NOM :
1. cos (x + π/3) =
2. cos (π/6 − x) =
3. sin(x + π/3) =
4. sin (x − π/6) =
5. exprimer cos 2x en fonction de sin x
6. calculer sin π/8
7. A et B sont deux angles d’un triangle, cos A = 1/8 et cos B = ¾. Montrer que A = 2 B.
NOM :
1. cos (π/6 + x) =
2. cos (x − π/3) =
3. sin(x + π/6) =
4. sin (x − π/3) =
5. B et C sont deux angles d’un triangle, cos C = 4/5 et cos B = 7/25. Montrer que B = 2 C
6. exprimer cos 2a en fonction de sin a
7. calculer sin π/12
Corrigé. version 1.
1. cos (x + ππππ/3) = cos x × cos(π/3) − sin x × sin(π/3) = cos x ×(1/2) − sin x × 3/2 = cos x - 3sin x
2
2. cos (ππππ/6 −−−− x) = cos(π/6) × cos x + sin(π/6) × sin x = ( 3/2)cos x + (1/2)sin x = 3cos x + sin x
2
3. sin(x + ππππ/3) = sinx cos(π/3) + sin(π/3)cosx = sinx(1/2) + ( 3/2)cosx = sin x + 3cos x
2
4. sin (x −−−−ππππ/6) = sinx cos(π/6) − sin(π/6)cosx = sinx( 3/2) − (1/2)cosx = 3 sin x - cos x
2
5. exprimer cos 2x en fonction de sin x
cos 2x = cos²x − sin²x = (1 − sin²x) − sin²x = 1 − 2sin²x
6. calculer sin ππππ/8. π/4 = 2 × π/8 donc (d’après 5.), cos(π/4) = 1 − 2sin²(π/8) c’est à dire 2
2 = 1 − 2sin²(π/8) 2
2 = 1 − 2sin²(π/8) ⇔ 2
2 − 1 = −2sin²(π/8) ⇔ 2 - 2
2 = −2sin²(π/8) ⇔ sin²(π/8) = 2 - 2 4 0 < π/8 < π/2 donc sin (π/8) > 0 donc sin(π/8) = 2 - 2
2
7. A et B sont deux angles d’un triangle, cos A = 1/8 et cos B = ¾. Montrer que A = 2 B. On sait que cos2x = 2cos²x − 1.
cos 2 B = 2cos² B − 1 = 2(3/4)² − 1 = 2(9/16) − 1 = 9/8 − 1 = 1/8 = cosA donc A = 2 B
corrigé. version 2.
1. cos (ππππ/6 + x) = cos(π/6)cosx − sin(π/6)sinx = ( 3/2)cosx − (1/2)sinx = 3cos x - sin x
2
2. cos (x −−−−ππππ/3) = cosx cos(π/3) + sinx sin(π/3) = cosx (1/2) + sinx ( 3/2) = cos x + 3sin x
2
3. sin(x + ππππ/6) = sinx cos(π/6) + sin(π/6) cosx = sinx ( 3/2) + (1/2)cosx = 3 sin x + cos x
2
4. sin (x −−−−ππππ/3) = sinx cos(π/3) − sin(π/3) cosx = sinx (1/2) − ( 3/2)cosx = sin x - 3cos x
2
5. B et C sont deux angles d’un triangle, cos C = 4/5 et cos B = 7/25. Montrer que B = 2 C On sait que cos2x = 2cos²x − 1.
cos2 C = 2cos² C − 1 = 2(4/5)² − 1 = 2(16/25) − 1 = 32/25 − 1 = 7/25 = cos B donc B = 2 C 6. exprimer cos 2a en fonction de sin a
cos2a = cos²a − sin²a = (1 − sin²a) − sin²a = 1 − 2sin²a
7. calculer sin ππππ/12
π/6 = 2 × π/12 donc (d’après 6.), cos(π/6) = 1 − 2sin²(π/12) c’est à dire 3
2 = 1 − 2sin²(π/12) 3
2 = 1 − 2sin²(π/12) ⇔ 3
2 − 1 = − 2sin²(π/12) ⇔ 3 - 2
2 = − 2sin²(π/12) ⇔ sin²(π/12) = 2 - 3 4 0 < π/12 < π/2 donc sin (π/12) > 0 donc sin(π/12) = 2 - 3
2
