PROBLEME 1 : ANALYSE ET PROBABILITE

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SESSION 2015 PCMA002

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

L’épreuve est constituée de deux problèmes indépendants.

Lorsqu’un raisonnement utilise un résultat obtenu précédemment dans le problème, il est demandé au candidat d’indiquer précisément le numéro de la question utilisée.

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PROBLEME 1 : ANALYSE ET PROBABILITE

On propose d’étudier dans ce premier problème le comportement d’une certaine suite de fonctions (fn)n∈N sous différents points de vue. Dans la partie 1, on étudie les aspects analytiques de (fn)n∈N : convergence uniforme de la suite (fn)n∈N, propriétés d’intégrales associées à fn et modes de convergence de la série

fn.

La partie 2 correspond `a l’´etude de la formule de Bernstein : lim

n→+∞

e⁻ⁿ

n

k=0

n^k k!

=1 2. Cette formule, en lien avec la suite de fonctions introduites dans la partie 1, peut être avan- tageusement interprétée en terme de suite de variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi de Poisson. Le point de vue probabiliste permet alors d’éclairer le lien avec une intégrale in- tervenant en partie 1 et l’existence d’une limiteℓpoure⁻ⁿ

n

k=0

n^k

k!. Cela permet aussi d’approcher la valeur deℓpar diff´erentes m´ethodes.

Les parties 1 et 2 peuvent être traitées, en grande partie, indépendamment l’une de l’autre.

PARTIE 1 : ANALYSE

On consid`ere la fonctionf et, pourn∈N, la fonctionfn, d´efinies surR₊par : pour toutt∈R₊,f(t) = 0 etfn(t) = e^−ttⁿ

n! .

Figure1: famille de courbes Ca

C_b

C_c C_d

Ce

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1. Onrappelle qu’un ´equivalent den! est√ 2πnn

e ⁿ

quandntend vers +∞.

1.a. Etudier, pour toutn∈N^∗, les variations de la fonctionfn surR₊ et en d´eduire son maximum.

1.b. Montrer quefn(n)∼ 1

√2π 1

n^1/2 quandntend vers +∞.

1.c. Etablir que la suite de fonctions (f_n)_n∈Nconverge uniform´ement versf surR₊.

2.

2.a.D´eterminer l’ensembleDdes valeurs dex∈Rpour lesquelles l’int´egrale

+∞

0

e⁻^tt^xdt est convergente et v´erifier queR₊⊂D.

2.b. Montrer que, pourx∈R₊, l’int´egrale

+∞

0

(lnt)e⁻^tt^xdtest convergente.

2.c. Montrer que la fonctionx→

+∞

0

e^−tt^xdtest de classeC¹surR₊.

2.d. Montrer que, pour toutn∈N, l’int´egrale

+∞

0

fn(t) dtest convergente.

2.e. Montrer que, pour toutn∈N,

+∞

0

f_n(t) dt= 1.

3. Pourx∈R₊etn∈N, on poseH_n(x) = 1 n!

+∞

x

e^−ttⁿdt.

3.a. Montrer que, pour toutx∈R₊et toutn∈N,H_n(x) = 1− x

0

f_n(t) dt.

3.b. Etablir que, pour toutn∈N,H_nest de classeC¹surR₊et donner l’expression deH_n^′. 3.c. Calculer, pour toutn∈N, lim

x→0(Hn(x)) et lim

x→+∞(Hn(x)).

3.d. Calculer, pour toutx∈R₊, lim

n→+∞(H_n(x)).

4. Dans la figure 1 de la page 2, on peut visualiser certaines des repr´esentations graphiques des fonctions de la suite (f_n)_n∈Ndont celle def1etf5.

4.a.Lesquelles des courbesC_a,C_b,C_c,C_douC_ede la figure 1 correspondent respectivement aux repr´esentations graphiques def1et def5?

4.b. Pouvez-vous faire le lien entre cette figure et certaines propriétés analysées dans les questions précédentes ?

5.

5.a. Montrer que la s´erie de fonctions

fnconverge simplement surR₊. 5.b. Montrer que, pour touta∈R^∗₊, la s´erie de fonctions

f_nconverge normalement sur le segment [0, a].

5.c. Montrer que la s´erie de fonctions

fnne converge pas normalement surR .

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PARTIE 2 : PROBABILITE

Soit (Xⁿ)ⁿ∈N∗une suite de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé (Ω,A,P) et mutuellement indépendantes. On admet que dans ce cas, pour toutn2,X₁+· · ·+Xnet Xn+1sont indépendantes.

On suppose de plus que, pour toutn∈N^∗,Xnsuit la loi de Poisson de param`etre 1.

On rappelle que siXest une variable aléatoire définie sur (Ω,A,P) et qui suit une loi de Poisson de paramètreλ, alorsX(Ω) =Net pour tout entierk∈N,P(Xn=k) =e⁻^λλ^k

k!.

On pose, pour toutn∈N^∗,Sn= n

k=1

XketS^∗n=Sn−n

√n .

1.

1.a. Montrer queSnsuit une loi de Poisson de paramètrenet en déduire son espérance et sa variance.

1.b. D´eterminer l’esp´erance et la variance deSn^∗. 1.c. Montrer que, pour toutn∈N^∗,P(Sn^∗0) =e⁻ⁿ

n

k=0

n^k k!.

2. Soitr∈N,Iun intervalle deRet (a, b)∈I². On rappelle que sif est une fonction de classe C^r⁺¹surI, alors on a :

f(b) = r

k=0

f⁽^k⁾(a)(b−a)^k k! +

^b

a

f⁽^r⁺¹⁾(t)(b−t)^r r! dt.

Montrer que, pour toutn∈N^∗, on a :

eⁿ= n k=0

n^k k! +

n 0

eⁿ⁻^t·tⁿ n! dt.

3.

3.a. Montrer que :P(S^∗n0) = 1 n!

+∞

n

e^−ttⁿdt=Hn(n) o`uHnest d´efinie dans la partie 1.

3.b. Etablir que, pour toutn∈N^∗,

P(Sn^∗0)−P(Sn^∗+10) = ⁿ+1

n

e^−t tⁿ⁺¹

(n+ 1)!dt−e⁻ⁿ nⁿ⁺¹ (n+ 1)!.

3.c. En d´eduire que la suite (P(Sn^∗0))n∈N∗ est une suite d´ecroissante qui converge vers une limiteℓ∈[0,1[.

3.d. Proposer une méthode numérique et une méthode probabiliste pour conjecturer la valeur deℓ. Quels sont les avantages et les inconvénients respectifs de ces deux méthodes ?

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4. Pourn ∈N^∗, on note G_S_n la série génératrice de S_n. On rappelle que, pour toutt∈ R, G_S_n(t) =E(t^Sⁿ) =

+∞

k=0

P(Sn=k)t^k.

4.a. Donner, pour toutn∈N^∗ett∈R, une expression simple deG_S_n(t).

4.b. Vérifier que, pour tout t∈R^∗₊ etn∈N^∗,t^Sⁿ^∗ admet une espérance, notéeE(t^S^∗ⁿ), et que :

E(t^Sⁿ^∗) = G_S_n(t^1/^√ⁿ) t^√ⁿ . 4.c. D´eterminer, pour toutt∈R^∗₊, lim

n→+∞

E(t^S^∗ⁿ) .

PROBLEME 2 : ALGEBRE

On propose d’étudier, dans ce second problème, différents aspects des matrices à coefficients dans {−1,1}(matrices binaires) : inversibilité, orthogonalité des colonnes (matrices de Hadamard) et propriétés du spectre.

Dans tout le probl`eme,nd´esigne un entier naturel tel quen2.

On d´ebute l’´etude par des exemples en petite dimension. En dimensionn, on aboutit notamment

`a trois r´esultats sur de telles matrices :

•une matrice de Hadamard ne peut exister que sin= 2 ou sinest un multiple de 4 ;

•on peut construire une matrice binaire inversible `a n’importe quel ordren;

•les valeurs propres des matrices binaires sont de module inférieur ou égal àn.

Notons M_n(R) l’espace vectoriel des matrices réelles carrées d’ordren, M_n,₁(R) l’espace vectoriel des matrices réelles ànlignes et 1 colonne, A^Tla matrice transposée d’une matriceA,

I_nla matrice identit´e d’ordren,

Sp(A) l’ensemble des valeurs propres d’une matrice carr´eeA.

Dans tout le probl`eme, on munit M_n,1(R) du produit scalaire canonique d´efini de la fa¸con suivante :

∀(X, Y)∈M_n,₁(R)×M_n,₁(R), X, Y=X^T·Y.

PourA∈M_n(R) et (i, j)∈[[1, n]]², on note :

A_i,jle coefficient situé à lai-ème ligne et à laj-ème colonne deA, C(A) laj-ème colonne deAetL(A) lai-ème ligne deA.

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Ond´efinit les trois ensembles suivants : Bn=

A∈Mn(R) tel que ∀(i, j)∈[[1, n]]², Ai,j∈ {−1,1} , G_n={A∈B_n tel que A est inversible},

H_n=

A∈B_n tel que A^T·A=nIn

.

On admettra que le d´eterminant d’une matrice dont les coefficients sont des entiers relatifs est aussi un entier relatif.

1. Donner un exemple de matricesA2etA^′2dansB₂telles queA2∈H₂etA^′2∈/G₂.

2. SoitA3=





1 −1 −1

1 1 −1

1 1 1



.

La matriceA3appartient-elle àB₃? àH₃? àG₃?

3. SoitA4=







1 1 −1 −1

1 1 1 1

−1 1 −1 1

−1 1 1 −1







etS=1 2A4.

On noteϕl’endomorphisme deR⁴canoniquement associ´e `aS.

3.a. Montrer queA4est une matrice deH₄.

3.b. Montrer queϕest une sym´etrie et en d´eduire Sp(S).

3.c. Montrer queA4est diagonalisable et ´etablir que Sp(A4) ={−2,2}.

3.d.Proposer une m´ethode pour trouver une matrice orthogonalePet une matrice diagonale Dtelles queA4=P DP⁻¹.

4. V´erifier queH_n⊂G_n⊂B_net queB_nest un ensemble fini dont on donnera le cardinal.

5. Montrer que, pour une matriceA∈B_n, les propositions suivantes sont ´equivalentes :

i)A∈H_n;

ii)(Cj(A))1jnest une famille orthogonale de l’espace euclidienM_n,₁(R) ; iii) 1

√nAest une matrice orthogonale.

6. Soit A ∈ G_n. On transformeA en une matrice A^′ par les op´erations sur les lignes de A suivantes : ∀i∈[[2, n]],Li←A1,1·Li−Ai,1·L1si bien queLi(A^′) =A1,1·Li(A)−Ai,1·L1(A).

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6.a. Donner la relation entre det(A) et det(A^′).

6.b. Montrer queA^′=







A1,1 A1,2 · · · A1,n

0

... B^′

0







avecB^′une matrice carr´ee d’ordren−1,

qui est inversible et dont tous les coefficients sont dans l’ensemble{−2,0,2}.

6.c. Montrer que det(A) est un multiple de 2ⁿ⁻¹.

6.d. On suppose, dans cette question, queA∈H_net quen3.

Montrer que|det(A)|=n^n/²et en d´eduire quenest un multiple de 4.

7. Soientn∈Ntel quen4 etr=n−1. On d´efinit la fonctionτ_r:R^r−→R^r par : pour tout (x1, . . . , x_r)∈R^r,τ_r(x1, . . . , x_r) = (x2, x1, x3, . . . , x_r).

7.a. Montrer queτ_r d´efinit un automorphisme deR^r.

7.b. Déterminer la matrice, notéeTr, associée àτr dans la base canonique deR^r.

On pose alorsA=







1 1 · · · 1 0

... 2T_r 0





 .

On transformeAenA^′par les op´erations sur les lignes deAsuivantes :∀i∈[[2, n]],L_i←L1−L_i si bien queL_i(A^′) =L1(A)−L_i(A).

7.c. Montrer queA^′est un ´el´ement deG_n.

8. Donner un exemple explicite de matriceAqui soit dansG₆mais pas dansH₆.

9. SoitA∈B_net soitλ∈Ctel queλsoit une valeur propre deA.

9.a. Montrer qu’il existe (x1, . . . , x_n)∈Cⁿtel que :

i)pour touti∈[[1, n]],

n

j=1

A_i,jx_j=λx_i,

ii)il existek∈[[1, n]] tel que : x_k= 0 et pour toutj∈[[1, n]],|x_j||x_k|.

9.b. Montrer que|λ|n.

9.c. Montrer que : sup

|λ| tel que λ∈Sp(A) et A∈B_n

=n.

Fin de l’´enonc´e