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LA MATH

Problème Niveau Lycée***

Trigo, Suite, Continuité, Intégral et Expo

September 23, 2019

Papa Séga WADE

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i=1i=0

AMUSONS-NOUS AVEC LA MATHÉMATIQUE !

Problème I: Sur la trigonométrie, les suites, intégrale, limites et continuités

• Partie A:

On pose pour x∈R et pour n∈N,

f_n(x) =cos(x) +cos(2x) +cos(3x) +...+cos(nx) =

n

X

k=1

cos(kx).

On définit la suite (g_n(x))n∈N pour x∈[0, π] et pour n∈N par:

g_n(x) = sin²ⁿ⁺¹₂ x sin(^x₂) . Q1) Établir la relation suivante pour tout x∈]0, π] :

f_n(x) = −1 2+ 1

2g_n(x).

Q2)

a) Déduire que g_n est prolongeable par continuité en une application continue sur [0, π].

b) On définie la suite (u_n)n∈N pourn ∈N,:

u_n=

Z π 0

g_n(x)dx.

Montrer que la suite (un)n∈N est constante et préciser sa valeur.

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Q3) Soit la fonctiong définie sur [0, π] à valeur dans R par : g[0;π]7−→R:=







g(x) = ^cos(

x α)−1

sin(^x₂) si α≤1 g(x) = 0 si α >1 a) Prouver que g est continue en 0.

b) Établir l’existence et déterminer la valeur de lim

x−→0⁺g⁰(x).

• Partie B:

Pour tout n∈N^∗ on pose

X_n=

Z π 0

f_n(x)cos(x α)dx.

Q4) Soit la suite (V_n)n∈N définie pour tout n ∈N par:

V_n =

Z π 0

g(x)sin

2n+ 1

2 x

dx Montrer qu’il existe A∈R⁺ tel que ∀n ∈N^∗,

|V_n| ≤ A 2n+ 1. Q5) Établir que∀n ∈N^∗,

X_n =−α 2sin(π

α) + 1

2V_n+ π 2 Q6) Montrer que ∀n∈N^∗,

X_n = α 2sin(π

α)

n

X

k=1

(−1)^k

1

1 +kα + 1 1−kα

.

• Partie C: calcule de la limite de X

Posons β= _α¹ ett∈]0; 1], C(t) = ^t_1+t^β−1 et ψ(t) = ^t_1+t^−β. Q7)

a) Montrer que ∀a∈]0,1[

Z 1 a

1

1 +x^αdx=β

Z 1 a^α

C(t)dt.

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i=1i=0

b) Déduire la relation:

Z 1 0

1

1 +x^αdx=βJ(β) avec J(β) =^R₀¹C(t)dt.

c) Montrer que ∀A∈]1; +∞[

Z A 1

dx

1 +x^α =β

Z 1 A^−α

ψ(t)dt d) Déduire qu’il existe une fonction K tel que

A−→∞lim

Z A 1

dx

1 +x^α =βK(β) Q8) ∀x∈N ett ∈R on pose

σ_n(t) =

n

X

k=0

(−1)^kt^k.

Pour n ∈N^∗ et t∈]0; 1] on pose: C_n(t) = σ_n(t)t^β−1 etψ_n(t) = σ_n−1(t)t^−β a) Montrer que ∀x∈N∀t ∈[0; 1]

σ_n(t)− 1 t+ 1

≤tⁿ⁺¹ b) Montrer que ∀x∈N^∗ ∀t ∈[0; 1]

|C_n(t)| ≤2∗C(t) et

|ψ_n(t)| ≤2∗ψ(t) Q9) Pour ∀n∈N^∗ on pose:

J_n(β) =

Z 1 0

C_n(t)dt et

Kn(β) =

Z 1 0

ψn(t)dt

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a) Montrer que lim

n−→∞J_n(β) =J(β) et lim

n−→∞K_n(β) = K(β).

b) Exprimer J_n(β) +K_n(β) à l’aide de X_n et deα.

c) Montrer que

I(α) = π αsin(^π_α)

d) En déduire lim

n−→∞(J_n(β) +K_n(β)) en fonction α.

Problème II: Une définition de l’exponentielle complexe à partir de la suite de fonctions

• Partie I: Cas Réel

On se place tout d’abord dans le cas réel. Soit (u_n)n∈N la suite de fonctions définie par :

∀n ≥1,∀x∈R, u_n(x) =

1 + x n

n

. On remarque que cette suite est stationnaire pour x= 0.

Q1) Montrer que tout réel x∈R, on a :

n−→∞lim u_n(x)∗u_n(−x) = 1.

En notant E la fonction partie entière, on associe à tout réelx l’entier n_x défini par : n_x:=

( 1 pour x≥0 E(|x|) + 1 pour <0 et on a u_n(x)>0 pour tout n > n_x.

Nous allons montrer dans ce qui suit que pour tout réelx; la suite (u_n(x))n≥1 converge vers un réel f(x)>0.

Q2) Pour tout entier n₀ ≥ 1 et tout entier n ≥ n0 ; la fonction ^un+1_u

n est strictement crois- sante sur R⁺ et strictement décroissante sur ]−n₀; 0].

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N

lim

N Y

i=1 N X

i=0 Z

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Q3) Montrer que pour tout réel x la suite (u_n(x))n ≥ nx est à valeurs strictement positives et pour tout entier n₀ ≥ 1 ; tout réel non nul x ∈]−n₀; +∞[ ; la suite (un(x))n ≥ n0 est strictement croissante.

Q4) Démontrer que la suite (un(x))n≥1 est converge vers un réel f(x).

Avec pour tout réel x

f(0) = 1, f(x)>0, f(−x) = 1 f(x). Q5)

a) Montrer que pour tout x∈]−1; 1[ ; on a :

1 +x≤f(x)≤ 1 1−x b) En déduire que f est continue en 0.

Q6)

a) Montrer que pour tous x;y dans R on a f(x+y) = f(x)f(y).

b) En déduire que la fonction f est continue sur R.

Q7) Démontrer que La fonction f est l’unique solution sur Rde l’équation y⁰ =y avec la condition initiale y(0) = 1.

remarque: De ce résultat on déduit que la fonction f est indéfiniment dérivable surRavec f⁽ⁿ⁾ =f pour tout entier naturel n.

Q8) Déduire par récurrence que : f(n.a) = (f(a))ⁿ pour tout entier naturel n. Avec la re- lation f(−x) = _f(x)¹ montrer que ce résultat est aussi vrais pour tout entier relatif.

Rappel: Si r = ^p_q on a f(r) =f(^p_q) =f(p¹_q) = (f(¹_q))^p avecf(1) =f(q¹_q) = (f(¹_q))^q f(r)) = (f(1))^pq = (f(1))^r.

Ainsi on notant e=f(1) vient de définir la fonction e^r =f(r).

D’où la fonction exponentielle e^x =f(x)

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• Partie II: Cas complexe

Pour tout z dans Cet tout n dans N^∗ on note : un(z) =1 + _n¹z. I)

Q1) En utilisant la formule du binôme de Newton écris u_n(z) en fonction de n, z, C_n^k, et z.

Q2) Soit E un sous-ensemble E. Montrer que pour toutz ∈E, et tout m > n, on a:

|u_m(z)−u_n(z)| ≤

n

X

k=0

C_m^k 1

m^k −C_n^k 1 n^k

|z|^k+

m

X

k=n+1

C_m^k 1 m^k|z|^k. a) Montrer que

C_m^k 1 m^k = 1

k!

1− 1 m

... 1− k−1 m

!

. b) Vérifier que

C_m^k 1

m^k ≥C_n^k 1 n^k. c) En déduire que:

|u_m(z)−u_n(z)| ≤u_m(|z|)−u_n(|z|).

Q2) Soit e^z la limite en faisant m vers l’infini de la suite u_m(z).

Ainsi on a ∀n ≥1|e^z−un(z)| ≥e^|z|−un(|z|) d’ou la suite un(z) converge.

Q3) Soit y une solution de l’équation y⁰ = y avec y(0) = 1. Cette fonction est infiniment dérivable sur R avec yⁿ(0) = 1 pour tout n dans R. Soit la suite wn définie par: pour tout x dans R,

w_n(x) =

n

X

k=0

x^k k!.

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i=1i=0

Rappel: Formule de Taylor-Lagrange Soit I un intervalle, f une fonction définie de I dans R (n+ 1) fois dérivable sur I et de fonctions dérivées continues. Alors pour tout h dans

R tel que x₀+h appartienne à I, il existe θ∈]0; 1[ tel que l’on ait :

f(x) = f(x₀) + h

1!f⁰(x₀) + h²

2!f⁰⁰(x₀) + h

3!f⁰⁰⁰(x₀) +...+ hⁿ

n!f⁽ⁿ⁾(x₀) + hⁿ⁺¹

(n+ 1)!f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀ +θh)

=

n

X

k=0

h^k

k!f^k(x₀) + hⁿ⁺¹

(n+ 1)!f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀+θh).

En utilisant la formule de Taylor Lagrange définie ci-dessus, montrer, pour la même variable θ, que

wn(x) =

n

X

k=0

x^k

k! + xⁿ⁺¹

(n+ 1)!wn(x)ⁿ⁺¹(θx).

Q4)

a) Montrer que pour tout x >0 et n, p∈N^∗ on a:

u_n(x)≤w_n(x)≤u_n+p(x).

Indication: On pourra utiliser la formule du binôme C_n^k. b) Pour p=n², en particulier, montrer que

u_n²_+n(x)< u_n²u_n(x n).

c) En déduire que lim

n−→∞w_n(x) = e^x.On remarquera que lim

n−→∞u_n(^x_n) = e⁰ = 1 Q5) Conclure sur une réduire entre e^x et lim

n−→∞

xⁿ

n! pour tout x >0.

Q6) On se place maintenant dansC et n∈N Montrer que:

|w_n(z)−u_n(z)|=

n

X

k=0

1

k!−C_n^k 1 n^k

z^k

≤w_n(|z|)−u_n(|z|) .

En déduire que e^z = lim

n−→∞

1 n!zⁿ.

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N −→∞ lim

N

i=1 N

i=0

Z

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v u u u u u u t

M aths

F aciles =Ecrivez − moi

********** FIN DU SUJET ! **********

Bon courage, vous pouvez y arriver !

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