´erance math´ematiquem = 500 kg et d’´ecart-type σ= 40 kg.
1. Calculer la probabilit´e qu’un veau p`ese plus de 560 kg.
2. Calculer la probabilit´e qu’un veau p`ese moins de 480 kg.
3. Calculer la probabilit´e pour que le poids d’un veau soit compris entre 450 kg et 550 kg.
4. On s´electionne pour la reproduction les 15 % les plus lourds. `A partir de quelle masse un animal sera-t-il s´electionn´e ?
Exercice 5 ('3,5 points). Les deux questions de cet exercice sont ind´ependantes.
1. 0n consid`ere X une variable al´eatoire qui suit la loi normale N(10; 3).
D´eterminer un r´eel a tel que P[10−a6X 610 +a] = 0,762.
2. 0n consid`ere X une variable al´eatoire qui suit la loi normale N(10;σ).
D´eterminer σ pour que P[X >8] = 0,69146.
Fin du devoir
