DM n
◦9
Exercice
.On consid`ere les trois matrices deM2(R) suivantes :
A=
0 1 0 1
, D=
0 0 0 1
, U =
1 0 0 0
1. (a) Quelles sont les valeurs propres deA?
(b) D´eterminer une matrice inversibleP telle queA=P D P−1
On noteE l’ensemble des matrices carr´eesM d’ordre 2 telles que :A M =M D 2. (a) V´erifier queE est un sous espace vectoriel deM2(R)
(b) SoitM =
x y z t
une matrice deM2(R). Montrer que
M ∈E si et seulement si : z= 0 ety=t (c) Etablir que (U, A) est une base deE.
(d) Calculer le produitU A.Est-ce queU Aest ´el´ement deE?
3. On notef :M2(R)→ M2(R) l’application d´efinie, pour toutM ∈ M2(R),par : f(M) =A M−M D.
(a) V´erifier quef est lin´eaire.
(b) D´eterminer le noyau def et donner sa dimension.
(c) Quelle est la dimension de l’image def?
(d) D´eterminer les matricesM deM2(R) telles quef(M) =M.
En d´eduire que 1 est valeur propre def.
(e) Montrer que−1 est aussi valeur propre def.
(f) Est-ce quef est diagonalisable ? (g) Montrer quef ◦f◦f =f.
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Exercice facultatif
.On consid`ere la fonction f d´efinie sur ]0,+∞[ par :
f(1) =
1, six= 1, x+ 1 x−1
ln(x)
2 , six6= 1.
1. Montrer quef est une fonction continue sur ]0,+∞[.
2. Calculer la d´eriv´eef0 def sur les intervalles ]0,1[ et ]1,+∞[. Etudier son signe et en d´eduire quef est monotone sur chacun de ces deux intervalles.
3. Montrer que pour toutxstrictement positif et diff´erent de 1, la d´eriv´eef0 def v´erifie :
f0(x) =(x−1)−ln(x) (x−1)2 − 1
2x 4. (a) Donner le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 en 0 det7→ln(1 +t).
(b) En d´eduire quef est d´erivable au point 1 et d´eterminerf0(1).
(c) Montrer quef est de classeC1 sur l’intervalle ]0,+∞[.
5. Montrer que pour toutx >1, on a :
ln(x)<(x−1).
En d´eduire que, pour toutx >1 on a :
f(x)< x.
6. Donner le repr´esentation graphique de la fonctionf. 7. Soitaun r´eel sup´erieur `a 1.
(a) Montrer qu’il existe une suite (xn)n≥0 de r´eels v´erifiantx0=aet pour tout entiern≥0,xn+1=f(xn).
(b) Montrer que cette suite est d´ecroissante et qu’elle admet une limitel que l’on pr´ecisera.
8. On se propose d’´etudier la vitesse avec laquelle la suite (xn)n≥0 tend versl.
(a) Montrer qu’il existeε >0 tel que
∀x∈]l−ε, l+ε[, |f0(x)| ≤ 1 3. Puis, montrer qu’il existe un entiern0 tel que pour toutn≥n0,
xn∈]l−ε, l+ε[.
(b) En d´eduire qu’il existe un entiern0 tel que pour toutn≥n0,
|f(xn)−l| ≤ 1
3|xn−l|. (c) Montrer que la suite (xn−l)n≥0 est n´egligeable devant la suite (1/2n)n≥0.
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