(1)Examen 4 201-GNF Calcul 3 9 mai 2019 Professeur : Dimitri Zuchowski Consignes Aucune calculatrice ni documentation ne sont permise

Examen 4 201-GNF Calcul 3

9 mai 2019

Professeur : Dimitri Zuchowski Consignes

Aucune calculatrice ni documentation ne sont permise. Toute forme de plagiat et de communication est interdite et entraˆıne la note Z ´ERO. Une r´eponse, mˆeme si elle est bonne, sans justification vaut Z ´ERO.

Question 1. (12%)

Associer chacun des champs de vecteurs suivants avec sa repr´esentation graphique

I

II

III

IV

V

VI A. F~(x, y) = (y,sinx)

B. F~(x, y) = (−y, x)

C. F~(x, y) = (x,1) D. F~(x, y) = (−x, y)

E. F~(x, y) = (x, y) F. F~(x, y) = (sinx,siny) Question 2. (12%)

Calculer les int´egrales curvilignes suivantes a)

ˆ

C

x²y ds o`u C est donn´e par la param´etrisation~r(t) = (3 cost,3 sint) 0≤t≤ π 2 b)

ˆ

C

2x−4y dy o`u C est le segment de droite allant du point (1,0) `a (2,1) suivi du segment de droite allant du point (2,1) `a (0,3).

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page 2 Examen 4

Question 3. (10%) Calculer

ˆ

C

F~ ·d~r avec F~ = (y,−x) du point (1,0) au point (0,−1) si la courbe est

a) le segment de droite reliant les deux points b) le trois quarts de cercle de rayon 1 centr´e `a l’origine Question 4. (10%)

D´eterminer si le champ de vecteurs suivant est conservatif.

Question 5. (14%)

D´eterminer si les champs de vecteur suivant sont conservatifs et s’ils le sont, trouver la fonction potentielle.

a) F(x, y) = (6xy~ −4,4y+ 3x²) b) F(x, y, z) =~

z²ye^xyz,2y+xz²e^xyz,(1 +xyz)e^xyz

Question 6. (10%)

Utiliser le th´eor`eme de Green pour calculer l’int´egrale curviligne suivante

‰

C

ysinx dx+x²e^ydy o`u la courbe est la fronti`ere de la r´egion entrex=y ety=x².

Question 7. (10%)

Utiliser le th´eor`eme de Green pour calculer l’aire de la rosace de param´etrisation~r(t) = (costcos(4t),sintcos(4t)) Question 8. (12%)

Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, justifier a) Si F~ = P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)

est conservatif, alors ∂R

∂y = ∂P

∂z. b)

‰

C

(xy²+ 2y)dx+ (3x+x²y)dy donne l’aire de la r´egion d´elimit´ee par la courbeC.

Calcul 3 – 201-GNF – Hiver 2019

Examen 4 page 3

Question 9. (10%) SoitF~ =

6x

3x²+ 2y², 4y 3x²+ 2y²

, calculer

‰

C

F~ · d~r pour une seule des deux courbesC suivantes (dites laquelle)

a) Cercle de rayon 1 centr´e `a l’origine. b) Cercle de rayon 1 centr´e en (3,3).

Question 10. (7% Bonus)

Soit le champ de vecteur F~ = (αxy, x⁶y²), o`u αest une constante positive. Trouverβ en fonction de α pour que l’int´egrale

ˆ

C

F~ ·d~r le long de la courbeC:y=βx^ω de (0,0) `a la droitex= 1 soit ind´ependante de ω.

Calcul 3 – 201-GNF – Hiver 2019