x x 10 30 60 90 x

(1)

MVA101 Analyse et calcul matriciel Jacques V´elu (CNAM)

Chapitre 2— Suites et s´eries de fonctions

1 Suites et s´eries de fonctions

• On a des fonction f n et on d´efinit f = lim

n⇧ f n en posant : f (x) = lim

n⇧ f n (x) . Si f existe, on dit que la suite f _n est convergente et que f _n tend vers f .

• On a des fonction numérotées, u ₀ , u ₁ , u ₂ , . . . , u _n , . . . et on définit S(x) = 

n=0

u _n (x) en posant S(x) = lim

p ⇧ S _p (x) avec S _p (x) =

 p n=0

u _n (x) . Si S existe, on dit que la série de fonctions de terme général u _n est convergente et que S est sa somme.

Exemple 1 f _n (x) = sin(2 n x)

n ² . La limite est la fonction constamment nulle.

0 1

f (x)₁ 0 1

f (x)₂

0 1

f (x)4

0 f (x)₅₀ 1

Exemple 2 f _n (x) = x ⁿ

0 1

1

x¹

0 1

1

x⁶ x⁶⁰

0 1

1

0 1

1

f (x) = lim

n ⇧ x ⁿ =

✏ ✏

0 si 0 x < 1

1 si x = 1

Exemple 3 : f n (x) = 1

(x n) ² + 1 La limite est la fonction constamment nulle.

1

0 0 3 0 6 0 9

2 Convergence uniforme

f (x) = lim

n⇧ f n (x) ⌃⌥ ⌃ pour tout ⇥ > 0, il existe N _x (qui d´epend de x) tel que | f(x) f _n (x) | < ⇥ quand n ⇥ N _x .

Il y a du retard quand N x est beaucoup plus grand pour certains x, que pour les autres.

La convergence est uniforme quand on peut prendre le mˆeme N x pour tous les x :

⌃ ↵⇥ > 0, N tel que | f(x) f n (x) | < ⇥ quel ↵n ⇥ N et ↵x .

pour tout ⇥ > 0, il existe N tel que max x | f(x) f _n (x) | < ⇥ ↵ n ⇥ N .

2

(2)

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f(x)

f(x)+

f(x)- f (x)_n

La convergence est uniforme quand la courbe représentative de f n vient se coller sur celle de f . Théorème : Soit f n une suite de fonctions définies sur un intervalle I.

• Si les f _n sont continues sur I et si la convergence est uniforme, la fonction limite est continue sur I.

• Si a et b sont dans I :

b

a f (t)dt = lim

n⇧

⌦ ✓✓✓✓

⇣

b a f n (t)dt

↵ ◆◆◆◆

⌘ L’int´egrale de la limite est la limite de l’int´egrale !

Théorème : Soient f _n une suite de fonctions continues sur un intervalle I borné, et a un point de I ; on note F n la primitive f n qui s’annule au point a . Alors, les fonctions F n

convergent uniform´ement vers F, la primitive de f qui s’annule au point a.

Si elles s’annulent toutes en un même point, la primitive de la limite est la limite de la primitive ! Théorème : Soit f n une suite de fonctions de classe C ¹ sur un intervalle I borné.

Si les fonctions f _n convergent uniform´ement sur I et s’il existe au moins un point a dans I tel que la suite de nombre f _n (a) converge, alors :

• la suite de nombre f _n (x) converge quel que soit x dans I vers un nombre f (x) .

• la convergence de f n vers f est uniforme sur I .

• la fonction f est de classe C ¹ sur I et : f = lim

n ⇧ f _n . Cas des s´eries

Théorème : Soit u _n une suite de fonctions continues définies sur un intervalle I.

• Si la s´erie 

n=0

u _n (x) converge uniform´ement, sa somme est une fonction continue sur I.

• Si a et b sont dans I : ^b

a

⌦ ✓✓✓✓

✓⇣



n=0

u _n (t)

↵ ◆◆◆◆

◆⌘ dt = 

n=0

⌦ ✓✓✓✓

⇣

b a u _n (t)dt

↵ ◆◆◆◆

⌘ . L’int´egrale de la somme est la somme des int´egrales !

3

(3)

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Théorème : Soit u _n une suite de fonctions de classe C ¹ sur un intervalle borné I.

Si la s´erie 

n=0

u _n (x) converge uniform´ement sur I, et s’il existe a ⌦ I tel que 

n=0

u _n (a) converge, alors 

n=0

u _n (x) converge uniform´ement dans I, la somme est de classe C ¹ et :

⌦ ✓✓✓✓

✓⇣



n=0

u n (x)

↵ ◆◆◆◆

◆⌘ = 

n=0

u _n (x)

Convergence normale

Théorème : Soient u _n une suite de fonctions bornées et M _n = max

x | u _n (x) | . Si la s´erie `a termes positifs 

n=0

M _n converge, la s´erie 

n=0

u _n (x) converge uniform´ement sur

I et 

n=0

u _n (x) 

n=0

M _n . On dit que la s´erie 

n=0

u _n (x) converge normalement.

Exemple La s´erie 

n=0

sin 2 nx

n ² converge normalement car : ⌅

u _n = sin 2 nx n ²

⇧ ⌥ ⌅

M _n = 1 n ²

⇧

et la s´erie 

n=0

1 n ² converge.

4

x x 10 30 60 90 x

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Chapitre 2— Suites et s´eries de fonctions

1 Suites et s´eries de fonctions

• On a des fonction f n et on d´efinit f = lim

n⇧ f n en posant : f (x) = lim

n⇧ f n (x) . Si f existe, on dit que la suite f n est convergente et que f n tend vers f .

• On a des fonction numérotées, u 0 , u 1 , u 2 , . . . , u n , . . . et on définit S(x) = 

n=0

u n (x) en posant S(x) = lim

p ⇧ S p (x) avec S p (x) =

 p n=0

u n (x) . Si S existe, on dit que la série de fonctions de terme général u n est convergente et que S est sa somme.

Exemple 1 f n (x) = sin(2 n x)

n 2 . La limite est la fonction constamment nulle.

Exemple 2 f n (x) = x n

f (x) = lim

n ⇧ x n =

✏ ✏

✏ ✏

✏ ✏

✏ ✏

0 si 0 x < 1

1 si x = 1

Exemple 3 : f n (x) = 1

(x n) 2 + 1 La limite est la fonction constamment nulle.

2 Convergence uniforme

f (x) = lim

n⇧ f n (x) ⌃⌥ ⌃ pour tout ⇥ > 0, il existe N x (qui d´epend de x) tel que | f(x) f n (x) | < ⇥ quand n ⇥ N x .

Il y a du retard quand N x est beaucoup plus grand pour certains x, que pour les autres.

La convergence est uniforme quand on peut prendre le mˆeme N x pour tous les x :

⌃ ↵⇥ > 0, N tel que | f(x) f n (x) | < ⇥ quel ↵n ⇥ N et ↵x .

pour tout ⇥ > 0, il existe N tel que max x | f(x) f n (x) | < ⇥ ↵ n ⇥ N .

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La convergence est uniforme quand la courbe représentative de f n vient se coller sur celle de f . Théorème : Soit f n une suite de fonctions définies sur un intervalle I.

• Si les f n sont continues sur I et si la convergence est uniforme, la fonction limite est continue sur I.

• Si a et b sont dans I :

b

a f (t)dt = lim

n⇧

⌦ ✓✓✓✓

⇣

b a f n (t)dt

↵ ◆◆◆◆

⌘ L’int´egrale de la limite est la limite de l’int´egrale !

Théorème : Soient f n une suite de fonctions continues sur un intervalle I borné, et a un point de I ; on note F n la primitive f n qui s’annule au point a . Alors, les fonctions F n

convergent uniform´ement vers F, la primitive de f qui s’annule au point a.

Si elles s’annulent toutes en un même point, la primitive de la limite est la limite de la primitive ! Théorème : Soit f n une suite de fonctions de classe C 1 sur un intervalle I borné.

Si les fonctions f n convergent uniform´ement sur I et s’il existe au moins un point a dans I tel que la suite de nombre f n (a) converge, alors :

• la suite de nombre f n (x) converge quel que soit x dans I vers un nombre f (x) .

• la convergence de f n vers f est uniforme sur I .

• la fonction f est de classe C 1 sur I et : f = lim

n ⇧ f n . Cas des s´eries

Théorème : Soit u n une suite de fonctions continues définies sur un intervalle I.

• Si la s´erie 

n=0

u n (x) converge uniform´ement, sa somme est une fonction continue sur I.

• Si a et b sont dans I : b

a

⌦ ✓✓✓✓

✓⇣



n=0

u n (t)

↵ ◆◆◆◆

◆⌘ dt = 

n=0

⌦ ✓✓✓✓

⇣

b a u n (t)dt

↵ ◆◆◆◆

⌘ . L’int´egrale de la somme est la somme des int´egrales !

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MVA101 Analyse et calcul matriciel Jacques V´elu (CNAM)

Théorème : Soit u n une suite de fonctions de classe C 1 sur un intervalle borné I.

Si la s´erie 

n=0

u n (x) converge uniform´ement sur I, et s’il existe a ⌦ I tel que 

n=0

n⇧ f n (x) . Si f existe, on dit que la suite f _n est convergente et que f _n tend vers f .

• On a des fonction numérotées, u ₀ , u ₁ , u ₂ , . . . , u _n , . . . et on définit S(x) = 

u _n (x) en posant S(x) = lim

p ⇧ S _p (x) avec S _p (x) =

u _n (x) . Si S existe, on dit que la série de fonctions de terme général u _n est convergente et que S est sa somme.

Exemple 1 f _n (x) = sin(2 n x)

n ² . La limite est la fonction constamment nulle.

Exemple 2 f _n (x) = x ⁿ

n ⇧ x ⁿ =

(x n) ² + 1 La limite est la fonction constamment nulle.

n⇧ f n (x) ⌃⌥ ⌃ pour tout ⇥ > 0, il existe N _x (qui d´epend de x) tel que | f(x) f _n (x) | < ⇥ quand n ⇥ N _x .

pour tout ⇥ > 0, il existe N tel que max x | f(x) f _n (x) | < ⇥ ↵ n ⇥ N .

• Si les f _n sont continues sur I et si la convergence est uniforme, la fonction limite est continue sur I.

Théorème : Soient f _n une suite de fonctions continues sur un intervalle I borné, et a un point de I ; on note F n la primitive f n qui s’annule au point a . Alors, les fonctions F n

Si elles s’annulent toutes en un même point, la primitive de la limite est la limite de la primitive ! Théorème : Soit f n une suite de fonctions de classe C ¹ sur un intervalle I borné.

Si les fonctions f _n convergent uniform´ement sur I et s’il existe au moins un point a dans I tel que la suite de nombre f _n (a) converge, alors :

• la suite de nombre f _n (x) converge quel que soit x dans I vers un nombre f (x) .

• la fonction f est de classe C ¹ sur I et : f = lim

n ⇧ f _n . Cas des s´eries

Théorème : Soit u _n une suite de fonctions continues définies sur un intervalle I.

u _n (x) converge uniform´ement, sa somme est une fonction continue sur I.

• Si a et b sont dans I : ^b

u _n (t)

b a u _n (t)dt

Théorème : Soit u _n une suite de fonctions de classe C ¹ sur un intervalle borné I.

u _n (x) converge uniform´ement sur I, et s’il existe a ⌦ I tel que 

u _n (a) converge, alors 

u _n (x) converge uniform´ement dans I, la somme est de classe C ¹ et :

u _n (x)

Théorème : Soient u _n une suite de fonctions bornées et M _n = max

x | u _n (x) | . Si la s´erie `a termes positifs 

M _n converge, la s´erie 

u _n (x) converge uniform´ement sur

u _n (x) 

M _n . On dit que la s´erie 

u _n (x) converge normalement.

n ² converge normalement car : ⌅

u _n = sin 2 nx n ²

M _n = 1 n ²

n ² converge.