Devoir (I,4a) du 9 décembre 2017 Exercice 1 :

(1)

a) Premier devoir à ces sujets : Arnaud Kintzinger (en avant-première, comme dirait Etienne) b) suivi de la donnée + corrigé du devoir « standard » du 14-12-17

c) … et du devoir de rattrapage en janvier … à venir !!! (hahaha)

Devoir (I,4a) du 9 décembre 2017

Exercice 1 : Les nombres complexes

1) On considère les nombres complexes ₁ ₂ ¹⁵

4 2

1 , 1 3 et ' z

z i z i z

     z a) Déterminez les formes trigonométrique et algébrique de z' . b) Déduisez-en la valeur exacte de cos , sin et tan

12 12 12

  

.

2) Résolvez dans l’équation : ^z²^



^{4 3}^ ^{i z}



^{ }^{1 5}ⁱ

_______________________________________________________________________________________

Exercice 2 : Equations de plans et droites dans l’espace

Dans un r.o.n. de l’espace :

1) Déterminez un système d’équations paramétriques et une équation cartésienne du plan  passant par le point ^B



^{1, 2,1}^



et de vecteurs directeurs

1 1

2 et 2

3 1

u v

   

   

   

    .

2) Déterminer un système d'équations cartésiennes de la droite d passant par le point ^A



^{2, 2,0}



qui admet comme vecteur directeur 1

2 4 u

 

 

 

  .

3) Déterminez un point et un vecteur directeur de la droite donnée par le système d’équations cartésiennes suivant : 2 3 4 0

3 2 6 0

x y z

   

    



4) Soit le plan  2x3y  z 1 0 donné.

a. Montrez que ^A



^^2;1;3



^^.

b. Déterminez l’équation du plan ' parallèle à  passant par le point A.

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Suite à la prochaine page !

(2)

Exercice 3 : Les fonctions logarithmes

1) Résolvez dans les (in-)équations logarithmiques suivantes : a) log ₃ x 1 log₉



5x



b) ^log^0,5



²^x²^{   }^x ¹



^{1 log}²

^

²^x^⁴

^

c) ^{2ln 2}



^x^{ }¹



^{ln 3}



^x^^x²



^^{ln 4}

^

^x^{ }³

^

^ln^x

2) Déterminez la limite suivante :

 

lim lim

ln

m 1

i

1 1

l

x x

H H

x x

e e

x e e

e

 

     

 



3) Etudiez la fonction logarithmique suivante :

  

1 ln



²

: : x

f x f x

x

   

(Domaines de définition et de dérivabilité, limites et comportement asymptotique, recherche des points extrema, des points d’inflexion, tableau de variation complet, tangente à la courbe en x=1, esquisse soignée de la courbe représentative)

_______________________________________________________________________________________

Répartition des points: 16 (12+4) + 16 (5+4+3+4) + 28 (13+2+13)

(3)

Devoir (I,4b) du 14 décembre 2017

Exercice 1 : Les nombres complexes

1) On considère le polynôme à coefficients complexes

 

² ³ ^{2 10}



⁴



²



^{56 51}



^{27 96}

P z  iz   i z   i z  i

a) Montrez que le polynôme admet une racine imaginaire pure . b) Cherchez toutes les solutions à l’équation ^{P z}

 

^⁰^.

2) Résolvez dans l’équation : ^z⁵ ^{ }¹⁶



³^ⁱ



_______________________________________________________________________________________

Exercice 2 : Equations de plans et droites dans l’espace

Dans un r.o.n. de l’espace :

1) Déterminez un système d’équations paramétriques et une équation cartésienne du plan  passant par les points ^B



^{2, 3, 2 ,}^

 

^C ^{3,1, 4}^



et de vecteur directeur

2 1

1 v

 

 

 

  .

2) Déterminer un système d'équations cartésiennes de la droite d passant par le point ^A



^1,1,3



^qui

admet comme vecteur directeur 1

2 4 u

 

 

 

  .

3) Déterminez un point et un vecteur directeur de la droite donnée par le système d’équations cartésiennes suivant : 5 2 1 0

3 2 2 7 0

x y z

   

    



4) Soit le plan  4x3y  z 4 0 donné.

a. Montrez que ^A



^{ }^{1; 2;3}



^^.

b. Déterminez l’équation du plan ' parallèle à  passant par le point A.

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Suite à la prochaine page !

(4)

Exercice 3 : Les fonctions logarithmes

1) Résolvez dans les (in-)équations logarithmiques suivantes : a) log2xlog8



3x2



b) ²

 

¹

 

¹



²



2 2

1 log x log x 1 log 5x c) ^{ln 2} ³ ^{ln 6}

 

¹^ln

x  x 2 x

2) Déterminez la limite suivante :

 

2 2

ln 1

lim ln

lim

H x x x x

x e

x e

   



  

  



^x² ¹



^e^^x

 

lim 2 0

2

H

x x



  

 



3) Etudiez la fonction logarithmique suivante : ^f ^: ^:^x ^{f x}

 

^x ^{2 2 ln}^x ¹

x

       (Domaines de définition et de dérivabilité, limites et comportement asymptotique, recherche des points extrema, des points d’inflexion, tableau de variation complet, tangente à la courbe en x=3, esquisse soignée de la courbe représentative)

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Répartition des points: 16 (12+4) + 16 (5+4+3+4) + 28 (13+2+13)

Feiert gudd awer net

zevill !

(5)

Correction du devoir 1C1 – (I,4) 14 décembre 2017

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