Devoir de math´ ematiques n o 8 - TES
17 f´ evrier 2009 - 2H
Exercice 1 ( 6 points )
Sur la figure ci-contre, on donne les repr´esentations graphiquesC1
etC2 de deux fonctionsf1et f2 d´efinies et d´erivables sur [0; 3].
0 1 2 3
0 1 2 3
O x
y
e−1 e
C1
C2
1. L’une des deux courbes repr´esent´ees ci-contre est la repr´esentation graphique de la fonction f d´efinie sur [0; 3] par f(x) =f1(x)−f2(x).
Laquelle de ces deux courbes ne
peut pas convenir ? 1 2 3
0 1 2 3
−1 O
O x
y
Figure 2 e
1 2 3
0 1 2 3
−1 O
O x
y
Figure 3 2. (a) Donner le tableau de signes de la fonctionf sur l’intervalle [0; 3].
(b) Donner le tableau de signes de la fonctionf′ d´eriv´ee de f sur l’intervalle [0; 3].
3. On noteF une primitive def sur [0; 3]. Indiquer les variations deF sur l’intervalle [0; 3].
4. L’une des trois fonctions repr´esent´ees ci-contre est la repr´esentation graphique d’une fonctionF.
Justifier que les courbes repr´esent´ees sur les figures
5 et 6 ne peuvent pas convenir. 1 2 3
0 1 2 3
−1 O
Figure 4
e2−3 2
e2−3 2
1 2 3
0 1 2 3
−1 O
Figure 5
e2−3 2
1 2 3
0 1 2 3
−1 O
Figure 6 5. Donner la valeur exacte de
Z e−1
0
f(x) dx.
6. Calculer, en unit´es d’aire, la valeur exacte de l’aire du domaine hachur´e sur la figure 1.
Exercice 2 ( 5 points )
Une entreprise peint des jouets. Pour cela, elle utilise deux machinesM1 etM2; la machineM1 peint un quart de la production. On sait que la machineM1peint correctement un jouet avec une probabilit´e de 0,85 alors que la machine M2, plus r´ecente, le fait avec une probabilit´e de 0,95.
Tous les jouets sont m´elang´es puis achemin´es ensemble vers l’unit´e d’emballage.
On choisit alors un jouet au hasard, tous les choix ´etant ´equiprobables.
On note :
– A1 l’´ev´enement : “le jouet est peint parM1” – A2 l’´ev´enement : “le jouet est peint parM2” – B l’´ev´enement : “le jouet est peint correctement”.
1. (a) Repr´esenter par un arbre pond´er´e la situation d´ecrite.
(b) D´efinir par une phrase l’´ev´enementA1∩B , puis calculer sa probabilit´e.
(c) Montrer que la probabilit´e de l’´ev´enementB, not´eep, est ´egale `a 0,925.
(d) Le jouet choisi n’est pas peint correctement ; quelle est la probabilit´e pour qu’il provienne de la machineM1?
2. Dans cette question, on donnera les r´esultats arrondis `a10−2 pr`es. On choisit maintenant au hasard et de fa¸con ind´ependante 4 jouets.
(a) Quelle est la probabilit´e pour qu’un des 4 jouets exactement ne soit pas peint correctement ? (b) Quelle est la probabilit´e pour qu’un jouet au moins ne soit pas peint correctement ?
Exercice 3 ( 9 points )
L’objet du probl`eme est l’´etude de la fonctionf d´efinie sur ]0; +∞[ par f(x) =−x
3+lnx x2 Partie A - Etude d’une fonction auxiliaire
Soitgla fonction d´efinie sur I=]0; +∞[ par :g(x) = 1−x3
3 −2 lnx
1. Etudier les variations degsur I. (les limites deg en 0 et en +∞ne sont pas d´emand´ees)
2. (a) Montrer qu’il existe, sur [1; 2], un unique r´eelatel que g(a) = 0 ; donner un encadrement dea`a 10−2. (b) Dresser le tableau de signes deg(x) sur I.
Partie B - Etude de la fonction f
On appelleC la courbe repr´esentative def dans le plan rapport´e `a un rep`ere orthogonal.
1. (a) D´eterminer les limites de f en 0 et en +∞; interpr´eter graphiquement si n´ecesssaire.
(b) Montrer que la droiteD d’´equationy=−x
3 est asymptote `a la courbeC; ´etudier leur position relative.
2. D´emontrer quef′(x) = g(x)
x3 ; en d´eduire le tableau de variation def.
3. Tracer la courbeC dans le rep`ere ci-dessous (unit´e : 2 cm sur les abscisses et 2 cm sur les ordonn´ees) Partie C - Recherche d’une primitive de f - Calcul d’une int´egrale
Pourx >0, on poseF(x) = 1 x+lnx
x
1. Calculer la fonction d´eriv´ee deF, not´eeF′; en d´eduire l’expression d’une primitive de f sur I.
2. Soit A la partie du plan d´elimit´e parC, la droiteD et les droites d’´equationx= 1 etx=e.
(a) Hachurer A sur la figure, et exprimer l’aire de A en unit´es d’aire `a l’aide d’une int´egrale.
(b) (Bonus) Montrer que l’aire de A en unit´es d’aire est−2
e+ 1 ; donner en cm²une valeur approch´ee `a 10−2.
1 2 3 4
−2
−1 1
0
