Examen 3 201-GNF Calcul 3

Examen 3 201-GNF Calcul 3

18 avril 2019

Professeur : Dimitri Zuchowski

Consignes

Toute forme de documentation et la calculatrice sont interdite. Toute forme de plagiat et de communica- tion est interdite et entraˆıne la note Z ´ ERO. Une r´ eponse, mˆ eme si elle est bonne, sans justification vaut Z ´ ERO.

Question 1. (24%)

Calculer les int´ egrales multiples sur les r´ egions sp´ ecifi´ ees.

a) Z Z

R

1 + x

1 + y dA, R = {(x, y)| − 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}

b) Z Z

R

5x

+ 3y

dA, R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 2, x

≤ y ≤ 2x}

Question 2. (12%)

Utiliser les coordonn´ ee polaire pour calculer l’int´ egrales suivante sur la r´ egion sp´ ecifi´ ee.

Z Z

R

y dA, o` u R est la r´ egion du premier quadrant comprise entre les cercles x

+ y

= 9 et x

+ y

= 2x

Question 3. (22%)

Dessiner la r´ egion d’int´ egration pour pouvoir faire un changent d’ordre d’int´ egration pour calculer les int´ egrales suivantes.

a) Z

0

Z

4x

sin(y

)dydx

b) Z

−1

Z

−y+1

e

dxdy + Z

1

Z

e

dxdy

1

page 2 Examen 3

Question 4. (22%)

Utiliser les coordonn´ ee cylindrique ou sph´ erique pour calculer les int´ egrales suivantes sur les r´ egions sp´ ecifi´ ees.

a) Z Z Z

E

xe

dV , o` u E est le solide enferm´ e entre les sph` eres x

+ y

+ z

= 1 et x

+ y

+ z

= 4, dans le premier octant.

b) Z Z Z

E

ydV , o` u E est le solide enferm´ e entre les cylindres x

+ y

= 1 et x

+ y

= 4 et les plans z = 0 et z = x + 2

Question 5. (10%)

Trouver l’aire de la portion du parabolo¨ıde hyperbolique z = y

− x

qui se trouve entre les cylindres x

+ y

= 1 et x

+ y

= 4

Question 6. (10%) Calculer le jacobien ∂(x, y)

∂(u, v) du changement de variable suivant ;

x = sin(uv) ln(v) y = ve

Calcul 3 – 201-GNF – Hiver 2019