Liste 15

L.S.Marsa Elriadh

Liste 15

4 ^ème Maths Exercices

1

Exercice n°1 :

soit U la suite définie sur N par : U0=0 ; Un=aUn-1+b (a,b)R² 1/ montrer que pour tout a 1 la suite

1



 a U b

V^{n n} est géométrique.

2/ déterminer une relation entre a et b pour que la limite de U soit 3 ; en déduire la valeur correspondante de V0.

3/ calculer Un puis





 ⁿ

k k

n U

S

0

Exercice n°2:

soit la suite U définie sur N par : U0 ;

n

n U

U ^  4

1 4 .

1/ déterminer U0 pour que U soit une suite constante.

2/ démontrer que :

a/ la suite U est majorée par 2 b/ la suite U est croissante.

3/ soit la suite V définie sur N par :

2 1

 n

n U

V . a/ démontrer que V est arithmétique.

b/ calculer Un en fonction de n.

Exercice n°3:

soit la suite U définie par:

U

n U U

n U

n n 0

1

1

4 3

6

 

   







 ; ^

1/a/ montrer que  nN -3  Un  1.

b/ montrer que la suite U est croissante.

2/ soit la suite V définie par: V U U

n n n

 

 1

3 , nN.

a/ montrer que V est une suite géométrique et calculer Vn en fonction de n.

b/ en déduire Un en fonction de n, puis retrouver lim Un n+ c/ déterminer en fonction de n la somme Sⁿ Vⁿ

k

 n



Exercice n°4:

soit U la suite définie sur N par: ^U

Uⁿ Un

0

1

0

3 4



 



 ^

1/ calculer U1 et U2.

2/ montrer que pour tout nN 0Un4.

L.S.Marsa Elriadh

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4 ^ème Maths Exercices

2

3/ montrer que Un+1-Un =^{  }

  U n Un

Un Un

² 3 4

3 4 . déduire que la suite U est strictement croissante.

4/ montrer que pour tout entier n on a: 4-Un+1

2

1 (4-Un). En déduire que 4-Un(

2

1 )ⁿ (4-U₀).

Exercice n°5

soit la suite U définie sur N par : U0=0 ; Un+1= 2Uⁿ.

1/ a/ démontrer que la suite U est minorée par 0 et majorée par 2.

b/ démontrer que la suite U est croissante.

2/a/ on pose : U_n=2cos x_n , x_n[0, ] 2

 ; montrer que la suite x_n ainsi définie est une suite géométrique.

b/ calculer x_n en fonction de n.

Exercice n°6:

soient les suites U et V définies par: Un=

10ⁿ

n ; Vn=

! 2 n

n .

1/ calculer les cinq premiers termes de chacun des suites U et V.

2/ étudier le sens de variation des suites U et V.

3/ en déduire que U et V sont deux suites bornées.

Exercice n°7:

soit la suite U définie sur N par : U₀=1 ;

n

n U

U ¹1 2 .

1/ construire la représentation graphique  de la fonction f :x 

x 12 et la droite D : x=y dans un même repère.

2/ représenter sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de U.

3/ démontrer que pour tout entier naturel p la suite U2p est majorée par 2 et croissante et que la suite U2p+1 est minorée par 2 et décroissante.

4/ soient x’ et x’’ les racines de x=

x

12, on suppose que x’ x’’ ; la suite V est définie sur N par

' '' x U

x V U

n n n





a/ montrer que V est géométrique, quelle est sa limite ? b/ calculer S=



 n

k

Vk 0

.