Devoir (I,4) du 9 décembre 2014 Double correction

(1)

Devoir (I,4) du 9 décembre 2014

Double correction

L’emploi raisonnable de la calculatrice Casio FX991 est autorisé !

Exercice 1: Partie Analyse

a) Résolvez dans  les inéquations suivantes :

      ^{ } ^ ^

       

     

   

2

2 1 1

2 2

2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

2

2 2

1) 1 log log 1 log 5 09( ) / 2014

0 0

* . .: 1 0 1 1; 5

5 5

5 0

* :

log 2 log log 1 log 5

log 2 1 log 5 2 1

x x x IE Examen R

x x

C E x x D

x x x D

IE x x x

x x x

x x x base bij

    

   

        

   

     



 

      

     

       

 

     

2

2 2

2

**

3

2 1 5 inéquation d'un degré sup. au 1er

2x 2 5 0

3 2 5 0 **

) : 1 5

3 1 5

) : 3

3 2 5 0 0

) 1;5

3

* 1;5

3

0,5 1

2) 4 0 09( ) / 2014

3

* . . 3 0

x

x x x

x x

i Racines x x

x ii Tds

x x

iii E

S E D

IE Examen R

e

C E e



   

    

   

  



    

 

  

 

     

 



 



 

   

ln 3

3 2

ln 3

ln 3 ln 3

1 1

2 2

* : 0

x

e e x

D

x D IE Q x

e e



    

   

   

   

   

    





(2)

 

 

3 2

ln 3

2

1 1 inéquation d'un degré différent du 1er:

) : : : 3 2 2

3

: 1: ln 3

1 1

) : 0 3 2

2 2

0 ln 3

ln 3 ln 3 2

3 0

3 2 5 0

0

) ; ln 3

2

x

i Racines N x x x

D x base e x

ii Tds N x x

D x e e x

x x

N x

x x

Q x

iii E

base



  

   

   

      

   

    

 



    

 



 

  

 













 

2; 3

* ; ln 3 2;

S E D E 3

 

 

 

       

b) Calculez la limite suivante: ^lim ²₅



09( ) / 2014



x x

x

e e

Examen R

e e







 

2

2 . . 2

5 Comme il s'agit à chaque fois 5 3

d'un polynôme en e , on met

5 au N et au D la plus grande

puissance en e en évidence

1 1 1

lim lim lim

x 1

x

x x

x x f i x x

x x x

x x x x x

x

e e

e e e e

e e e e e

e

  

    

    

 

      

 

    ⁴

1

1 0

1 _x

e



  

   

 

 

c) Calculez les limites suivantes : ₁ 3 ₂

lim et lim

x

x x x

x e

L L

e x



  

   et déduisez-en le comportement

asymptotique à  de la fonction : ^f ^:^^^^:^x^ ^{f x}

 

^{  }^x ³ ^e^^x. Démontrez ensuite que cette fonction admet une asymptote oblique à la courbe pour x tendant vers   .

 ₁ lim ³( . .) lim ¹ 0 et ₂ lim

 

. . lim 1

x x

H H

x x

x x x x

x e e

L f i L f i

e e x

 



 

   

 

      



 D’où :

 

_{ }

 

_

 

0 1

lim lim 3 . . " " lim 3

x

x x

x x x

x e

f x x e f i e AH

e e

  

 

    

 

 

  

 

            

   

 

 

 

 

1

? : lim lim 3 . . de direction

x

x x

f x x e

AO B P Oy

x x x



 

 

 

  

      

 

 

(3)



 

_{ }

0

lim lim 3 ^x

x f x x x e^ AH

 



 

     

  AO?

Or, cette expression de la fonction f se compose d’une somme d’un terme linéaire y  m x h et d’un autre terme ^

 

^x dont la limite est nulle.

Par conséquent, d’après la classe de 2^e, cette fonction admet une asymptote oblique à la courbe donnée par l’expression linéaire. Donc :

3 pourAO  y x x  . Alternative de calcul:

o

 

 

0

1 0

lim lim 3 1 avec lim 0

x x

x x x

f x x e e

x x x m x

  

   

 

 

  

     

 

o x^lim f x

 

mx x^{lim 3}



e^^x



³ AO y x ^{3 pour} x

            

_______________________________________________________________________________________

Exercice 2: Soit la fonction f donnée par : ^: ^:

 

¹

ln 2

f x f x

x x

  

   

 

 

Faites l’étude de cette fonction

(Domaines, limites aux bords du domaine et comportement asymptotique, dérivée première et tableau de variation, esquisse (rapide) de la courbe)

   

 

 



2

0 0 0 0 2

0

2 2 2

0

0 0

ln 0

2 0

. . ln 0 1 2

0 2 2

2

0; 2 2;

1 1

lim 1 . . lim lim lim 0

ln ln 2 1

2 2 2

lim 1 2

ln2

lim 1

f

H

x x x x

x x

x x et x et

x x

C E x x

x x

D

x x x

f i AV x

x x x

x x

AV x x x

x





   







  





      

  

     

      

   



   



 

       

 

 

 



 



 



0 0

ln2

AH y

x   

(4)

 

'

2 2 2 2 ( 0)

ln 1

1 2 1 2

: ' ln

2 2

ln ln

2 2

' 0 ln 1 0 ln 1 ln1

2 2

1 2

2 0,74

f

x

D f x x x

x x x

x x

f x

e

x x

e e



 

  

    

      

  

       

    



 

0 2 2

tableau de variation ' 0

2 0

2 1

2 1 2 1,36 ln

x e

f x

e

f x AV

Max f e

e

e e



 



   



      

   

  

   

Esquisse du graphe :

_______________________________________________________________________________________

(5)

Exercice 3: Partie Matrices et Déterminants

a) Soient les deux matrices suivantes :

2 2 1 3 2 1

4 1 1 3 2 1

3 2 1 3 6 6

A B

 

   

   

   

     

   

Déterminez le déterminant de chacune de ces matrices (méthode au choix).

2 2 1 3 2 1

4 1 1 19 3 2 1 108

3 2 1 3 6 6

A B

 

    

   

b) Soit la matrice C donnée par :

1 2 1

2 1 3

4 1 7

C

  

 

  

 

 

.

Déterminez le déterminant de cette matrice en utilisant les propriétés sur les rangées pour le mettre d’abord sous la forme d’un déterminant d’une matrice triangulaire. Illustrez votre manière de procéder en indiquant les étapes.



2 2 1

3 3 1

3 3 2

2 4

7

Produit des éléments de la diagonale principale

1 2 1 1 2 1 1 2 1

2 1 3 0 5 5 5 0 1 1

4 1 7 0 7 11 0 7 11

1 2 1

5 0 1 1 5 1 1 4 20

0 0 4

L L L

C

  

  

  

      

  



       

c) Déterminez la (les) valeur(s) du paramètre réel m pour que le déterminant suivant soit égal à 5, sachant que

1 1 2

1

2 3 1

m

D m m



 



   

 

2

1 1 2 1 1

1 1 1 2 6 4 3 1

2 3 1 2 3

3 5

5 3 5 5 3 1 0 0 ou 1

3

m m

D m m m m m m m m m

D m m

D m m m m m m

 

           

 

   

               

_______________________________________________________________________________________

Répartition des points: 22 (11+3+8) + 18 + 20 (6+9+5)

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