1. DOMAINE, DERIVATION, LIMITES SIMPLES, ASYMPTOTES

1. DOMAINE, DERIVATION, LIMITES SIMPLES, ASYMPTOTES

Exercice 1.1

Soit la fonction f définie sur ^ℝ\

{ }

^{−2 par f x}

( )

^{x x}

x

− − +

= +

2 3

2 . 1) Montrer qu’il existe des réels a, b et c tels que ^{f x}

( )

^{ax b c}

= + + x

+2. Déterminer alors les limites de f en _+∞ et en _−∞ et prouver l’existence d’une asymptote d’équation y= − +x 1 .

(

^{ax b}

)(

^x

)

^c

c ax ax bx b c

ax b

x x x

+ + + + + + +

+ + = =

+ + +

2 2 2 2

2 2 2 , qui est égal à ^{f x}

( )

^{ssi :}

a a

a b b

b c c

= − = −

 

 

+ = − ⇔ =

 

 + =  =

 

1 1

2 1 1

2 3 1

. Ainsi : ^{f x}

( )

^x

= − + + x + 1 1

2.

2) Dériver f , étudier le signe de ^f′

( )

^x et établir le tableau de variation de f.

( ) ( )

( )

f x x f x

x ′ x

= − + + ⇒ = − −

+ + ²

1 1

1 1

2 2 , négative car somme de deux termes négatifs.

De plus, −2 est une valeur interdite (et est la seule) pour f.

x _−∞ −2 _+∞

( )

f′ x

f

Exercice 1.2

Soit la fonction f définie sur ^ℝ\

{ }

^{1 par f x}

( )

^{= x − −x}

(

^{x− x}

)

⁻

3 2 4 4

2 1 et

( )

^C sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.

1) Déterminer les réels a, b, c et d tels que ^{f x}

( )

^{ax bx c d}

= + + + x

−

2

1.

(

^{ax bx c}

) ⁽

^x

⁾

^d

d ax ax bx bx cx c d

ax bx c

x x x

+ + − + − + − + − +

+ + + = =

− − −

2 3 2 2

2 1

1 1 1 , qui est égal à ^{f x}

( )

^{ssi :}

a a

b a b

b c c c d d

 = 

  =

 

− + = − ⇔ =

 

− + = −  = −

 

= −

− + = − 



1 1

2 2

1 0

2 2

2 2 4

. Ainsi, ^{f x}

( )

^x

= − −x

−

1 2 4

2 2 1

2) Déterminer les limites éventuelles de f à chacune des bornes des intervalles de définition.

En l’infini, le terme 1x²

2 prédomine, et les limites de f sont tous deux _+∞. En 1, c’est le terme

−x

− 4

1 qui tend vers l’infini. ^lim

( )

x ₋ f x

→ = +∞

1

et ^lim

( )

x ₊ f x

→ = −∞

1

.

3) Montrer que

( )

^C et la parabole P d’équation y=1x²−

2 2 sont asymptotes en _+∞ et en _−∞.

( )

lim lim

x f x x x

→±∞ →±∞ x

  

− −  = − =

   −

 

1 2 4

2 0

2 1 . Effectivement, la courbe et la parabole sont asymptotes.

4) Dériver f , étudier le signe de ^f′

( )

^x et établir le tableau de variation de f.

( ) ( )

( )

f x x f x x

x x

= − − ⇒ ′ = +

− −

2

2

1 4 4

2 2 1 1 , positive si x est positif (somme de deux termes positifs).

L’étude complète est un peu compliquée niveau terminale, mais on remarquera que cette dérivée s’annule pour x= −1 et on admettra qu’elle est négative si, et seulement si, x< −1 .

x _−∞ −1 1 _+∞

( )

f′ x

f

2. LIMITES ET THEOREMES DE COMPARAISON

Exercice 2.1

1) Montrer que pour tout réel x, cosx+sinx ≤2 . cosx+sinx ≤ cosx + sinx ≤2

2) A l’aide d’un théorème de comparaison, en déduire cos sin lim

x

x x

→+∞ x

+ .

D’après la question précédente, on a − ≤2 cosx+sinx≤2 . Donc pour x positif : cosx sinx

x x x

−2≤ + ≤2

Or lim

x^→+∞± =x2

0 . Ainsi, cos sin lim

x

x x

→+∞ x

+ =0 .

Exercice 2.2

1) Montrer que pour tout réel x, si x≥1 , alors x

≤ x ≤ +

1 1

2 1 .

Si x≥1 , alors x x

x x x x

x + ≤ + ⇔ + ≤ ⇔ ≤

+

1 1

1 2 2 1.

De son côté, l’inégalité x≤ +x 1 est évidente et conduit à x

x ≤

+ 1 1 . 2) A l’aide d’un théorème de comparaison, en déduire lim

x

x x

→+∞x+1 et

( )

lim

x

x

→+∞ x x+1 .

x x x x

≤ ≤ ⇔ ≤ ≤

1 x x

3. THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES

Exercice 3.1

1) Montrer que l’équation x³+ + =x 1 0 admet une unique solution α dans [-2 ; 2].

Il suffit de montrer que, dans [-2 ; 2], la forme x³+ +x 1 est strictement monotone et change de signe.

Sa dérivée est 3x²+1 , strictement positive. En -2 et en 2, x³+ +x 1 prend respectivement les valeurs -9 et 11. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, x³+ +x 1 s’annule en une unique valeur α ^{de x} dans [-2 ; 2]

2) Déterminer un encadrement de α par ses valeurs approchées à 10^-1 près.

Une rapide recherche conduit à −0,7< < −x 0,6 . Exercice 3.2

1) Montrer que l’équation − +x³ x²− +x 1 =

2 0

16 admet trois solutions en tout, l’une dans  

 

 

0 ;1

2 , une autre dans  

 

 

1; 1

2 et la dernière dans  

 

 

1 ;3 2 .

Il suffit de montrer que dans chacun de ces intervalles, cette forme est strictement monotone et change de signe (et ne change plus de signe au-delà de ces intervalles).

Sa dérivée est −3x²+4x−1 , dont les racines sont 1/3 et 1, et qui est positive pour x entre ces racines.

x _−∞ 1/3 1 _+∞

( )

f′ x

f

Or f (0) = 1/16, positif ; f (1/2) = -1/16, négatif ; f (1) = 1/16, positif ; f (3/2) = -5/16, négatif.

* intervalle  

 

 

0 ;1

2 : le théorème des valeurs intermédiaires nous assure que la fonction s’annule en un seul point entre 0 et 1/3 ; de plus, on sait qu’entre 1/3 et 1/2, la fonction reste négative ; conclusion : elle ne s’annule qu’en un point sur  

 

 

0 ;1 2 .

* intervalle  

 

 

1; 1

2 : le théorème des valeurs intermédiaires nous assure que la fonction s’annule en un seul point dans cet intervalle.

* intervalle  

 

 

1 ;3

2 : le théorème des valeurs intermédiaires nous assure que la fonction s’annule en un seul point dans cet intervalle.

2) Déterminer des encadrements de ces solutions par leurs valeurs approchées à 10^-1 près.

Une rapide recherche conduit à 0<x1<0,1 , 0,7<x2<0,8 et 1,2<x3<1,3 .

Exercice 3.3 : vrai ou faux ?

Soit la fonction f définie par ^{f x}

( )

^x

= x −

− 1

1 ^.

a. La restriction de f à l’intervalle [0 ; 1[ est une bijection de [0 ; 1[ sur [-1 ; +∞[.

b. La restriction de f à ]1 ; +∞[ admet une réciproque définie sur ℝ et à valeurs dans ]1 ; +∞[.

c. L’équation x

+ 1x =

1 admet une unique solution.

d. Pour tout a < 0, l’équation ^{f x}

( )

^=a admet deux solutions distinctes.

Etudions cette fonction :

* domaine de définition : la racine carrée impose à x d’être positif ; de plus, 1 est une valeur interdite.

Nous avons deux intervalles d’étude : [0 ; 1[ et ]1 ; _+∞[.

* dérivée et sens de variation :

( ) ( )

f x x x

′ = − −

− ²

1 1

1 2 , qui est strictement négative en tant que somme de deux termes strictement négatifs. La fonction f est donc strictement décroissante sur [0 ; 1[ et sur ]1 ; +∞[.

* limites aux bornes du domaines : ces bornes sont 0, 1 et _+∞. lim

x x

→ x

 

− = − − = −

 

−

 

0

1 1 0 1

1 , lim

x

x x

→−

 

− = −∞

 

−

 

1

1

1 , lim

x

x x

→ +

 

− = +∞

 

−

 

1

1

1 , lim

x x

→+∞ x

 

− = −∞

 

−

 

1

1 .

a. FAUX. La restriction de f à l’intervalle [0 ; 1[ est une bijection de [0 ; 1[ sur ]_−∞ ; -1[.

b. VRAI. La restriction de f à ]1 ; _+∞[ admet une réciproque définie sur ℝ (puisque f y est strictement monotone et a les limites qui ont été données au-dessus), et à valeurs dans ]1 ; _+∞[.

c. VRAI. ^{1 1 1 1} ₁ ¹

( )

⁰

1

x

x x x f x

x x ^≠ x

+ = ⇔ = − ⇔ = ⇔ =

− . Cette condition se produit une et une seule fois, sur ]1 ; _+∞[. L’équation admet une unique solution.

d. FAUX. pas si a ≥ -1