Quelquespropri¶et¶esde F = µ ( f ) PartieI Notationsetobjectifs. calculatricesautoris¶ees

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calculatrices autoris¶ ees

Notations et objectifs.

On note :

² N: l'ensemble des nombres entiers naturels,

² R: l'ensemble des nombres r¶eels,

² C: l'ensemble des nombres complexes,

² C⁰: le R-espace vectoriel des fonctions continues de Rdans R,

² C1⁰: le sous espace vectoriel deC⁰des fonctionsf 1-p¶eriodiques (c'est µa dire des fonctions telles quef(x+ 1) =f(x), pou tout x2R).

Dans tout ce problµeme, on d¶esigne par µl'application de C⁰ dans C⁰, d¶e¯nie par : pour toutf 2 C⁰,µ(f) =F oµu F est la fonction deRdansRqui µax associeRx+1

x f(t)dt.

On admet queµ est un endomorphisme deC⁰.

L'objet de ce problµeme est l'¶etude de quelques propri¶et¶es de la fonction F et de l'endomorphismeµ.

Partie I

Quelques propri¶ et¶es de F = µ(f)

I.1. Exemples.

I.1.1. ExpliciterF(x), sif est d¶e¯nie sur Rparf(t) = 1.

I.1.2. ExpliciterF(x), sif est d¶e¯nie sur Rparf(t) =t^k (oµu kest ¯x¶e dansN^¤).

I.2. Variations de F =µ(f).

On d¶esigne maintenant par f une fonction arbitraire de C⁰.

I.2.1. Montrer que la fonctionF est de classeC¹sur R. Expliciter F⁰(x) en fonction def et de x.

I.2.2. Montrer que si la fonctionf est croissante (respectivement d¶ecroissante) sur un intervalleJx0 = [x0;+1[, alors l fonctionF est croissante (respectivement d¶ecroissante) surJx0.

I.2.3. Montrer que la fonctionF =µ(f) est constante sur Rsi et seulement sif appartient µa C1⁰. I.2.4. ExpliciterF(x), sif est d¶e¯nie sur Rparf(t) =jsin(¼t)j.

On suppose de nouveau que f d¶esigne une fonction arbitraire de C⁰. I.2.5. On suppose que la fonctionf admet une limiteL1en +1.

Montrer que la fonctionF admet une limiteL2 (que l'on explicitera) en +1. I.3. Propri¶et¶es du graphe de F.

Soientf 2 C⁰ etF =µ(f).

On considµere la fonction Ãd¶e¯nie surRpar Ã(u) =F¡ u¡ ¹₂¢

=Ru+¹₂

u¡¹₂ f(t)dt.

I.3.1. ComparerÃ(¡u) etÃ(u), si la fonctionf est impaire (respectivement paire).

I.3.2. Quelle propri¶et¶e g¶eom¶etrique de la repr¶esentation graphique de la fonctionF peut-on d¶eduire des r¶esultats obtenu enI.3.1, si la fonctionf est impaire (respectivement paire) ?

I.4. Etude d'un exemple.

Soit f(t) =P+1 k=1

e^¡kt²

k²+ 1, pourtr¶eel.

I.4.1. Montrer que la fonctionf est d¶e¯nie et continue sur R.

I.4.2. Montrer que la fonctionf est de classe C¹surR^¤.Est-elle de classe C¹surR? I.4.3. La fonctionf admet-elle une limite en +1? Si oui, laquelle ?

I.4.4. Indiquer l'allure de la repr¶esentation graphique de la fonctionf (on ne cherchera pas µa pr¶eciser f(0)).

I.4.5. La fonctionf est-elle int¶egrable surR? I.4.6. SoitF =µ(f).

I.4.6.1. Indiquer l'allure de la repr¶esentation graphique de la fonctionF. I.4.6.2. La fonction F est-elle int¶egrable sur R?

(on pourra comparer F(x) etf(x) pourx appartenant µa R⁺).

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Partie II

L'endomorphisme µ

II.1. L'endomorphisme µest-il surjectif ? II.2. Sur le noyau de µ.

On note d¶esormais K er(µ)le noyau de l'endomorphisme µ.

II.2.1. Montrer que : f2Ker(µ) () ³

f 2 C⁰1 et R1

0 f(t)dt= 0´ . II.2.2. Soit (f; g)2¡

C1⁰

¢2

. On note< fjg >=R1

0 f(t)g(t)dt.

Soitk2N^¤. On noteck la fonction d¶e¯nie surRpar ck(t) = cos(2¼kt).

II.2.2.1. V¶eri¯er que ck appartient µa C₁⁰pour toutk2N^¤et calculer< cjjck >pour tout choix de (j; k)2(N^¤)². II.2.2.2. K er(µ) est-il de dimension ¯nie ?

II.2.3. Soitf 2 C₁⁰.

Soitn2N. On note :Á_n(x) =Rx

n f(t)dtpourx 2[n; n+ 1].

Soitn2N^¤. On poseWn=Rn+1 n

f(t) t dt.

II.2.3.1. Etablir, pour toutn2N^¤, la relationWn = ^Á_n+1⁰⁽¹⁾+Rn+ 1 n

Á_n(t) t² dt.

II.2.3.2. Montrer qu'il existeM = max[0;1](jÁ₀j) . Montrer 8n2N,8x2[n; n+ 1] ,jÁ_n(x)j ·M En d¶eduire que la s¶erieP Rn+1

n

Á_n(t)

t² dtconverge.

II.2.3.3. Si on suppose quef appartient µa ker(µ), quelle est la nature de la s¶erie P

n¸1Wn ? Si on suppose quef n'appartient pas µaker(µ), quelle est la nature de la s¶erieP

n¸1Wn ? II.3. Sur le spectre de µ.

On noteSp(µ) l'ensemble des valeurs propres r¶eelles de l'endomorphismeµ.

Siaest un nombre r¶eel ¯x¶e, on noteha la fonction d¶e¯nie surRpar ha(t) =e^at. II.3.1. Montrer que chaqueha est un vecteur propre de l'endomorphisme µ.

II.3.2. Etudier les variations de la fonction u7! ^e^u_u^¡¹ pour u2R^¤. II.3.3. Expliciter l'ensembleSp(µ)\R⁺.

Partie III

Une suite de fonctions propres de l'endomorphisme µ

Soit¸une valeur propre de l'endomorphisme µ

On note E¸ le sous-espace propre asso ci¶e µa la valeur propre¸qui est ¯x¶ee dans toute cette partie.

On suppose¸ >0.

I II.1. Soit k2N^¤. On noteIk l'intervalle ]2k¼;(2k+ 1)¼[.

On pose, pour touttde l'intervalleIk : g(t) =t

³cos(t) si n(t)

´ + ln

³sin(t)

¸t

´

, oµu ln d¶esigne la fonction logarithme n¶ep¶erien.

I II.1.1. Soit½la fonction d¶e¯nie surR⁺ par : ½(t) =tsin(2t)¡t²¡sin²(t).

Etudier la fonction½surR⁺et pr¶eciser son signe.

I II.1.2. Montrer quegd¶e¯nit une bijection de Ik sur un intervalle deRµa pr¶eciser.

On se propose de montrer l'existence, dans E¸, d'une suite (non triviale) (fk)_k2N^¤ de fonctions propres.

I II.2. Soit °=a+ib, oµu (a; b)2R£]0;+1[.

I II.2.1. Soitx2R. CalculerRx+1 x e^°tdt.

I II.2.2. A quelle condition n¶ecessaire et su±sante la fonctionhdeRdansRd¶e¯nie par h(t) =e^atcos(bt) est-elle un vecteu propre de l'endomorphismeµ associ¶e µa la valeur propre ¸?

I II.3. En d¶eduire une suite (fk)k2N^¤ de fonctions propres de l'endomorphismeµ.

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